تسلسل رودين-شابيرو

في الرياضيات ، تُعرف متتالية رودين-شابيرو ، أو متتالية غولاي-رودين-شابيرو ، بأنها متتالية لانهائية من النوع 2، سُميت نسبةً إلى مارسيل غولاي ، وهارولد إس. شابيرو ، ووالتر رودين ، الذين درسوا خصائصها. ^{[ 1 ]}

كل حد من حدود متتالية رودين-شابيرو هو إما${\displaystyle 1}$أو${\displaystyle -1}$إذا كان التوسع الثنائي لـ${\displaystyle n}$يُعطى بواسطة

${\displaystyle n=\sum _{k\geq 0}\epsilon _{k}(n)2^{k},}$

ثم دع

${\displaystyle u_{n}=\sum _{k\geq 0}\epsilon _{k}(n)\epsilon _{k+1}(n).}$

(لذا${\displaystyle u_{n}}$يمثل عدد مرات ظهور الكتلة 11 في التمثيل الثنائي لـ${\displaystyle n}$.)

تسلسل رودين-شابيرو${\displaystyle (r_{n})_{n\geq 0}}$ثم يتم تعريفها بواسطة

${\displaystyle r_{n}=(-1)^{u_{n}}.}$

هكذا${\displaystyle r_{n}=1}$لو${\displaystyle u_{n}}$زوجي و${\displaystyle r_{n}=-1}$لو${\displaystyle u_{n}}$غريب. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

التسلسل${\displaystyle u_{n}}$تُعرف هذه السلسلة باسم سلسلة رودين-شابيرو الكاملة، وتبدأ عند${\displaystyle n=0}$، وأولى مصطلحاتها هي:

0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 2, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 3, ... (التسلسل A014081 في OEIS )

والمصطلحات المقابلة${\displaystyle r_{n}}$من تسلسل رودين-شابيرو ما يلي:

+1، +1، +1، − 1، +1، +1، − 1، +1، +1، +1، +1، − 1، − 1، − 1، +1، − 1، ... (التسلسل A020985 في OEIS )

على سبيل المثال،${\displaystyle u_{6}=1}$و${\displaystyle r_{6}=-1}$لأن التمثيل الثنائي للعدد 6 هو 110، والذي يحتوي على ظهور واحد للعدد 11؛ بينما${\displaystyle u_{7}=2}$و${\displaystyle r_{7}=1}$لأن التمثيل الثنائي للعدد 7 هو 111، والذي يحتوي على ظهورين (متداخلين) للعدد 11.

تم تقديم متتالية رودين-شابيرو بشكل مستقل من قبل غولاي، ^{[ 5 ] [ 6 ]} ورودين، ^{[ 7 ]} وشابيرو. ^{[ 8 ]} فيما يلي وصف لدوافع رودين. في تحليل فورييه ، غالبًا ما يهتم المرء بـ${\displaystyle L^{2}}$معيار دالة قابلة للقياس${\displaystyle f\colon [0,2\pi )\to [0,2\pi )}$يتم تعريف هذا المعيار بواسطة

${\displaystyle ||f||_{2}=\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|f(t)|^{2}\,\mathrm {d} t\right)^{1/2}.}$

يمكن إثبات ذلك لأي متتالية${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 0}}$مع كل${\displaystyle a_{n}}$في${\displaystyle \{1,-1\}}$،

${\displaystyle \sup _{x\in \mathbb {R} }\left|\sum _{0\leq n<N}a_{n}e^{inx}\right|\geq \left|\left|\sum _{0\leq n<N}a_{n}e^{inx}\right|\right|_{2}={\sqrt {N}}.}$

علاوة على ذلك، بالنسبة لكل تسلسل تقريبًا${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 0}}$مع كل${\displaystyle a_{n}}$هو في${\displaystyle \{-1,1\}}$،

${\displaystyle \sup _{x\in \mathbb {R} }\left|\sum _{0\leq n<N}a_{n}e^{inx}\right|=O({\sqrt {N\log N}}).}$^{[ 9 ]}

ومع ذلك، فإن تسلسل رودين-شابيرو${\displaystyle (r_{n})_{n\geq 0}}$يُحقق حدًا أكثر دقة: ^{[ 10 ]} يوجد ثابت${\displaystyle C>0}$بحيث

${\displaystyle \sup _{x\in \mathbb {R} }\left|\sum _{0\leq n<N}r_{n}e^{inx}\right|\leq C{\sqrt {N}}.}$

يُعتقد أنه يمكن للمرء أن يأخذ${\displaystyle C={\sqrt {6}}}$[ ^{11 ]} ولكن في حين أنه من المعروف ^أن${\displaystyle C\geq {\sqrt {6}}}$[ ^{12 ]} أفضل حد أعلى منشور ^حاليًا${\displaystyle C\leq (2+{\sqrt {2}}){\sqrt {3/5}}}$[ ^{13 ]} ليكن^​${\displaystyle P_{n}}$ليكن متعدد الحدود من النوع النوني لشابيرو . إذن، عندما${\displaystyle N=2^{n}-1}$، تعطي المتباينة أعلاه حدًا لـ${\displaystyle \sup _{x\in \mathbb {R} }|P_{n}(e^{ix})|}$وفي الآونة الأخيرة، تم أيضاً تحديد حدود لحجم معاملات${\displaystyle |P_{n}(ض)|^{2}}$أين${\displaystyle |z|=1}$[ ^{14 ]​}

توصل شابيرو إلى المتتالية لأن كثيرات الحدود

${\displaystyle P_{n}(z)=\sum _{i=0}^{2^{n}-1}r_{i}z^{i}}$

أين${\displaystyle (r_{i})_{i\geq 0}}$هي متتالية رودين-شابيرو، ولها قيمة مطلقة محدودة على دائرة الوحدة المركبة بواسطة${\displaystyle 2^{\frac {n+1}{2}}}$تمت مناقشة هذا الموضوع بمزيد من التفصيل في مقالة كثيرات حدود شابيرو . وكان دافع غولاي مماثلاً، على الرغم من أنه كان مهتماً بتطبيقات التحليل الطيفي ونشر بحثه في مجلة متخصصة في البصريات.

يمكن توليد متتالية رودين-شابيرو بواسطة آلة ذات 4 حالات تقبل تمثيلات ثنائية لأعداد صحيحة غير سالبة كمدخلات. ^{[ 15 ]} وبالتالي، فإن المتتالية ثنائية-أوتوماتيكية، لذا، وفقًا لنظرية كوبام الصغرى، يوجد تشاكل ثنائي-موحد.${\displaystyle \varphi }$مع نقطة ثابتة${\displaystyle w}$وبرمجة${\displaystyle \tau }$بحيث${\displaystyle r=\tau (w)}$، أين${\displaystyle r}$هي متتالية رودين-شابيرو. ومع ذلك، لا يمكن التعبير عن متتالية رودين-شابيرو كنقطة ثابتة لبعض التشاكلات المنتظمة وحدها. ^{[ 16 ]}

يوجد تعريف تكراري ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{cases}r_{2n}&=r_{n}\\r_{2n+1}&=(-1)^{n}r_{n}\end{cases}}}$

يمكن إيجاد قيم الحدين r و _n في متتالية رودين-شابيرو بشكل تكراري كما يلي. إذا كان _n = m · 2 ^k حيث m عدد فردي، فإن

${\displaystyle u_{n}={\begin{cases}u_{(m-1)/4}&{\text{إذا كان }}m\equiv 1{\pmod {4}}\\u_{(m-1)/2}+1&{\text{إذا كان }}m\equiv 3{\pmod {4}}\end{cases}}}$

${\displaystyle r_{n}={\begin{cases}r_{(m-1)/4}&{\text{إذا كان }}m\equiv 1{\pmod {4}}\\-r_{(m-1)/2}&{\text{إذا كان }}m\equiv 3{\pmod {4}}\end{cases}}}$

وبالتالي فإن u ₁₀₈ = u ₁₃ + 1 = u ₃ + 1 = u ₁ + 2 = u ₀ + 2 = 2، ويمكن التحقق من ذلك بملاحظة أن التمثيل الثنائي للعدد 108، وهو 1101100، يحتوي على سلسلتين فرعيتين 11. ومن ثم فإن r ₁₀₈ = ( − 1) ² = +1.

تشاكل ثنائي منتظم${\displaystyle \varphi }$يتطلب ذلك برمجة${\displaystyle \tau }$ يتم توليد تسلسل رودين-شابيرو على النحو التالي:$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi :a&\to ab\\b&\to ac\\c&\to db\\d&\to dc\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\tau :a&\to 1\\b&\to 1\\c&\to -1\\d&\to -1\end{aligned}}}$$

تُعدّ كلمة رودين-شابيرو +1 +1 +1 − 1 +1 +1 − 1 +1 +1 +1 +1 − 1 − 1 − 1 +1 − 1 ...، والتي يتم إنشاؤها عن طريق دمج حدود متتالية رودين-شابيرو، نقطة ثابتة لقواعد التشكل أو استبدال السلاسل

+1 +1 → +1 +1 +1 − 1

+1 − 1 → +1 +1 − 1 +1

− 1 +1 → − 1 − 1 +1 − 1

− 1 − 1 → − 1 − 1 − 1 +1

على النحو التالي:

+1 +1 → +1 +1 +1 − 1 → +1 +1 +1 − 1 +1 +1 − 1 +1 → +1 +1 +1 − 1 +1 +1 − 1 +1 +1 +1 +1 − 1 − 1 − 1 +1 − 1 ...

يمكن ملاحظة ذلك من قواعد التشكل أن سلسلة رودين-شابيرو تحتوي على أربعة +1 متتالية على الأكثر وأربعة -1 متتالية على الأكثر .

متتالية المجاميع الجزئية لمتتالية رودين-شابيرو، المعرفة بواسطة

${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}r_{k}\,,}$

مع القيم

1، 2، 3، 2، 3، 4، 3، 4، 5، 6، 7، 6، 5، 4، 5، 4، ... (التسلسل A020986 في OEIS )

يمكن إثبات أنها تحقق المتباينة

${\displaystyle {\sqrt {{\frac {3}{5}}n}}<s_{n}<{\sqrt {6n}}{\text{ for }}n\geq 1\,.}$^{[ 1 ]}

يترك${\displaystyle (s_{n})_{n\geq 0}}$يرمز إلى متتالية رودين-شابيرو على${\displaystyle \{0,1\}}$وفي هذه الحالة${\displaystyle s_{n}}$هو عدد مرات ظهور الكتلة (ربما متداخلة) بتردد 2${\displaystyle 11}$في التوسع ذي الأساس 2${\displaystyle n}$ثم الدالة المولدة

${\displaystyle S(X)=\sum _{n\geq 0}s_{n}X^{n}}$

يرضي

${\displaystyle (1+X)^{5}S(X)^{2}+(1+X)^{4}S(X)+X^{3}=0,}$

مما يجعلها جبرية كسلسلة قوى رسمية على${\displaystyle \mathbb {F} _{2}(X)}$[ ^{17 ]} جبرية^​${\displaystyle S(X)}$زيادة${\displaystyle \mathbb {F} _{2}(X)}$وينتج ذلك عن التلقائية من الدرجة الثانية لـ${\displaystyle (s_{n})_{n\geq 0}}$بحسب نظرية كريستول .

متتالية رودين-شابيرو على طول المربعات${\displaystyle (r_{n^{2}})_{n\geq 0}}$هذا طبيعي. ^{[ 18 ]}

تُحقق متتالية رودين-شابيرو الكاملة نتيجة التوزيع المنتظم التالية. إذا${\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} }$إذن يوجد${\displaystyle \alpha =\alpha (x)\in (0,1)}$بحيث

${\displaystyle \sum _{n<N}\exp(2\pi ixu_{n})=O(N^{\alpha })}$

مما يعني أن${\displaystyle (xu_{n})_{n\geq 0}}$يتم توزيعها بشكل منتظم modulo${\displaystyle 1}$لجميع الأعداد غير النسبية${\displaystyle x}$[ ^{19 ]​}

لنفترض أن التمثيل الثنائي للعدد n يُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle n=\sum _{k\geq 0}\epsilon _{k}(n)2^{k}}$

أين${\displaystyle \epsilon _{k}(n)\in \{0,1\}}$تذكر أن متتالية رودين-شابيرو الكاملة تُعرَّف بواسطة

${\displaystyle u(n)=\sum _{k\geq 0}\epsilon _{k}(n)\epsilon _{k+1}(n).}$

يترك

${\displaystyle {\tilde {\epsilon }}_{k}(n)={\begin{cases}\epsilon _{k}(n)&{\text{if }}k\leq N-1,\\\epsilon _{0}(n)&{\text{if }}k=N.\end{cases}}}$

ثم دع

${\displaystyle u(n,N)=\sum _{0\leq k<N}{\tilde {\epsilon }}_{k}(n){\tilde {\epsilon }}_{k+1}(n).}$

وأخيراً، دع

${\displaystyle S(N,x)=\sum _{0\leq n<2^{N}}\exp(2\pi ixu(n,N)).}$

تذكر أن دالة التقسيم لنموذج إيزينغ أحادي البعد يمكن تعريفها على النحو التالي. ثبت${\displaystyle N\geq 1}$يمثل عدد المواقع، وثوابت ثابتة${\displaystyle J>0}$و${\displaystyle H>0}$يمثلان ثابت الاقتران وقوة المجال الخارجي، على التوالي. اختر سلسلة من الأوزان${\displaystyle \eta =(\eta _{0},\dots ,\eta _{N-1})}$مع كل${\displaystyle \eta _{i}\in \{-1,1\}}$لأي تسلسل من اللفات${\displaystyle \sigma =(\sigma _{0},\dots ,\sigma _{N-1})}$مع كل${\displaystyle \sigma _{i}\in \{-1,1\}}$، عرّف الهاميلتوني الخاص به بواسطة

${\displaystyle H_{\eta }(\sigma )=-J\sum _{0\leq k<N}\eta _{k}\sigma _{k}\sigma _{k+1}-H\sum _{0\leq k<N}\sigma _{k}.}$

يترك${\displaystyle T}$ليكن ثابتًا يمثل درجة الحرارة، ويُسمح له بأن يكون عددًا مركبًا غير صفري عشوائيًا ، و${\displaystyle \beta =1/(kT)}$أين${\displaystyle k}$هو ثابت بولتزمان . تُعرَّف دالة التوزيع بواسطة

${\displaystyle Z_{N}(\eta ,J,H,\beta )=\sum _{\sigma \in \{-1,1\}^{N}}\exp(-\beta H_{\eta }(\sigma )).}$

ثم لدينا

${\displaystyle S(N,x)=\exp \left({\frac {\pi iNx}{2}}\right)Z_{N}\left(1,{\frac {1}{2}},-1,\pi ix\right)}$

حيث تسلسل الأوزان${\displaystyle \eta =(\eta _{0},\dots ,\eta _{N-1})}$يرضي${\displaystyle \eta _{i}=1}$للجميع${\displaystyle i}$[ ^{20 ]​}

• كثيرات حدود شابيرو

• Allouche, Jean-Paul; Shallit, Jeffrey (2003). Automatic Sequences: Theory, Applications, Generalizations. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-82332-6. Zbl 1086.11015.
• Everest, Graham; van der Poorten, Alf; Shparlinski, Igor; Ward, Thomas (2003). Recurrence sequences. Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 104. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3387-1. Zbl 1033.11006.
• Pytheas Fogg, N. (2002). Berthé, Valérie; Ferenczi, Sébastien; Mauduit, Christian; Siegel, Anne (eds.). Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1794. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-44141-7. Zbl 1014.11015.
• منديس فرانس، ميشيل (1990). "متتالية رودين-شابيرو، وسلسلة إيزينغ، وطي الورق". في: بيرندت، بروس سي ؛ دايموند، هارولد جي؛ هالبرستام، هايني ؛ وآخرون  (محررون). نظرية الأعداد التحليلية. وقائع مؤتمر تكريمًا لبول تي. بيتمان، عُقد في الفترة من 25 إلى 27 أبريل 1989، في جامعة إلينوي، أوربانا، إلينوي (الولايات المتحدة الأمريكية) . التقدم في الرياضيات. المجلد  85. بوسطن: بيركهاوزر. الصفحات 367-390 . ISBN  0-8176-3481-9. Zbl 0724.11010 .