نظرية رونج

في التحليل المركب ، سميت نظرية رونج (المعروفة أيضًا باسم نظرية رونج للتقريب ) نسبةً إلى عالم الرياضيات الألماني كارل رونج الذي أثبتها لأول مرة عام 1885. ^{[ 1 ]} وتنص على ما يلي:

إذا رمزنا بـ C لمجموعة الأعداد المركبة ، ولتكن K مجموعة جزئية مغلقة من${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ولتكن f دالة تحليلية على مجموعة مفتوحة تحتوي على K. إذا كانت A مجموعة تحتوي على عدد مركب واحد على الأقل من كل مكون متصل من${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}\setminus K}$إذن، توجد متتالية${\displaystyle (r_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$من الدوال الكسرية التي تتقارب بانتظام إلى f على K بحيث تكون جميع أقطاب الدوال${\displaystyle (r_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$تقع في أ.

لاحظ أنه ليس بالضرورة أن يكون كل عدد مركب في A قطبًا لكل دالة كسرية في المتتالية${\displaystyle (r_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$كل ما نعرفه هو أن هذا ينطبق على جميع أعضاء${\displaystyle (r_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$التي لها أقطاب، تقع تلك الأقطاب في المنطقة أ .

أحد الجوانب التي تجعل هذه النظرية قوية للغاية هو إمكانية اختيار المجموعة A بشكل تعسفي. بعبارة أخرى، يمكن اختيار أي أعداد مركبة من المكونات المتصلة المحدودة لـ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}\setminus K}$وتضمن النظرية وجود سلسلة من الدوال الكسرية ذات أقطاب فقط بين تلك الأعداد المختارة.

في الحالة الخاصة التي تكون فيها K مجموعة جزئية مضغوطة من${\displaystyle \mathbb {C} }$و${\displaystyle \mathbb {C} \setminus K}$هي مجموعة متصلة يمكن للمرء اختيارها${\displaystyle A=\{\infty \}}$بما أن الدوال الكسرية التي ليس لها أقطاب إلا عند اللانهاية هي ببساطة كثيرات حدود ، فإننا نحصل على النتيجة التالية : إذا كانت K مجموعة جزئية مضغوطة من C بحيث تكون C \ K مجموعة متصلة، وكانت f دالة تحليلية على مجموعة مفتوحة تحتوي على K ، فإنه يوجد متتالية من كثيرات الحدود${\displaystyle (p_{n})}$التي تقترب من f بشكل منتظم على K.

يُقدّم برهانٌ أوليّ ، مستوحى من ساراسون (1998) ، على النحو التالي: يوجد مسارٌ مغلقٌ خطيٌّ متقطع Γ في المجموعة المفتوحة، يحتوي على K في داخله، بحيث تقع جميع النقاط المميزة المختارة في خارجه. باستخدام صيغة كوشي التكاملية

${\displaystyle f(w)={1 \over 2\pi i}\int _{\Gamma }{f(z)\,dz \over zw}}$

لكل w في K ، يمكن استخدام مجاميع ريمان التقريبية لتقريب التكامل الكفافي بشكل منتظم على K (توجد صيغة مماثلة للمشتقة). كل حد في المجموع هو مضاعف قياسي لـ ( z - w ) ^{- 1} لنقطة z ما على الكفاف. هذا يعطي تقريبًا منتظمًا بواسطة دالة كسرية لها أقطاب على Γ.

لتحويل هذا إلى تقريب بأقطاب عند نقاط محددة في كل مكون من مكونات مكمل K ، يكفي التحقق من ذلك بالنسبة للحدود من الشكل ( z  - w ) ^{- 1.} إذا كانت z₀ هي النقطة في نفس المكون الذي تقع فيه _z ، فاسلك مسارًا من z إلى z₀ _. 

إذا كانت نقطتان متقاربتين بدرجة كافية على المسار، فيمكننا استخدام الصيغة

${\displaystyle {\frac {1}{z-z_{0}}}={\frac {1}{z-w_{0}}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {z_{0}-w_{0}}{z-w_{0}}}\right)^{n}}$(تم التحقق من ذلك بواسطة متسلسلة هندسية )

صالحة على مكمل الدائرة${\displaystyle |z_{0}-w_{0}|<|zw|}$لاحظ أن المسار المختار له مسافة موجبة إلى K بسبب خاصية التراص. يمكن اقتطاع هذه المتسلسلة للحصول على دالة كسرية ذات أقطاب فقط عند النقطة الثانية القريبة بانتظام من الدالة الأصلية على K. بالانتقال خطوة بخطوة على طول المسار من z إلى z₀ _، يمكن تعديل الدالة الأصلية ( z - w ) ^⁻¹ تباعًا للحصول على دالة كسرية ذات أقطاب فقط _عند z₀ .

إذا كانت z₀ هي النقطة عند اللانهاية ، فباستخدام الإجراء المذكور أعلاه، يمكن تقريب الدالة الكسرية ( _z - w)⁻¹ أولاً بدالة كسرية g لها أقطاب عند ^R > 0 حيث R كبيرة جدًا بحيث تقع K في w < R. بعد ذلك ، يمكن اقتطاع متسلسلة تايلور للدالة g حول 0 للحصول على تقريب متعدد الحدود على K.

متى${\displaystyle K}$هي مجموعة جزئية مضغوطة من المستوى المركب${\displaystyle \mathbb {C} }$بحيث${\displaystyle \mathbb {C} \setminus K}$إذا كانت متصلة، فإن نظرية ميرجيليان تخفف الشرط على${\displaystyle f}$بدلاً من اشتراط${\displaystyle f}$أن تكون دالة هولومورفية على مجموعة مفتوحة تحتوي على${\displaystyle K}$الأمر لا يتطلب سوى${\displaystyle f}$أن يكون مستمرا${\displaystyle K}$، وشكلية كاملة في باطن${\displaystyle K}$.

تُعمَّم نظرية رونج لتشمل أسطح ريمان . ^{[ 2 ] : النظرية 4}

تُستنتج نظرية رونج الأصلية عن طريق وضع${\displaystyle X=\mathbb {C} \cup \{\infty \}\setminus A}$، أين${\displaystyle A}$يحتوي على عنصر واحد لكل مكون متصل من${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}\setminus K}$.

بالنسبة للدوال التي تحتوي على عدة متغيرات مركبة، فإن التعميم البسيط لنظرية رونج يكون خاطئًا. لذا، يلزم وضع قيود إضافية لصياغة نظريات مماثلة صحيحة. ومن هذه التعميمات نظرية أوكا-ويل .

• نظرية ميرجيليان
• نظرية أوكا-ويل
• نظرية بينكه-شتاين على مشعبات شتاين

• كونواي، جون ب. (1997)، دورة في التحليل الوظيفي (الطبعة الثانية  )، سبرينغر، رقم ISBN 0-387-97245-5
• غرين، روبرت إي .؛ كرانز، ستيفن جي. (2002)، نظرية الدوال لمتغير عقدي واحد (الطبعة الثانية  )، الجمعية الأمريكية للرياضيات، ISBN 0-8218-2905-X
• ساراسون، دونالد (1998)، ملاحظات حول نظرية الدوال المركبة ، نصوص وقراءات في الرياضيات، المجلد  5، وكالة هندوستان للكتاب، الصفحات 108-115 ، ISBN  81-85931-19-4

• "نظرية رونج" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]