التحديد الكمي الوجودي

في المنطق الرمزي ، يُستخدم الرمز "∃" (حرف " E " مُدار بخط sans-serif ، Unicode U+2203) للدلالة على التحديد الكمي الوجودي. على سبيل المثال، الترميز${\displaystyle \exists {n}{\in }\mathbb {N} :n\times n=25}$يمثل العبارة (الصحيحة)

يوجد بعض${\displaystyle n}$في مجموعة الأعداد الطبيعية بحيث${\displaystyle n\times n=25}$.

يُعتقد أن أول استخدام لهذا الرمز كان على يد جوزيبي بيانو في كتابه "Formulario mathematico " (1896). بعد ذلك، شاع استخدامه على يد برتراند راسل كأداة تحديد كمية وجودية. كما قدم بيانو الرموز من خلال أبحاثه في نظرية المجموعات.${\displaystyle \cap }$و${\displaystyle \cup }$^{[ 5 ]} للدلالة على تقاطع واتحاد المجموعات على التوالي.

الدالة المنطقية الكمية هي عبارة؛ وبالتالي، مثل العبارات، يمكن نفي الدوال الكمية.${\displaystyle \lnot \ }$يُستخدم الرمز للدلالة على النفي.

على سبيل المثال، إذا كانت P ( x ) هي المسند " x أكبر من 0 وأصغر من 1"، فعندئذٍ، بالنسبة لمجال الخطاب X لجميع الأعداد الطبيعية، يمكن التعبير عن التحديد الكمي الوجودي "يوجد عدد طبيعي x أكبر من 0 وأصغر من 1" بشكل رمزي على النحو التالي:

${\displaystyle \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$

يمكن إثبات خطأ هذا. في الحقيقة، يجب القول: "ليس صحيحًا أن هناك عددًا طبيعيًا x أكبر من 0 وأصغر من 1"، أو بصيغة رمزية:

${\displaystyle \lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$.

إذا لم يكن هناك عنصر من عناصر مجال الخطاب تكون فيه العبارة صحيحة، فلا بد أن تكون خاطئة بالنسبة لجميع تلك العناصر. أي أن نفي

${\displaystyle \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$

وهو مكافئ منطقياً لعبارة "لأي عدد طبيعي x ، فإن x ليس أكبر من 0 وأصغر من 1"، أو:

${\displaystyle \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)}$

بشكل عام، فإن نفي التحديد الكمي الوجودي لدالة افتراضية هو تحديد كمي شامل لنفي تلك الدالة الافتراضية؛ رمزياً،

${\displaystyle \lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)}$

(هذا تعميم لقوانين دي مورغان لمنطق المسند.)

من الأخطاء الشائعة قول "ليس كل الأشخاص متزوجين" (أي "لا يوجد شخص متزوج")، بينما المقصود هو "ليس كل الأشخاص متزوجين" (أي "يوجد شخص غير متزوج").

${\displaystyle \lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)\not \equiv \ \lnot \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)}$

يمكن التعبير عن النفي أيضًا من خلال عبارة "لا"، على عكس عبارة "بعض":

${\displaystyle \nexists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$

بخلاف المُكمِّم الكلي، فإن المُكمِّم الوجودي يتوزع على الانفصالات المنطقية:

${\displaystyle \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\lor Q(x)\to \ (\exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\lor \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,Q(x))}$

قاعدة الاستدلال هي قاعدة تبرر خطوة منطقية من الفرضية إلى النتيجة. وهناك العديد من قواعد الاستدلال التي تستخدم المُكمِّم الوجودي.

يخلص المدخل الوجودي (∃I) إلى أنه إذا عُلم أن الدالة القضوية صحيحة لعنصر معين من مجال الخطاب، فلا بد أن يكون صحيحًا وجود عنصر تكون فيه الدالة القضوية صحيحة. رمزيًا،

${\displaystyle P(a)\to \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$

عند إجراء الاستدلال الوجودي وفقًا لمنهج فيتش، يتم ذلك من خلال الدخول في اشتقاق فرعي جديد مع استبدال متغير كمي وجودي بموضوع لا يظهر في أي اشتقاق فرعي نشط. إذا أمكن التوصل إلى نتيجة ضمن هذا الاشتقاق الفرعي لا يظهر فيه الموضوع المستبدل، فيمكن الخروج من هذا الاشتقاق الفرعي بتلك النتيجة. أما منطق الاستبعاد الوجودي (∃E) فهو كالتالي: إذا عُلم بوجود عنصر تكون دالة القضية صحيحة بالنسبة له، وإذا أمكن التوصل إلى نتيجة بإعطاء ذلك العنصر اسمًا عشوائيًا، فإن تلك النتيجة صحيحة بالضرورة ، طالما أنها لا تحتوي على ذلك الاسم. رمزيًا، بالنسبة لقيمة عشوائية c وقضية Q لا تظهر فيها c :

${\displaystyle \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\to \ ((P(c)\to \ Q)\to \ Q)}$

${\displaystyle P(c)\to \ Q}$يجب أن يكون صحيحًا لجميع قيم c على نفس المجال X ؛ وإلا فإن المنطق لا يتبع: إذا لم يكن c عشوائيًا، وكان بدلاً من ذلك عنصرًا محددًا من مجال الخطاب، فإن ذكر P ( c ) قد يعطي معلومات أكثر عن هذا الكائن بشكل غير مبرر.

الصيغة${\displaystyle \exists {x}{\in }\varnothing \,P(x)}$تكون هذه العبارة خاطئة دائمًا، بغض النظر عن P ( x ). وذلك لأن${\displaystyle \varnothing }$تشير إلى المجموعة الفارغة ، ولا يوجد أي عنصر x من أي نوع - ناهيك عن عنصر x يحقق المسند P ( x ) - في المجموعة الفارغة. انظر أيضًا الحقيقة الفارغة لمزيد من المعلومات.