نموذج النجمة

لنفترض نموذج AR( p ) بسيطًا لسلسلة زمنية y _t

${\displaystyle y_{t}=\gamma _{0}+\gamma _{1}y_{t-1}+\gamma _{2}y_{t-2}+...+\gamma _{p}y_{tp}+\epsilon _{t}.\,}$

أين:

${\displaystyle \gamma _{i}\,}$بالنسبة لـ i = 1، 2، ...، فإن p هي معاملات الانحدار الذاتي ، ويفترض أنها ثابتة بمرور الوقت؛

${\displaystyle \epsilon _{t}{\stackrel {\mathit {iid}}{\sim }}WN(0;\sigma ^{2})\,}$يرمز إلى حد الخطأ للضوضاء البيضاء ذي التباين الثابت .

مكتوبة بالشكل المتجهي التالي:

${\displaystyle y_{t}=\mathbf {X_{t}\gamma } +\sigma \epsilon _{t}.\,}$

أين:

${\displaystyle \mathbf {X_{t}} =(1,y_{t-1},y_{t-2},\ldots ,y_{tp})\,}$هو متجه عمودي من المتغيرات؛

${\displaystyle \gamma \,}$هو متجه المعاملات  :${\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},...,\gamma _{p}\,}$؛

${\displaystyle \epsilon _{t}{\stackrel {\mathit {iid}}{\sim }}WN(0;1)\,}$يرمز إلى حد الخطأ للضوضاء البيضاء ذي التباين الثابت .

طُرحت نماذج STAR وطُوّرت بشكل شامل من قِبل كونغ سيك تشان وهويل تونغ عام 1986 (خاصةً في الصفحة  187)، حيث استُخدم نفس الاختصار. وهو في الأصل اختصار لـ Smooth Threshold AutoRegressive (الانحدار الذاتي ذو العتبة السلسة). للاطلاع على بعض المعلومات التاريخية، يُرجى مراجعة تونغ (2011، 2012). يمكن اعتبار هذه النماذج امتدادًا لنماذج الانحدار الذاتي المذكورة سابقًا، مما يسمح بتغيير معلمات النموذج وفقًا لقيمة متغير الانتقال z _t . أثبت تشان وتونغ (1986) بدقة أن عائلة نماذج STAR تشمل نموذج SETAR كحالة حدية، وذلك من خلال إظهار التقييد المنتظم والاستمرارية المتساوية فيما يتعلق بمعلمة التبديل. بدون هذا الإثبات، فإن القول بأن نماذج STAR تتضمن نموذج SETAR يفتقر إلى التبرير. لسوء الحظ، كان اختيار نموذج SETAR أو نموذج STAR لبيانات معينة مسألة تقدير شخصي وذوق وميل في كثير من الدراسات. لحسن الحظ، أصبح إجراء الاختبار، المستند إلى اختبار ديفيد كوكس لمجموعات الفرضيات المنفصلة والذي طوره غاو ولينغ وتونغ (2018، مجلة الإحصاء الصينية ، المجلد 28، الصفحات 2857-2883)، متاحًا الآن لمعالجة هذه المسألة. يُعدّ هذا الاختبار مهمًا قبل اعتماد نموذج STAR، لأنّ المعامل الذي يتحكم في معدل تبديله، من بين أمور أخرى، يستهلك كميات هائلة من البيانات.

وبناءً على هذا التعريف، يمكن عرض نموذج STAR على النحو التالي:

${\displaystyle y_{t}=\mathbf {X_{t}} +G(z_{t},\zeta ,c)\mathbf {X_{t}} +\sigma ^{(j)}\epsilon _{t}\,}$

أين:

${\displaystyle X_{t}=(1,y_{t-1},y_{t-2},...,y_{tp})\,}$هو متجه عمودي من المتغيرات؛

${\displaystyle G(z_{t},\zeta ,c)}$هل دالة الانتقال محصورة بين 0 و 1؟

يمكن فهمها إما كنموذج SETAR ثنائي النظام مع انتقال سلس بين النظامين، أو كسلسلة متصلة من الأنظمة. في كلتا الحالتين، يُعد وجود دالة الانتقال السمة المميزة للنموذج، إذ يسمح بتغيير قيم المعاملات.

ثلاث دوال انتقالية أساسية وأسماء النماذج الناتجة هي:

• دالة لوجستية من الدرجة الأولى - ينتج عنها نموذج Logistic STAR ( LSTAR ):

${\displaystyle G(z_{t},\zeta ,c)=(1+exp(-\zeta (z_{t}-c)))^{-1},\zeta >0}$

• الدالة الأسية - ينتج عنها نموذج النجمة الأسية ( ESTAR ):

${\displaystyle G(z_{t},\zeta ,c)=1-exp(-\zeta (z_{t}-c)^{2}),\zeta >0}$

• دالة لوجستية من الدرجة الثانية:

${\displaystyle G(z_{t},\zeta ,c)=(1+exp(-\zeta (z_{t}-c_{1})(z_{t}-c_{2})))^{-1},\zeta >0}$