ضوضاء بيضاء

تُستخدم الضوضاء البيضاء بشكل شائع في إنتاج الموسيقى الإلكترونية ، إما مباشرةً أو كمدخل لمرشح لإنشاء أنواع أخرى من إشارات الضوضاء. كما تُستخدم على نطاق واسع في توليف الصوت ، وخاصةً لإعادة إنتاج آلات الإيقاع مثل الصنج أو الطبول الصغيرة التي تحتوي على نسبة عالية من الضوضاء في نطاق ترددها. ^{[ 12 ]} ومن الأمثلة البسيطة على الضوضاء البيضاء محطة إذاعية غير موجودة (تشويش).

يُستخدم الضجيج الأبيض أيضًا للحصول على استجابة النبضة للدائرة الكهربائية، وخاصةً مكبرات الصوت وغيرها من المعدات الصوتية. ^{[ 13 ]} ولا يُستخدم لاختبار مكبرات الصوت لأن طيفه يحتوي على كمية كبيرة جدًا من الترددات العالية. أما الضجيج الوردي ، الذي يختلف عن الضجيج الأبيض في أنه يحتوي على طاقة متساوية في كل أوكتاف، فيُستخدم لاختبار المحولات مثل مكبرات الصوت والميكروفونات. ^{[ 14 ]}

تُستخدم الضوضاء البيضاء كأساس لبعض مولدات الأرقام العشوائية . على سبيل المثال، يستخدم موقع Random.org نظامًا من الهوائيات الجوية لتوليد أنماط أرقام عشوائية من مصادر يمكن نمذجتها بشكل جيد باستخدام الضوضاء البيضاء. ^{[ 15 ]}

الضوضاء البيضاء مصدر شائع للضوضاء الاصطناعية يُستخدم لإخفاء طنين الأذن . ^{[ 16 ]} تُباع أجهزة الضوضاء البيضاء وغيرها من مصادرها كوسائل لتحسين الخصوصية والمساعدة على النوم (انظر: الموسيقى والنوم ) ولإخفاء طنين الأذن . ^{[ 17 ]} كان جهاز Marpac Sleep-Mate أول جهاز ضوضاء بيضاء للاستخدام المنزلي، صُنع عام 1962 على يد البائع المتجول جيم باكوالتر. ^{[ 18 ]} بديلًا لذلك، يُعد استخدام راديو AM مضبوط على ترددات غير مستخدمة ("تشويش") مصدرًا أبسط وأقل تكلفة للضوضاء البيضاء. ^{[ 19 ]} مع ذلك، فإن الضوضاء البيضاء الناتجة عن جهاز استقبال راديو تجاري شائع مضبوط على تردد غير مستخدم تكون عرضة بشدة للتلوث بإشارات دخيلة، مثل محطات الراديو المجاورة، أو التوافقيات من محطات الراديو غير المجاورة، أو المعدات الكهربائية القريبة من هوائي الاستقبال التي تُسبب تداخلًا، أو حتى الظواهر الجوية مثل التوهجات الشمسية، وخاصة البرق.

تتباين آثار الضوضاء البيضاء على الوظائف الإدراكية. فقد وجدت دراسة صغيرة نُشرت عام ٢٠٠٧ أن التحفيز بالضوضاء البيضاء في الخلفية يُحسّن الوظائف الإدراكية لدى طلاب المرحلة الثانوية المصابين باضطراب نقص الانتباه مع فرط النشاط (ADHD)، بينما يُقلّل من أداء الطلاب غير المصابين بهذا الاضطراب. ^{[ ٢٠ ] [ ٢١ ]} وتشير دراسات أخرى إلى فعاليتها في تحسين مزاج وأداء الموظفين من خلال حجب ضوضاء المكتب الخلفية، ^{[ ٢٢ ]} ولكنها تُقلّل من الأداء الإدراكي في مهام فرز البطاقات المعقدة. ^{[ ٢٣ ]}

وبالمثل، أُجريت تجربة على ستة وستين مشاركًا سليمًا لرصد فوائد استخدام الضوضاء البيضاء في بيئة التعلم. تضمنت التجربة قيام المشاركين بتحديد صور مختلفة مع وجود أصوات مختلفة في الخلفية. أظهرت التجربة عمومًا أن للضوضاء البيضاء فوائد فعلية فيما يتعلق بالتعلم. فقد أظهرت التجارب أن الضوضاء البيضاء حسّنت قدرات المشاركين على التعلم وذاكرتهم الإدراكية بشكل طفيف. ^{[ 24 ]}

يُقال عن المتجه العشوائي (أي المتغير العشوائي ذو القيم في R^n) أنه متجه ضوضاء بيضاء أو متجه عشوائي أبيض إذا كان لكل مكون من مكوناته توزيع احتمالي بمتوسط ​​صفر ^وتباين محدود . في حين أن تعريفات معالجة الإشارات القياسية تشترط بدقة أن تكون هذه التباينات متطابقة لضمان طيف قدرة مسطح تمامًا، فإن المعالجات الإحصائية الأوسع نطاقًا تكتفي أحيانًا بأن تكون التباينات محدودة وأن تكون المكونات مستقلة إحصائيًا : أي أن توزيعها الاحتمالي المشترك يجب أن يكون حاصل ضرب توزيعات المكونات الفردية. ^{[ 25 ]}

الشرط الضروري (ولكنه غير كافٍ عمومًا ) للاستقلال الإحصائي لمتغيرين هو عدم وجود ارتباط إحصائي بينهما ؛ أي أن تباينهما المشترك يساوي صفرًا. لذلك، يجب أن تكون مصفوفة التباين المشترك R لمكونات متجه الضوضاء البيضاء w ذي n عنصرًا مصفوفة قطرية من الرتبة n ×n ، حيث يمثل كل عنصر قطري Rᵢ تباين المكون wᵢ _؛ ويجب أن تكون مصفوفة الارتباط مصفوفة الوحدة من الرتبة n × n . (إذا كانت التباينات متطابقة، _فإن مصفوفة التباين المشترك تُختزل إلى مضاعف عددي لمصفوفة الوحدة).${\displaystyle R=\sigma ^{2}I}$).

إذا كان كل متغير في w ، بالإضافة إلى كونه مستقلاً، يتبع أيضاً توزيعاً طبيعياً بمتوسط ​​صفر ونفس التباين${\displaystyle \sigma ^{2}}$يُقال إن w متجه ضوضاء بيضاء غاوسية. في هذه الحالة، يكون التوزيع المشترك لـ w توزيعًا طبيعيًا متعدد المتغيرات ؛ ويعني استقلال المتغيرات أن التوزيع يتمتع بتناظر كروي في فضاء ذي n بُعد. لذلك، فإن أي تحويل متعامد للمتجه سينتج عنه متجه عشوائي أبيض غاوسي. على وجه الخصوص، في معظم أنواع تحويل فورييه المنفصل ، مثل تحويل فورييه السريع (FFT) وتحويل هارتلي ، سيكون التحويل W لـ w متجه ضوضاء بيضاء غاوسي أيضًا؛ أي أن معاملات فورييه n لـ w ستكون متغيرات غاوسية مستقلة بمتوسط ​​صفر وتباين متساوٍ.${\displaystyle \sigma ^{2}}$.

يمكن تعريف طيف القدرة P لمتجه عشوائي w بأنه القيمة المتوقعة لمربع القيمة المطلقة لكل معامل من معاملات تحويل فورييه W الخاص به ، أي Pᵢ ₌ E(| Wᵢ | ^{² ). وبناءً على هذا التعريف، سيكون لمتجه الضوضاء البيضاء الغاوسية طيف قدرة مسطح تمامًا} _، حيث Pᵢ ₌ σ² لجميع  قيم i .  

إذا كان w متجهًا عشوائيًا أبيض، ولكنه ليس متجهًا غاوسيًا، فإن معاملات فورييه الخاصة به W _i لن تكون مستقلة تمامًا عن بعضها البعض؛ على الرغم من أن الاعتمادات تكون دقيقة للغاية بالنسبة لـ n الكبيرة وتوزيعات الاحتمالات الشائعة، ويمكن افتراض أن ارتباطاتها الزوجية تساوي صفرًا.

غالبًا ما يُستخدم الشرط الأضعف، وهو عدم الارتباط الإحصائي، في تعريف الضوضاء البيضاء، بدلًا من الاستقلال الإحصائي. مع ذلك، قد لا تنطبق بعض الخصائص المتوقعة للضوضاء البيضاء (مثل طيف القدرة المسطح) على هذا الشرط الأضعف. وبناءً على هذا الافتراض، يُمكن الإشارة صراحةً إلى الشرط الأكثر صرامة على أنه متجه ضوضاء بيضاء مستقل. ^{[ 26 ] : ص 60.} يستخدم مؤلفون آخرون مصطلحي "أبيض قوي" و"أبيض ضعيف" بدلًا من ذلك. ^{[ 27 ]}

مثال على متجه عشوائي يمثل ضوضاء بيضاء غاوسية بالمعنى الضعيف وليس بالمعنى القوي هو${\displaystyle x=[x_{1},x_{2}]}$أين${\displaystyle x_{1}}$متغير عشوائي طبيعي بمتوسط ​​صفر، و${\displaystyle x_{2}}$يساوي${\displaystyle +x_{1}}$أو إلى${\displaystyle -x_{1}}$باحتمالية متساوية. هذان المتغيران غير مرتبطين ويتبعان التوزيع الطبيعي بشكل فردي، لكنهما لا يتبعان التوزيع الطبيعي المشترك وليسا مستقلين. إذا${\displaystyle x}$إذا تم تدويرها بمقدار 45 درجة، فسيظل مكوناها غير مرتبطين، لكن توزيعهما لن يكون طبيعيًا بعد الآن.

في بعض الحالات، يمكن تخفيف التعريف بالسماح لكل مكون من مكونات متجه عشوائي أبيض${\displaystyle w}$أن يكون لها قيمة متوقعة غير صفرية${\displaystyle \mu }$في معالجة الصور على وجه الخصوص، حيث تقتصر العينات عادةً على القيم الموجبة، غالبًا ما يأخذ المرء${\displaystyle \mu }$أن يكون نصف قيمة العينة القصوى. في هذه الحالة، يكون معامل فورييه${\displaystyle W_{0}}$وهو ما يتوافق مع مكون التردد الصفري (بشكل أساسي، متوسط${\displaystyle w_{i}}$سيكون له أيضًا قيمة متوقعة غير صفرية${\displaystyle \mu {\sqrt {n}}}$ونطاق القدرة${\displaystyle P}$سيكون مسطحًا فقط عند الترددات غير الصفرية.

عملية عشوائية منفصلة الزمن${\displaystyle W(n)}$هو تعميم لمتجه عشوائي ذي عدد محدود من المكونات إلى عدد لا نهائي من المكونات. عملية عشوائية منفصلة الزمن${\displaystyle W(n)}$يُطلق عليه اسم الضوضاء البيضاء ذات المعنى الضعيف (أو غالبًا ببساطة "الضوضاء البيضاء" في معالجة الإشارات) إذا كان متوسطه يساوي صفرًا لجميع${\displaystyle n}$، أي،${\displaystyle \operatorname {E} [W(n)]=0}$وإذا كانت دالة الارتباط الذاتي الخاصة بها${\displaystyle R_{W}(n)=\اسم المشغل {E} [W(k+n)W(k)]}$لها قيمة غير صفرية فقط لـ${\displaystyle n=0}$، أي،${\displaystyle R_{W}(n)=\sigma ^{2}\delta (n)}$، أين${\displaystyle \sigma ^{2}}$هو التباين و${\displaystyle \delta (n)}$هي دلتا كرونكر . ^{[ 28 ]}

المتغيرات${\displaystyle W(n)}$يكفي أن تكون المتغيرات غير مترابطة (وليس بالضرورة مستقلة إحصائيًا ) لأن كثافة القدرة الطيفية المسطحة المميزة للضوضاء البيضاء تعتمد كليًا على العزوم من الرتبة الثانية للعملية (دالة الارتباط الذاتي). تُعرف العملية التي تتطلب بشكل صارم أن تكون العينات مستقلة وموزعة توزيعًا متطابقًا (iid) بالضوضاء البيضاء بالمعنى الدقيق . والجدير بالذكر أنه إذا كانت المتغيرات العشوائية غير المترابطة تتبع التوزيع الغاوسي المشترك ، فإن هذا يضمن ضمنيًا استقلالها الإحصائي أيضًا.

لتعريف مفهوم الضوضاء البيضاء في نظرية الإشارات الزمنية المستمرة ، يجب استبدال مفهوم المتجه العشوائي بإشارة عشوائية زمنية مستمرة؛ أي عملية عشوائية تولد دالة.${\displaystyle w}$لمعامل ذي قيمة حقيقية${\displaystyle t}$.

يُقال إن هذه العملية عبارة عن ضوضاء بيضاء بالمعنى الأقوى إذا كانت القيمة${\displaystyle w(t)}$لأي وقت${\displaystyle t}$هو متغير عشوائي مستقل إحصائياً عن تاريخه الكامل السابق${\displaystyle t}$يتطلب تعريف أضعف الاستقلال بين القيم فقط${\displaystyle w(t_{1})}$و${\displaystyle w(t_{2})}$في كل زوج من الأوقات المتميزة${\displaystyle t_{1}}$و${\displaystyle t_{2}}$يتطلب تعريف أضعف من ذلك أن هذه الأزواج${\displaystyle w(t_{1})}$و${\displaystyle w(t_{2})}$أن تكون غير مترابطة. ^{[ 29 ]} كما هو الحال في الحالة المنفصلة، ​​يتبنى بعض المؤلفين التعريف الأضعف للضوضاء البيضاء، ويستخدمون صفة "مستقلة" للإشارة إلى أي من التعريفين الأقوى. بينما يستخدم آخرون مصطلحي "بيضاء ضعيفة" و"بيضاء قوية" للتمييز بينهما.

مع ذلك، فإن التعريف الدقيق لهذه المفاهيم ليس بالأمر الهين، لأن بعض الكميات التي تمثل مجاميع منتهية في الحالة المنفصلة المنتهية يجب استبدالها بتكاملات قد لا تتقارب. في الواقع، مجموعة جميع الحالات الممكنة لإشارة ما هي${\displaystyle w}$لم يعد فضاءً محدود الأبعاد${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$، ولكن فضاء دالة لا نهائي الأبعاد . علاوة على ذلك، وبحسب أي تعريف، إشارة ضوضاء بيضاء${\displaystyle w}$سيكون من الضروري أن تكون العملية غير متصلة بشكل أساسي عند كل نقطة؛ لذلك حتى أبسط العمليات على${\displaystyle w}$تتطلب عمليات مثل التكامل على فترة زمنية محدودة، أدوات رياضية متقدمة.

تتعامل بعض النصوص الهندسية التمهيدية مع هذا الأمر باعتباره أسلوبًا استدلاليًا بدلاً من تعريف رياضي دقيق، وتتطلب كل قيمة${\displaystyle w(t)}$أن يكون متغيرًا عشوائيًا ذا قيمة حقيقية مع توقع${\displaystyle \mu }$وبعض التباين المحدود${\displaystyle \sigma ^{2}}$ثم التغاير${\displaystyle \mathrm {E} (w(t_{1})\cdot w(t_{2}))}$بين القيم في وقتين${\displaystyle t_{1}}$و${\displaystyle t_{2}}$وهي محددة جيدًا: تساوي صفرًا إذا كانت الأوقات مختلفة، و${\displaystyle \sigma ^{2}}$إذا كانت متساوية. ومع ذلك، وفقًا لهذا التعريف، فإن التكامل

${\displaystyle W_{[a,a+r]}=\int _{a}^{a+r}w(t)\,dt}$

على أي فترة ذات عرض موجب${\displaystyle r}$سيكون ببساطة هو العرض مضروبًا في القيمة المتوقعة:${\displaystyle r\mu }$على الرغم من أن كون القيمة المتوقعة صفرًا ليس إشكالًا في حد ذاته، إلا أنه إذا كان التباين النقطي محدودًا، فإن تباين هذا التكامل سيكون صفرًا، مما يعني أن الإشارة لا تمتلك طاقة قابلة للقياس. هذه الخاصية تجعل المفهوم غير كافٍ كنموذج لإشارات الضوضاء البيضاء، سواء من الناحية الفيزيائية أو الرياضية، لأن عملية الضوضاء البيضاء الحقيقية يجب أن تمتلك كثافة طيفية ثابتة ، مما يتطلب أن يكون التباين النقطي لانهائيًا وليس محدودًا.

لذلك، يُعرّف معظم المؤلفين الإشارة${\displaystyle w}$بشكل غير مباشر عن طريق تحديد قيم عشوائية لتكاملات${\displaystyle w(t)}$و${\displaystyle |w(t)|^{2}}$خلال كل فترة${\displaystyle [a,a+r]}$لكن في هذا النهج، تكمن قيمة${\displaystyle w(t)}$لا يمكن تعريف المتغير في وقت معزول كمتغير عشوائي حقيقي قياسي. ^{[ 30 ]} وكذلك التغاير${\displaystyle \mathrm {E} (w(t_{1})\cdot w(t_{2}))}$يصبح لانهائيًا عندما${\displaystyle t_{1}=t_{2}}$ودالة التغاير الذاتي (والتي يشار إليها غالبًا بشكل غير دقيق باسم الارتباط الذاتي في السياقات الهندسية)${\displaystyle \mathrm {R} (t_{1},t_{2})}$يجب تعريفها على النحو التالي${\displaystyle N\delta (t_{1}-t_{2})}$، أين${\displaystyle N}$هو ثابت حقيقي يمثل كثافة القدرة الطيفية و${\displaystyle \delta }$دالة ديراك دلتا هي مقياس غير محدود يعكس بدقة التباين اللانهائي عند${\displaystyle t_{1}=t_{2}}$.

في هذا النهج، عادةً ما يتم تحديد أن التكامل${\displaystyle W_{I}}$ل${\displaystyle w(t)}$على مدى فترة زمنية${\displaystyle I=[a,b]}$هو متغير عشوائي حقيقي ذو توزيع طبيعي، متوسطه صفر، وتباينه${\displaystyle (ba)\sigma ^{2}}$وكذلك أن التغاير${\displaystyle \mathrm {E} (W_{I}\cdot W_{J})}$من التكاملات${\displaystyle W_{I}}$،${\displaystyle W_{J}}$يكون${\displaystyle r\sigma ^{2}}$، أين${\displaystyle r}$هو عرض التقاطع${\displaystyle I\cap J}$من الفترتين${\displaystyle I,J}$يُطلق على هذا النموذج اسم إشارة الضوضاء البيضاء الغاوسية (أو العملية).

في المجال الرياضي المعروف بتحليل الضوضاء البيضاء ، الضوضاء البيضاء الغاوسية${\displaystyle w}$يُعرَّف بأنه توزيع عشوائي معتدل، أي متغير عشوائي له قيم في الفضاء${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )}$من التوزيعات المعتدلة . على غرار حالة المتجهات العشوائية ذات الأبعاد المحدودة، قانون احتمالي على الفضاء ذي الأبعاد اللانهائية${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )}$يمكن تعريفها من خلال دالتها المميزة (يتم ضمان الوجود والوحدانية من خلال امتداد لنظرية بوخنر-مينلوس، والتي تُعرف باسم نظرية بوخنر-مينلوس-سازانوف):

• على غرار حالة التوزيع الطبيعي متعدد المتغيرات${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}} _ {n}(\mu ,\Sigma )}$، والتي لها وظيفة مميزة:

${\displaystyle \forall k\in \mathbb {R} ^{n}:\quad \mathrm {E} (\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \langle k,X\rangle })=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \langle k,\mu \rangle -{\frac {1}{2}}\langle k,\Sigma k\rangle },}$

• الضوضاء البيضاء${\displaystyle w:\Omega \to {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )}$يجب أن يستوفي الشروط التالية:

${\displaystyle \forall \varphi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ):\quad \mathrm {E} (\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \langle w,\varphi \rangle })=\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}\|\varphi \|_{2}^{2}},}$

• أين${\displaystyle \langle w,\varphi \rangle }$هو الاقتران الطبيعي للتوزيع المعتدل${\displaystyle w(\omega )}$باستخدام دالة شوارتز${\displaystyle \varphi }$(أي أننا نعتبر${\displaystyle \varphi }$كدالة خطية ثابتة على${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )}$على غرار${\displaystyle k}$فوق).
• و${\displaystyle \|\varphi \|_{2}^{2}=\int _{\mathbb {R} }\vert \varphi (x)\vert ^{2}\,\mathrm {d} x}$.

في الإحصاء والاقتصاد القياسي، يُفترض غالبًا أن سلسلة البيانات المرصودة هي مجموع القيم الناتجة عن عملية خطية حتمية ، تعتمد على متغيرات مستقلة (تفسيرية) معينة ، وعلى سلسلة من قيم الضوضاء العشوائية. ثم يُستخدم تحليل الانحدار لاستنتاج معلمات نموذج العملية من البيانات المرصودة، على سبيل المثال باستخدام طريقة المربعات الصغرى العادية ، ولاختبار الفرضية الصفرية التي تنص على أن كل معلمة تساوي صفرًا مقابل الفرضية البديلة التي تنص على أنها لا تساوي صفرًا. يفترض اختبار الفرضيات عادةً أن قيم الضوضاء غير مترابطة فيما بينها، ولها متوسط ​​صفري، ولها نفس التوزيع الاحتمالي الغاوسي - بعبارة أخرى، أن الضوضاء بيضاء غاوسية (وليست بيضاء فقط). ^{[ 31 ]} إذا كان هناك ارتباط غير صفري بين قيم الضوضاء الكامنة وراء الملاحظات المختلفة، فإن معلمات النموذج المقدرة تظل غير متحيزة ، لكن تقديرات عدم اليقين فيها (مثل فترات الثقة ) ستكون متحيزة (غير دقيقة في المتوسط). وينطبق هذا أيضًا إذا كانت الضوضاء غير متجانسة التباين - أي إذا كان لها تباينات مختلفة لنقاط البيانات المختلفة.  

بدلاً من ذلك، في فرع تحليل الانحدار المعروف بتحليل السلاسل الزمنية، غالباً لا توجد متغيرات تفسيرية أخرى غير القيم السابقة للمتغير الذي يتم نمذجته ( المتغير التابع ). في هذه الحالة، غالباً ما يتم نمذجة عملية الضوضاء كعملية متوسط ​​متحرك ، حيث تعتمد القيمة الحالية للمتغير التابع على القيم الحالية والسابقة لعملية ضوضاء بيضاء متسلسلة. ^{[ 32 ]}

باستخدام تحويل خطي مناسب ( تحويل تلوين )، يمكن استخدام متجه عشوائي أبيض لإنتاج متجه عشوائي غير أبيض (أي قائمة من المتغيرات العشوائية) عناصرها لها مصفوفة تباين محددة. وعلى العكس، يمكن تحويل متجه عشوائي ذي مصفوفة تباين معروفة إلى متجه عشوائي أبيض باستخدام تحويل تبييض مناسب . ^{[ 33 ]}

تُعدّ هاتان الفكرتان أساسيتين في تطبيقات مثل تقدير القناة ومعادلة القناة في الاتصالات والصوت . كما تُستخدم هذه المفاهيم في ضغط البيانات .