تشعب العقدة السرجية

في مجال نظرية التشعب الرياضي ، يُعرف تشعب العقدة السرجية ، أو التشعب المماسي ، أو تشعب الطي، بأنه تشعب موضعي تتصادم فيه نقطتان ثابتتان (أو حالتا توازن ) لنظام ديناميكي، مما يؤدي إلى تلاشي إحداهما الأخرى. يُستخدم مصطلح "تشعب العقدة السرجية" غالبًا للإشارة إلى الأنظمة الديناميكية المتصلة. أما في الأنظمة الديناميكية المتقطعة، فيُطلق على التشعب نفسه غالبًا اسم " تشعب الطي" . ويُعرف أيضًا باسم "تشعب السماء الزرقاء" للإشارة إلى الظهور المفاجئ لنقطتين ثابتتين. ^{[ 1 ]}

إذا كانت مساحة الطور أحادية البعد، فإن إحدى نقاط التوازن تكون غير مستقرة (نقطة السرج)، بينما الأخرى مستقرة (نقطة العقدة).

قد ترتبط تشعبات العقدة السرجية بحلقات التخلف والكوارث .

مثال نموذجي لمعادلة تفاضلية ذات تشعب عقدة سرجية هو:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=r+x^{2}.}$

هنا${\displaystyle x}$هو متغير الحالة و${\displaystyle r}$هو معامل التشعب.

• لو${\displaystyle r<0}$توجد نقطتا توازن، نقطة توازن مستقرة عند${\displaystyle -{\sqrt {-r}}}$وواحد غير مستقر في${\displaystyle +{\sqrt {-r}}}$.
• في${\displaystyle r=0}$(نقطة التشعب) توجد نقطة توازن واحدة فقط. عند هذه النقطة، لم تعد النقطة الثابتة زائدية . في هذه الحالة، تُسمى النقطة الثابتة نقطة سرجية عقدية ثابتة.
• لو${\displaystyle r>0}$لا توجد نقاط توازن. ^{[ 2 ]}

في الواقع، هذا شكل طبيعي لتشعب العقدة السرجية. معادلة تفاضلية قياسية${\displaystyle {\tfrac {dx}{dt}}=f(r,x)}$والتي لها نقطة ثابتة عند${\displaystyle x=0}$ل${\displaystyle r=0}$مع${\displaystyle {\tfrac {\partial f}{\partial x}}(0,0)=0}$مكافئ طوبولوجيًا محليًا لـ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=r\pm x^{2}}$بشرط أن يفي بـ${\displaystyle {\tfrac {\partial ^{2}\!f}{\partial x^{2}}}(0,0)\neq 0}$و${\displaystyle {\tfrac {\partial f}{\partial r}}(0,0)\neq 0}$الشرط الأول هو شرط عدم الانحلال، والشرط الثاني هو شرط التعامد. ^{[ 3 ]}

يحدث مثال على تشعب العقدة السرجية في بعدين في النظام الديناميكي ثنائي الأبعاد:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\alpha -x^{2}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=-y.}$

كما يتضح من الرسوم المتحركة التي تم الحصول عليها من خلال رسم مخططات الطور عن طريق تغيير المعلمة${\displaystyle \alpha }$،

• متى${\displaystyle \alpha }$إذا كانت القيمة سالبة، فلا توجد نقاط توازن.
• متى${\displaystyle \alpha =0}$، هناك نقطة عقدة سرجية.
• متى${\displaystyle \alpha }$إذا كانت القيمة موجبة، فهناك نقطتا توازن: أي نقطة سرجية واحدة وعقدة واحدة (إما جاذبة أو دافعة).

ومن الأمثلة الأخرى نمذجة المفاتيح البيولوجية. ^{[ 4 ]} وقد تبين مؤخرًا أنه في ظل ظروف معينة، تتخذ معادلات أينشتاين للمجال في النسبية العامة نفس شكل تشعب الطي. ^{[ 5 ]} كما دُرست نسخة غير ذاتية من تشعب العقدة السرجية (أي أن المعامل يعتمد على الزمن). ^{[ 6 ]}

• تشعب مذراة
• التشعب العابر
• تفرع هوبف
• نقطة السرج

• كوزنيتسوف، يوري أ. (1998). عناصر نظرية التشعب التطبيقية (  الطبعة الثانية). سبرينغر. ISBN 0-387-98382-1.
• ستروغاتز، ستيفن هـ. (1994). الديناميكا غير الخطية والفوضى . أديسون ويسلي. ISBN 0-201-54344-3.
• وايسشتاين، إريك دبليو. "الانقسام الطي" . عالم الرياضيات .
• تشونغ، كيه إتش؛ ساماراسينغ، إس؛ كولاسيري، دي؛ تشنغ، جيه. (2015). التقنيات الحسابية في النمذجة الرياضية للمفاتيح البيولوجية . في: ويبر، تي؛ ماكفي، إم جيه؛ أندرسن، آر إس (محررون). MODSIM2015، المؤتمر الدولي الحادي والعشرون للنمذجة والمحاكاة (MODSIM 2015). جمعية النمذجة والمحاكاة في أستراليا ونيوزيلندا، ديسمبر 2015، الصفحات 578-584. ISBN 978-0-9872143-5-5.
• كوهلي، إيكجيوت سينغ؛ هاسلام، مايكل سي. (2018). معادلات أينشتاين للمجال كتشعب طي . مجلة الهندسة والفيزياء، المجلد 123، يناير 2018، الصفحات 434-437.