التصلب

يُقال عن النظام الميكانيكي أنه نظام ذو قيود ثابتة (scleronomous) إذا لم تتضمن معادلات القيود الزمن كمتغير صريح، وإذا أمكن وصف هذه القيود بإحداثيات معممة. تُسمى هذه القيود بالقيود الثابتة (scleronomous ). عكس النظام ذي القيود الثابتة هو النظام ذو القيود المتغيرة (reonomous) .

في الفضاء ثلاثي الأبعاد، جسيم ذو كتلة${\displaystyle m\,\!}$، سرعة${\displaystyle \mathbf {v} }$يمتلك طاقة حركية${\displaystyle T}$$${\displaystyle T={\frac {1}{2}}mv^{2}.}$$

السرعة هي مشتقة الموضع${\displaystyle r}$فيما يتعلق بالوقت${\displaystyle t\,\!}$استخدم قاعدة السلسلة لعدة متغيرات : $${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\sum _{i}\ {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}.}$$ أين${\displaystyle q_{i}}$هي إحداثيات معممة .

لذلك، $${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m\left(\sum _{i}\ {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right)^{2}.}$$

^{[ 1 ]} إعادة ترتيب المصطلحات بعناية

$${\displaystyle {\begin{aligned}T&=T_{0}+T_{1}+T_{2}:\\[1ex]T_{0}&={\frac {1}{2}}m\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right)^{2},\\T_{1}&=\sum _{i}\ m{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}\,\!,\\T_{2}&=\sum _{i,j}\ {\frac {1}{2}}m{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j},\end{aligned}}}$$

أين${\displaystyle T_{0}\,\!}$،${\displaystyle T_{1}\,\!}$،${\displaystyle T_{2}}$هي دوال متجانسة من الدرجة 0 و1 و2 على التوالي في السرعات المعممة. إذا كان هذا النظام سريع التغير، فإن الموضع لا يعتمد صراحةً على الزمن.

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}=0.}$$ لذلك، المصطلح الوحيد${\displaystyle T_{2}}$لا يختفي: $${\displaystyle T=T_{2}.}$$ الطاقة الحركية هي دالة متجانسة من الدرجة الثانية في السرعات المعممة.

كما هو موضح على اليمين، يتكون البندول البسيط من ثقل وخيط. يُربط الخيط من طرفه العلوي بمحور ومن طرفه السفلي بثقل. ولأنه غير قابل للتمدد، فإن طول الخيط ثابت. لذلك، يُسمى هذا النظام بالبندول الصلب؛ أي أنه يخضع لقيد صلب. $${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-L=0,}$$ أين${\displaystyle (x,y)}$هو موضع الوزن و${\displaystyle L}$هو طول السلسلة.

لنأخذ مثالاً أكثر تعقيداً. انظر إلى الشكل التالي على اليمين، وافترض أن الطرف العلوي للخيط متصل بنقطة ارتكاز تخضع لحركة توافقية بسيطة.$${\displaystyle x_{t}=x_{0}\cos \omega t,}$$

أين${\displaystyle x_{0}}$هي السعة،${\displaystyle \omega }$التردد الزاوي، و${\displaystyle t}$حان الوقت.

على الرغم من أن الطرف العلوي للخيط غير ثابت، إلا أن طول هذا الخيط غير القابل للتمدد يظل ثابتًا. يجب أن تبقى المسافة بين الطرف العلوي والثقل ثابتة. لذلك، يُعتبر هذا النظام متقلبًا لأنه يخضع لقيد يعتمد بشكل صريح على الزمن. $${\displaystyle {\sqrt {(x-x_{0}\cos \omega t)^{2}+y^{2}}}-L=0.}$$

• ميكانيكا لاغرانج
• النظام الهولونومي
• نظام غير هولونومي
• ريونوموس
• مصفوفة الكتلة