بئر جهد نصف دائري

في ميكانيكا الكم ، تشبه حالة الجسيم في حلقة أحادية البعد حالة الجسيم في صندوق . يتبع الجسيم مسار نصف دائرة من${\displaystyle 0}$ل${\displaystyle \pi }$حيث لا يمكنها الهروب، لأن الإمكانات من${\displaystyle \pi }$ل${\displaystyle 2\pi }$لا نهائي. بدلاً من ذلك، يحدث انعكاس كلي، مما يعني أن الجسيم يرتد ذهابًا وإيابًا بين${\displaystyle 0}$ل${\displaystyle \pi }$معادلة شرودنغر لجسيم حر مقيد بنصف دائرة (تقنيًا، فضاء تكوينه هو الدائرة)${\displaystyle S^{1}}$) يكون

$${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi =E\psi }$$

1

باستخدام الإحداثيات الأسطوانية على نصف الدائرة أحادي البعد، تعتمد الدالة الموجية فقط على الإحداثي الزاوي ، وبالتالي

$${\displaystyle \nabla ^{2}={\frac {1}{s^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}}$$

2

وباستبدال لابلاس في الإحداثيات الأسطوانية، تُعبّر الدالة الموجية بالتالي عن:

$${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2ms^{2}}}{\frac {d^{2}\psi }{d\phi ^{2}}}=E\psi }$$

3

عزم القصور الذاتي لنصف دائرة، والذي يُعبَّر عنه بشكل أفضل بالإحداثيات الأسطوانية، هو${\textstyle I\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \iiint _{V}r^{2}\,\rho (r,\phi ,z)\,rdr\,d\phi \,dz\!}$بحل التكامل، نجد أن عزم القصور الذاتي لنصف دائرة هو${\displaystyle I=ms^{2}}$، وهو نفس الشيء تمامًا بالنسبة لحلقة لها نفس نصف القطر. يمكن الآن التعبير عن الدالة الموجية على النحو التالي:${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2I}}{\frac {d^{2}\psi }{d\phi ^{2}}}=E\psi }$، وهو أمر يمكن حله بسهولة.

بما أن الجسيم لا يستطيع الهروب من المنطقة من${\displaystyle 0}$ل${\displaystyle \pi }$الحل العام لهذه المعادلة التفاضلية هو

$${\displaystyle \psi (\phi )=A\cos(m\phi )+B\sin(m\phi )}$$

4

تعريف${\textstyle m={\sqrt {\frac {2IE}{\hbar ^{2}}}}}$يمكننا حساب الطاقة على النحو التالي:${\textstyle E={\frac {m^{2}\hbar ^{2}}{2I}}}$ثم نطبق الشروط الحدية، حيث${\displaystyle \psi }$و${\displaystyle {\frac {d\psi }{d\phi }}}$متصلة ودالة الموجة قابلة للتطبيع:

$${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\left|\psi (\phi )\right|^{2}\,d\phi =1\ .}$$

5

وكما هو الحال في البئر المربع اللانهائي، فإن الشرط الحدودي الأول يقتضي أن تكون دالة الموجة مساوية للصفر عند كليهما${\displaystyle \phi =0}$و${\displaystyle \phi =\pi }$. أساسًا

$${\displaystyle \ \psi (0)=\psi (\pi )=0.}$$

6

بما أن الدالة الموجية${\displaystyle \psi (0)=0}$، يجب أن يساوي المعامل A صفرًا لأن${\displaystyle \cos(0)=1}$تساوي دالة الموجة أيضًا صفرًا عند${\displaystyle \phi =\pi }$لذا يجب علينا تطبيق شرط الحدود هذا. وباستبعاد الحل التافه حيث B = 0، فإن دالة الموجة${\displaystyle \psi (\pi )=0=B\sin(m\pi )}$فقط عندما يكون m عددًا صحيحًا لأن${\displaystyle \sin(n\pi )=0}$تُحدد هذه الشروط الحدية الطاقة عند نقطة تساوي الطاقة${\textstyle E={\frac {m^{2}\hbar ^{2}}{2I}}}$حيث m أي عدد صحيح. يتم استبعاد الشرط m = 0 لأن${\displaystyle \psi =0}$في كل مكان، مما يعني أن الجسيم ليس موجودًا في نطاق الجهد على الإطلاق. كما يتم استبعاد الأعداد الصحيحة السالبة لأنه يمكن استيعابها بسهولة في شرط التوحيد.

ثم نقوم بتطبيع الدالة الموجية، مما ينتج عنه نتيجة حيث${\textstyle B={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}}$الدالة الموجية المعيارية هي

$${\displaystyle \psi (\phi )={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(m\phi ).}$$

7

طاقة الحالة الأرضية للنظام هي${\displaystyle E={\frac {\hbar ^{2}}{2I}}}$. كما هو الحال مع الجسيم الموجود في صندوق، توجد عقد في الحالات المثارة للنظام حيث يكون كل من${\displaystyle \psi (\phi )}$و${\displaystyle \psi (\phi )^{2}}$كلاهما يساوي صفرًا، مما يعني أن احتمال العثور على الجسيم عند هذه العقد يساوي صفرًا.

بما أن الدالة الموجية تعتمد فقط على الزاوية السمتية${\displaystyle \phi }$الكميات القابلة للقياس في النظام هي الموضع الزاوي والزخم الزاوي، ويتم التعبير عنهما باستخدام المؤثرات.${\displaystyle \phi }$و${\displaystyle L_{z}}$على التوالى.

باستخدام الإحداثيات الأسطوانية، فإن المؤثرات${\displaystyle \phi }$و${\displaystyle L_{z}}$يتم التعبير عنها على النحو التالي:${\displaystyle \phi }$و${\textstyle -i\hbar {\frac {d}{d\phi }}}$على التوالي، حيث تلعب هذه الكميات القابلة للرصد دورًا مشابهًا لدور الموضع والزخم بالنسبة للجسيم الموجود في صندوق. وتُعطى علاقات التبادل وعدم اليقين للموضع الزاوي والزخم الزاوي كما يلي:

$${\displaystyle [\phi ,L_{z}]=i\hbar \ \psi (\phi )}$$

8

$${\displaystyle (\Delta \phi )(\Delta L_{z})\geq {\frac {\hbar }{2}}}$$ أين${\displaystyle \Delta _{\psi }\phi ={\sqrt {\langle {\phi}^{2}\rangle _{\psi }-\langle {\phi}\rangle _{\psi }^{2}}}}$و${\displaystyle \Delta _{\psi}L_{z}={\sqrt {\langle {L_{z}}^{2}\rangle _{\psi}-\langle {L_{z}}\rangle _{\psi }^{2}}}}$

9

كما هو الحال مع جميع مسائل ميكانيكا الكم، إذا تغيرت الشروط الحدية، فإن الدالة الموجية تتغير أيضًا. إذا تم تقييد حركة جسيم في حلقة كاملة تتراوح من 0 إلى${\displaystyle 2\pi }$يخضع الجسيم فقط لشرط حدودي دوري (انظر الجسيم في حلقة ). إذا كان الجسيم محصورًا في حركة${\textstyle -{\frac {\pi }{2}}}$ل${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$تصبح مسألة التكافؤ الزوجي والفردي مهمة.

معادلة الموجة لمثل هذا الجهد تُعطى على النحو التالي:

$${\displaystyle \psi _{\rm {o}}(\phi )={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cos(m\phi )}$$

10

$${\displaystyle \psi _{\rm {e}}(\phi )={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(m\phi )}$$

11

أين${\displaystyle \psi _{\rm {o}}(\phi )}$و${\displaystyle \psi _{\rm {e}}(\phi )}$وهي مخصصة للأعداد الفردية والزوجية من m على التوالي.

وبالمثل، إذا كان بئر الجهد نصف الدائري بئرًا محدودًا، فسيكون الحل مشابهًا لحل بئر الجهد المحدود حيث تكون المؤثرات الزاوية${\displaystyle \phi }$و${\displaystyle L_{z}}$استبدل المؤثرات الخطية x و p .

• جسيم في حلقة
• جسيم في صندوق
• بئر جهد محدود
• جهد دالة دلتا
• غاز في صندوق
• جسيم في جهد متناظر كرويًا