جسيم في صندوق

في ميكانيكا الكم، تُقدّم الدالة الموجية الوصف الأساسي لسلوك الجسيم؛ إذ يُمكن اشتقاق جميع الخصائص القابلة للقياس للجسيم (مثل موقعه وزخمه وطاقته) من الدالة الموجية. ^{[ 3 ]} الدالة الموجية${\displaystyle \psi (x,t)}$يمكن إيجادها عن طريق حل معادلة شرودنغر للنظام $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)+V(x)\psi (x,t),}$$ أين${\displaystyle \hbar }$هو ثابت بلانك المختزل ،${\displaystyle m}$كتلة الجسيم ،${\displaystyle i}$هي الوحدة التخيلية و${\displaystyle t}$حان الوقت.

داخل الصندوق، لا تؤثر أي قوى على الجسيم، مما يعني أن جزءًا من دالة الموجة داخل الصندوق يتذبذب عبر المكان والزمان بنفس شكل الجسيم الحر . ^{[ 1 ] [ 4 ]} لإيجاد الحل العام لدالة الموجة، ننظر إلى معادلة شرودنغر مع الشرط${\displaystyle V(x)=0}$تم استبدال ما يلي داخل المربع:$${\displaystyle E\psi (x,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)}$$يمكن إعادة ترتيب هذا ليتوافق مع شكل معادلة المذبذب التوافقي البسيط في الميكانيكا الكلاسيكية، مما يعطينا الحل التالي:

$${\displaystyle \psi (x,t)=\left[A\sin(kx)+B\cos(kx)\right]e^{-i\omega t},}$$

1

أين${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$هي أعداد مركبة اختيارية . يُعطى تردد التذبذبات عبر المكان والزمان بواسطة العدد الموجي.${\displaystyle k}$والتردد الزاوي${\displaystyle \omega }$على التوالي. ويرتبط كلاهما بالطاقة الكلية للجسيم من خلال التعبير التالي

$${\displaystyle E=\hbar \omega ={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}},}$$ وهو ما يُعرف بعلاقة التشتت للجسيم الحر. ^{[ 1 ]} ومع ذلك، بما أن الجسيم ليس حرًا تمامًا بل يخضع لتأثير جهد، فإن طاقة الجسيم $${\displaystyle E=T+V,}$$ حيث T هي الطاقة الحركية و V هي الطاقة الكامنة. لذلك، فإن طاقة الجسيم المذكورة أعلاه ليست هي نفسها${\displaystyle E=p^{2}/2m}$(أي أن زخم الجسيم لا يُعطى بواسطة${\displaystyle p=\hbar k}$وبالتالي، فإن العدد الموجي k المذكور أعلاه يصف في الواقع حالات طاقة الجسيم، ولا يرتبط بالزخم كما هو الحال عادةً مع "العدد الموجي". ويكمن الأساس المنطقي لتسمية k بالعدد الموجي في أنه يُحصي عدد القمم التي تحتويها الدالة الموجية داخل المربع، وبهذا المعنى يُعد عددًا موجيًا. ويمكن ملاحظة هذا التناقض بشكل أوضح أدناه، عندما نكتشف أن طيف طاقة الجسيم منفصل (لا يُسمح إلا بقيم منفصلة للطاقة)، ​​بينما طيف الزخم متصل (يمكن أن يتغير الزخم بشكل مستمر).${\displaystyle E\neq p^{2}/2m}$.

ترتبط سعة الدالة الموجية عند موضع معين باحتمالية وجود جسيم هناك .${\displaystyle P(x,t)=|\psi (x,t)|^{2}}$لذا، يجب أن تتلاشى دالة الموجة في كل مكان خارج حدود الصندوق. ^{[ 1 ] [ 4 ]} كذلك، لا يجوز أن "تقفز" سعة دالة الموجة فجأة من نقطة إلى أخرى. ^{[ 1 ]} لا يتحقق هذان الشرطان إلا بواسطة دوال الموجة ذات الشكل ^{[ 5 ].}$${\displaystyle \psi _{n}(x,t)={\begin{cases}A\sin \left(k_{n}\left(x-x_{c}+{\tfrac {L}{2}}\right)\right)e^{-i\omega _{n}t}\quad &x_{c}-{\tfrac {L}{2}}<x<x_{c}+{\tfrac {L}{2}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}},}$$ أين $${\displaystyle k_{n}={\frac {n\pi }{L}},}$$ و $${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega _{n}={\frac {k_{n}^{2}\hbar ^{2}}{2m}}={\frac {n^{2}\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2mL^{2}}},}$$للأعداد الصحيحة الموجبة${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{>0}}$أبسط الحلول،${\displaystyle k_{n}=0}$أو${\displaystyle A=0}$كلاهما ينتج دالة موجية تافهة${\displaystyle \psi (x)=0}$يصف هذا جسيمًا غير موجود في أي مكان في النظام. ^{[ 6 ]} نلاحظ هنا أنه لا يُسمح للجسيم إلا بمجموعة منفصلة من قيم الطاقة وأعداد الموجات k . عادةً ما يُشترط في ميكانيكا الكم أن تكون مشتقة دالة الموجة، بالإضافة إلى دالة الموجة نفسها، متصلة؛ هنا، سيؤدي هذا الشرط إلى أن يكون الحل الوحيد هو دالة الصفر الثابتة، وهو ما لا نريده، لذا نتخلى عن هذا الشرط (بما أن هذا النظام ذو الجهد اللانهائي يُمكن اعتباره حالة حدية مجردة غير فيزيائية، يُمكننا التعامل معه على هذا النحو و"تجاوز القواعد"). تجدر الإشارة إلى أن التخلي عن هذا الشرط يعني أن دالة الموجة ليست دالة قابلة للتفاضل عند حدود الصندوق، وبالتالي يُمكن القول إن دالة الموجة لا تحل معادلة شرودنغر عند نقاط الحدود.${\displaystyle x=0}$و${\displaystyle x=L}$(لكنها تحل المشكلة في كل مكان آخر).

وأخيرًا، الثابت المجهول${\displaystyle A}$يمكن إيجادها عن طريق تطبيع الدالة الموجية . أي أنها تتبع من $${\displaystyle \int _{0}^{L}\left\vert \psi (x)\right\vert ^{2}dx=1,}$$ أي عدد مركب${\displaystyle A}$وقيمتها المطلقة هي $${\displaystyle \left|A\right|={\sqrt {\frac {2}{L}}},}$$ ينتج عنه نفس الحالة المعيارية.

من المتوقع أن تكون القيم الذاتية ، أي الطاقة${\displaystyle E_{n}}$ينبغي أن يكون حجم الصندوق هو نفسه بغض النظر عن موقعه في الفضاء، ولكن${\displaystyle \psi _{n}(x,t)}$التغييرات. لاحظ ذلك${\displaystyle x_{c}-{\tfrac {L}{2}}}$يمثل هذا إزاحة طورية في الدالة الموجية. لا تؤثر هذه الإزاحة الطورية عند حل معادلة شرودنغر، وبالتالي لا تؤثر على القيمة الذاتية .

إذا حددنا مركز الإحداثيات في مركز الصندوق، فيمكننا إعادة كتابة الجزء المكاني من الدالة الموجية بإيجاز على النحو التالي: $${\displaystyle \psi _{n}(x)={\begin{cases}{\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin(k_{n}x)\quad {}{\text{for }}n{\text{ even}}\\{\sqrt {\frac {2}{L}}}\cos(k_{n}x)\quad {}{\text{for }}n{\text{ odd}}.\end{cases}}}$$

تتناسب دالة الموجة للزخم طرديًا مع تحويل فورييه لدالة الموجة للموضع.${\displaystyle k=p/\hbar }$(لاحظ أن المعامل k الذي يصف دالة موجة الزخم أدناه ليس هو نفسه المعامل الخاص k _n المذكور أعلاه، والمرتبط بقيم الطاقة الذاتية)، تُعطى دالة موجة الزخم بواسطة $${\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{n}(p,t)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}(x,t)e^{-ikx}\,dx\\[1ex]&={\sqrt {\frac {L}{\pi \hbar }}}\left({\frac {n\pi }{n\pi +kL}}\right)\,\operatorname {sinc} \left({\tfrac {1}{2}}(n\pi -kL)\right)e^{-ikx_{c}}e^{i(n-1){\tfrac {\pi }{2}}}e^{-i\omega _{n}t},\end{aligned}}}$$حيث sinc هي دالة الجيب الأصلية ، sinc( x ) = sin( x )/ x . بالنسبة للمربع المركزي ( _xc = 0 )، يكون الحل حقيقيًا وبسيطًا للغاية، لأن عامل الطور على اليمين يؤول إلى الواحد. (مع بعض التدقيق، يمكن كتابته كدالة زوجية لـ p ).

يتضح أن طيف الزخم في هذه الحزمة الموجية متصل، ويمكن الاستنتاج أنه بالنسبة لحالة الطاقة الموصوفة بالعدد الموجي k _n ، يمكن للزخم، عند قياسه، أن يصل أيضًا إلى قيم أخرى تتجاوز${\displaystyle p=\pm \hbar k_{n}}$.

وبالتالي، يبدو أيضاً أنه بما أن الطاقة${\textstyle E_{n}={\frac {\hbar ^{2}k_{n}^{2}}{2m}}}$بالنسبة للحالة الذاتية رقم n ، فإن العلاقة${\textstyle E={\frac {p^{2}}{2m}}}$لا ينطبق هذا بشكل دقيق على الزخم المقاس p ؛ حالة الطاقة الذاتية${\displaystyle \psi _{n}}$إنها ليست حالة زخم ذاتية، وفي الواقع، ليست حتى تراكبًا لحالتين زخم ذاتيتين، كما قد يميل المرء إلى تخيله من المعادلة ( 1 ) أعلاه: ومن الغريب أنها لا تملك زخمًا محددًا جيدًا قبل القياس!

في الفيزياء الكلاسيكية، يمكن رصد الجسيم في أي مكان داخل الصندوق باحتمالية متساوية. أما في ميكانيكا الكم، فإن كثافة الاحتمالية للعثور على جسيم في موضع معين تُشتق من الدالة الموجية كما يلي:${\displaystyle P(x)=|\psi (x)|^{2}.}$ بالنسبة للجسيم الموجود في صندوق، تعتمد كثافة الاحتمال لإيجاد الجسيم في موضع معين على حالته، وتُعطى بالصيغة التالية: $${\displaystyle P_{n}(x,t)={\begin{cases}{\frac {2}{L}}\sin ^{2}\left(k_{n}\left(x-x_{c}+{\tfrac {L}{2}}\right)\right),&x_{c}-{\frac {L}{2}}<x<x_{c}+{\frac {L}{2}},\\0,&{\text{otherwise,}}\end{cases}}}$$

وبالتالي، لأي قيمة لـ n أكبر من واحد، توجد مناطق داخل الصندوق حيث${\displaystyle P(x)=0}$مما يشير إلى وجود عقد مكانية لا يمكن العثور على الجسيم عندها. ومع ذلك، إذا أُخذت معادلات الموجة النسبية في الاعتبار، فإن كثافة الاحتمال لا تؤول إلى الصفر عند العقد (باستثناء الحالة البسيطة).${\displaystyle n=0}$). ^{[ 7 ]}

في ميكانيكا الكم، يُعطى متوسط ​​أو القيمة المتوقعة لموضع الجسيم بالعلاقة التالية: $${\displaystyle \langle x\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }xP_{n}(x)\,\mathrm {d} x.}$$

بالنسبة للجسيم في حالة الاستقرار داخل صندوق، يمكن إثبات أن متوسط ​​الموضع يكون دائمًا${\displaystyle \langle x\rangle =x_{c}}$بغض النظر عن حالة الجسيم. بالنسبة لتراكب الحالات، ستتغير القيمة المتوقعة للموضع بناءً على الحد المختلط، والذي يتناسب مع${\displaystyle \cos(\omega t)}$.

يُعد التباين في الموضع مقياسًا لعدم اليقين في موضع الجسيم: $${\displaystyle \mathrm {Var} (x)=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\langle x\rangle )^{2}P_{n}(x)\,dx={\frac {L^{2}}{12}}\left(1-{\frac {6}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)}$$

تُشتق دالة كثافة الاحتمال لإيجاد جسيم ذي زخم معين من الدالة الموجية كما يلي:${\displaystyle P(x)=|\phi (x)|^{2}}$كما هو الحال مع الموقع، فإن كثافة الاحتمال لإيجاد الجسيم عند زخم معين تعتمد على حالته، وتُعطى بالعلاقة التالية: $${\displaystyle P_{n}(p)={\frac {L}{\pi \hbar }}\left({\frac {n\pi }{n\pi +kL}}\right)^{2}\,{\textrm {sinc}}^{2}\left({\tfrac {1}{2}}(n\pi -kL)\right)}$$ أين، مرة أخرى،${\displaystyle k=p/\hbar }$ثم يتم حساب القيمة المتوقعة للزخم لتكون صفرًا، ويتم حساب التباين في الزخم ليكون: $${\displaystyle \mathrm {Var} (p)=\left({\frac {\hbar n\pi }{L}}\right)^{2}}$$

عدم اليقين في الموقع والزخم (${\displaystyle \Delta x}$و${\displaystyle \Delta p}$تُعرَّف هذه القيم بأنها تساوي الجذر التربيعي لتبايناتها الخاصة، بحيث: $${\displaystyle \Delta x\Delta p={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{3}}-2}}}$$

يزداد هذا الناتج مع ازدياد قيمة n ، ويبلغ أدنى قيمة له عند n = 1. وتبلغ قيمة هذا الناتج عند n = 1 حوالي 0.568${\displaystyle \hbar }$، وهو ما يخضع لمبدأ هايزنبرغ للشك ، الذي ينص على أن الناتج سيكون أكبر من أو يساوي${\displaystyle \hbar /2}$.

مقياس آخر لعدم اليقين في الموقع هو إنتروبيا المعلومات لتوزيع الاحتمال H _x : ^{[ 8 ]}$${\displaystyle H_{x}=\int _{-\infty }^{\infty }P_{n}(x)\log(P_{n}(x)x_{0})\,dx=\log \left({\frac {2L}{e\,x_{0}}}\right)}$$ حيث x ₀ هو طول مرجعي عشوائي.

مقياس آخر لعدم اليقين في الزخم هو إنتروبيا المعلومات لتوزيع الاحتمال H _p : $${\displaystyle H_{p}(n)=\int _{-\infty }^{\infty }P_{n}(p)\log(P_{n}(p)p_{0})\,dp}$$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }H_{p}(n)=\log \left({\frac {4\pi \hbar \,e^{2(1-\gamma )}}{L\,p_{0}}}\right)}$$ حيث γ هو ثابت أويلر . ينص مبدأ عدم اليقين الإنتروبي في ميكانيكا الكم على أنه بالنسبة لـ${\displaystyle x_{0}\,p_{0}=\hbar }$$${\displaystyle H_{x}+H_{p}(n)\geq \log(e\,\pi )\approx 2.14473...}$$( ناتس )

ل${\displaystyle x_{0}\,p_{0}=\hbar }$، ينتج عن مجموع إنتروبيا الموضع والزخم ما يلي: $${\displaystyle H_{x}+H_{p}(\infty )=\log \left(8\pi \,e^{1-2\gamma }\right)\approx 3.06974...}$$ حيث الوحدة هي نات ، والتي تحقق مبدأ عدم اليقين الكمي الإنتروبي.

يمكن كتابة الطاقات التي تتوافق مع كل من الأرقام الموجية المسموح بها على النحو التالي ^{[ 9 ]}$${\displaystyle E_{n}={\frac {n^{2}\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}.}$$ تزداد مستويات الطاقة مع${\displaystyle n^{2}}$وهذا يعني أن مستويات الطاقة العالية تفصل بينها مسافة أكبر من مستويات الطاقة المنخفضة. وتُوجد أدنى طاقة ممكنة للجسيم ( طاقة نقطة الصفر ) في الحالة 1، والتي تُعطى بالمعادلة ^{[ 10 ].}$${\displaystyle E_{1}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {h^{2}}{8mL^{2}}}.}$$ لذا، يمتلك الجسيم دائمًا طاقة موجبة. وهذا يتناقض مع الأنظمة الكلاسيكية، حيث يمكن أن يمتلك الجسيم طاقة صفرية إذا كان ساكنًا بلا حراك. ويمكن تفسير ذلك من خلال مبدأ عدم اليقين ، الذي ينص على أن حاصل ضرب عدم اليقين في موضع الجسيم وزخمه محدود بـ $${\displaystyle \Delta x\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}}$$ يمكن إثبات أن عدم اليقين في موضع الجسيم يتناسب طرديًا مع عرض الصندوق. ^{[ 11 ]} وبالتالي، فإن عدم اليقين في الزخم يتناسب عكسيًا تقريبًا مع عرض الصندوق. ^{[ 10 ]} تُعطى الطاقة الحركية للجسيم بالعلاقة التالية:${\displaystyle E=p^{2}/(2m)}$وبالتالي فإن الحد الأدنى للطاقة الحركية للجسيم في صندوق يتناسب عكسياً مع الكتلة ومربع عرض البئر، وهو ما يتفق نوعياً مع الحساب أعلاه. ^{[ 10 ]}

إذا تم حصر جسيم في صندوق ثنائي الأبعاد، فإنه قد يتحرك بحرية في${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$- الاتجاهات، بين الحواجز المفصولة بأطوال${\displaystyle L_{x}}$و${\displaystyle L_{y}}$على التوالي. بالنسبة لمربع مركزي، يمكن كتابة دالة الموجة الموضعية مع تضمين طول المربع كما يلي:${\displaystyle \psi _{n}(x,t,L)}$باستخدام نهج مشابه لنهج الصندوق أحادي البعد، يمكن إثبات أن الدوال الموجية والطاقات لصندوق مركزي تُعطى على التوالي بواسطة $${\displaystyle \psi _{n_{x},n_{y}}=\psi _{n_{x}}(x,t,L_{x})\psi _{n_{y}}(y,t,L_{y}),}$$$${\displaystyle E_{n_{x},n_{y}}={\frac {\hbar ^{2}k_{n_{x},n_{y}}^{2}}{2m}},}$$حيث يُعطى متجه الموجة ثنائي الأبعاد بواسطة$${\displaystyle \mathbf {k} _{n_{x},n_{y}}=k_{n_{x}}\mathbf {\hat {x}} +k_{n_{y}}\mathbf {\hat {y}} ={\frac {n_{x}\pi }{L_{x}}}\mathbf {\hat {x}} +{\frac {n_{y}\pi }{L_{y}}}\mathbf {\hat {y}} .}$$

بالنسبة لصندوق ثلاثي الأبعاد، تكون الحلول هي $${\displaystyle \psi _{n_{x},n_{y},n_{z}}=\psi _{n_{x}}(x,t,L_{x})\psi _{n_{y}}(y,t,L_{y})\psi _{n_{z}}(z,t,L_{z}),}$$$${\displaystyle E_{n_{x},n_{y},n_{z}}={\frac {\hbar ^{2}k_{n_{x},n_{y},n_{z}}^{2}}{2m}},}$$ حيث يُعطى متجه الموجة ثلاثي الأبعاد بالصيغة التالية: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {k} _{n_{x},n_{y},n_{z}}&=k_{n_{x}}\mathbf {\hat {x}} +k_{n_{y}}\mathbf {\hat {y}} +k_{n_{z}}\mathbf {\hat {z}} \\[1ex]&={\frac {n_{x}\pi }{L_{x}}}\mathbf {\hat {x}} +{\frac {n_{y}\pi }{L_{y}}}\mathbf {\hat {y}} +{\frac {n_{z}\pi }{L_{z}}}\mathbf {\hat {z}} .\end{aligned}}}$$

بشكل عام، بالنسبة لصندوق ذي أبعاد n ، تكون الحلول هي $${\displaystyle \psi =\prod _{i}\psi _{n_{i}}(x_{i},t,L_{i})}$$

يمكن تمثيل دوال الموجة للزخم ذات الأبعاد n بالمثل بواسطة${\displaystyle \phi _{n}(x,t,L_{x})}$وبالتالي فإن دالة الموجة للزخم لمربع مركزي ذي أبعاد n هي: $${\displaystyle \phi =\prod _{i}\phi _{n_{i}}(k_{i},t,L_{i})}$$

من السمات المثيرة للاهتمام في الحلول المذكورة أعلاه أنه عندما يكون طولان أو أكثر متساويين (على سبيل المثال${\displaystyle L_{x}=L_{y}}$توجد دوال موجية متعددة تتوافق مع نفس الطاقة الكلية. على سبيل المثال، الدالة الموجية التي${\displaystyle n_{x}=2,n_{y}=1}$لها نفس طاقة الدالة الموجية مع${\displaystyle n_{x}=1,n_{y}=2}$تُسمى هذه الحالة بالانحلال ، وفي حالة وجود دالتين موجيتين منحلتين لهما نفس الطاقة، يُقال إن مستوى الطاقة هذا منحل مرتين . ينشأ الانحلال من التناظر في النظام. في الحالة المذكورة أعلاه، يتساوى طولان، لذا فإن النظام متناظر بالنسبة لدوران بزاوية 90 درجة.

تُعطى الدالة الموجية لجسيم كمومي في صندوق ذي جدران ذات شكل عشوائي بمعادلة هيلمهولتز، شريطة أن تنعدم الدالة الموجية عند الجدران. تُدرس هذه الأنظمة في مجال الفوضى الكمومية لأشكال الجدران التي تكون جداولها الديناميكية المقابلة غير قابلة للتكامل.

يمكن نمذجة أنظمة البوليين المترافقة باستخدام طريقة الجسيمات في صندوق. ^{[ 12 ]} يمكن نمذجة نظام الإلكترونات المترافق كصندوق أحادي البعد طوله يساوي المسافة الكلية للرابطة من أحد طرفي البوليين إلى الطرف الآخر. في هذه الحالة، يتوافق كل زوج من الإلكترونات في كل رابطة π مع مستوى طاقته. فرق الطاقة بين مستويي الطاقة n_{_f} و n_{_i} هو: $${\displaystyle \Delta E={\frac {\left(n_{\text{f}}^{2}-n_{\text{i}}^{2}\right)h^{2}}{8mL^{2}}}}$$

يمثل الفرق بين طاقة الحالة الأرضية، n ، وطاقة الحالة المثارة الأولى ، n +1، الطاقة اللازمة لإثارة النظام. لهذه الطاقة طول موجي محدد، وبالتالي لون ضوء محدد، يرتبط بالعلاقة التالية: $${\displaystyle \lambda ={\frac {hc}{\Delta E}}}$$

يُعدّ بيتا كاروتين مثالًا شائعًا على هذه الظاهرة . بيتا كاروتين ( _{C₄₀H₅₆} ) ^[ ₁₃ ^] هو بوليين مترافق ذو لون برتقالي، ويبلغ طوله الجزيئي حوالي 3.8 نانومتر (مع أن طول سلسلته يبلغ حوالي 2.4 نانومتر فقط). ^{[ 14 ]} نظرًا لارتفاع مستوى الترافق في بيتا كاروتين ، تتوزع الإلكترونات على طول الجزيء، مما يسمح بنمذجته كجسيم أحادي البعد في صندوق. يحتوي بيتا كاروتين على 11 رابطة ثنائية مترافقة ^بين ذرات الكربون ؛ ^{[ 13 ]} تحتوي كل رابطة ثنائية منها على إلكترونين باي، وبالتالي يحتوي بيتا كاروتين على 22 إلكترون باي. وبوجود إلكترونين لكل مستوى طاقة، يمكن التعامل مع بيتا كاروتين كجسيم في صندوق عند مستوى الطاقة n = 11. ^{[ 14 ]} لذلك، يمكن حساب الحد الأدنى من الطاقة اللازمة لإثارة الإلكترون إلى مستوى الطاقة التالي، n = 12، على النحو التالي ^{[ 14 ]} (مع الأخذ في الاعتبار أن كتلة الإلكترون هي 9.109 × 10−31 ^كجم [ ^{15 ] )} :   $${\displaystyle \Delta E={\frac {\left(n_{\text{f}}^{2}-n_{\text{i}}^{2}\right)h^{2}}{8mL^{2}}}={\frac {\left(12^{2}-11^{2}\right)h^{2}}{8mL^{2}}}=2.3658\times 10^{-19}{\text{ J}}}$$

باستخدام العلاقة السابقة بين الطول الموجي والطاقة، مع الأخذ في الاعتبار كلاً من ثابت بلانك h وسرعة الضوء c : $${\displaystyle \lambda ={\frac {hc}{\Delta E}}={0.000\,000\,84}{\text{ m}}=840{\text{ nm}}}$$

يشير هذا إلى أن بيتا كاروتين يمتص الضوء بشكل أساسي في طيف الأشعة تحت الحمراء، ولذلك سيبدو أبيض اللون للعين البشرية. مع ذلك، فإن الطول الموجي المرصود هو 450  نانومتر، ^{[ 16 ]} مما يدل على أن نموذج الجسيم في صندوق ليس نموذجًا مثاليًا لهذا النظام.

يمكن تطبيق نموذج الجسيم في صندوق على ليزرات البئر الكمومي ، وهي ثنائيات ليزرية تتكون من طبقة واحدة من مادة شبه موصلة محصورة بين طبقتين أخريين من مواد شبه موصلة مختلفة. ولأن طبقات هذا التركيب رقيقة جدًا (يبلغ  سمك الطبقة الوسطى عادةً حوالي 100 أنغستروم)، يمكن ملاحظة تأثيرات الحصر الكمومي . ^{[ 17 ]} نشأت فكرة تسخير التأثيرات الكمومية لتطوير ثنائيات ليزرية أفضل في سبعينيات القرن الماضي. وقد حصل كل من ر. دينغل وسي إتش هنري على براءة اختراع ليزر البئر الكمومي عام 1976. ^{[ 18 ]}

على وجه التحديد، يمكن تمثيل سلوك الآبار الكمومية بنموذج الجسيم في بئر محدود. يجب اختيار شرطين حدوديين. الأول هو أن تكون دالة الموجة متصلة. غالبًا ما يُختار الشرط الحدودي الثاني ليكون مشتق دالة الموجة متصلًا عبر الحدود، ولكن في حالة البئر الكمومي، تختلف الكتل على جانبي الحدود. لذلك، يُختار الشرط الحدودي الثاني للحفاظ على تدفق الجسيمات.${\displaystyle (1/m)d\phi /dz}$وهذا يتوافق مع التجربة. يجب حل مسألة جسيم البئر الكمومي المحدود داخل صندوق عدديًا، مما ينتج عنه دوال موجية جيبية داخل البئر الكمومي ودوال تتناقص أُسّيًا في الحواجز. ^{[ 19 ]} يسمح هذا التكميم لمستويات طاقة الإلكترونات لليزر البئر الكمومي بإصدار الضوء بكفاءة أعلى من ليزرات أشباه الموصلات التقليدية.

نظراً لصغر حجمها، لا تُظهر النقاط الكمومية الخصائص الأساسية لأشباه الموصلات المحددة، بل تُظهر حالات طاقة مُكمّمة. ^{[ 20 ]} يُعرف هذا التأثير بالحصر الكمومي، وقد أدى إلى تطبيقات عديدة للنقاط الكمومية، مثل ليزر البئر الكمومي. ^{[ 20 ]}

تمكّن باحثون في جامعة برينستون مؤخرًا من بناء ليزر ذي بئر كمومي لا يتجاوز حجمه حجم حبة أرز. ^{[ 21 ]} يعمل هذا الليزر بواسطة إلكترون واحد يمر عبر نقطتين كموميتين؛ أي نقطة كمومية مزدوجة. ينتقل الإلكترون من حالة طاقة أعلى إلى حالة طاقة أقل، مُصدرًا فوتونات في نطاق الموجات الميكروية. ترتد هذه الفوتونات عن المرايا لتكوين شعاع ضوئي؛ وهو الليزر. ^{[ 21 ]}

يعتمد ليزر البئر الكمومي بشكل كبير على التفاعل بين الضوء والإلكترونات. تُعدّ هذه العلاقة عنصرًا أساسيًا في نظريات ميكانيكا الكم، بما في ذلك طول موجة دي برولي ونظرية الجسيم في صندوق. تُمكّن النقطة الكمومية المزدوجة العلماء من التحكم الكامل في حركة الإلكترون، مما يؤدي بالتالي إلى إنتاج شعاع ليزر. ^{[ 21 ]}