معادلة ديود شوكلي

معادلة شوكلي للديود ، أو قانون الديود ، والتي سميت على اسم أحد مخترعي الترانزستور ويليام شوكلي من مختبرات بيل ، تحاكي العلاقة الأسيّة بين التيار والجهد (I–V) للديودات شبه الموصلة في التحيز الأمامي أو التحيز العكسي للتيار الثابت المعتدل :

${\displaystyle I_{\text{D}}=I_{\text{S}}\left(e^{\frac {V_{\text{D}}}{nV_{\text{T}}}}-1\right),}$

أين

${\displaystyle I_{\text{D}}}$هو تيار الصمام الثنائي،

${\displaystyle I_{\text{S}}}$هو تيار تشبع التحيز العكسي (أو تيار المقياس)،

${\displaystyle V_{\text{D}}}$هو الجهد عبر الصمام الثنائي،

${\displaystyle V_{\text{T}}}$هو الجهد الحراري ، و

${\displaystyle n}$هو عامل المثالية ، والمعروف أيضًا باسم عامل الجودة ، أو معامل الانبعاث ، أو الثابت المادي .

تُسمى المعادلة معادلة الصمام الثنائي المثالي لشوكلي عندما يكون عامل المثالية مساويًا لـ 1، وبالتالي يتم حذفها أحيانًا. يتراوح عامل المثالية عادةً من 1 إلى 2 (على الرغم من أنه يمكن أن يكون أعلى في بعض الحالات)، اعتمادًا على عملية التصنيع ومادة أشباه الموصلات . تمت إضافة عامل المثالية لمراعاة الوصلات غير الكاملة التي لوحظت في الترانزستورات الحقيقية، ويرجع ذلك أساسًا إلى إعادة تركيب الناقلات عندما تعبر ناقلات الشحنة منطقة الاستنزاف . ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

يتم تعريف الجهد الحراري على النحو التالي:${\displaystyle V_{\text{T}}}$

${\displaystyle V_{\text{T}}={\frac {kT}{q}},}$

أين

${\displaystyle k}$هو ثابت بولتزمان ،

${\displaystyle T}$هي درجة الحرارة المطلقة للوصلة p-n، و

${\displaystyle q}$هي الشحنة الأولية ( مقدار شحنة الإلكترون ).

على سبيل المثال، يكون حوالي 25.852  مللي فولت عند 300 كلفن (27 درجة مئوية؛ 80 درجة فهرنهايت).

تيار التشبع العكسي ليس ثابتًا لجهاز معين، ولكنه يتغير مع درجة الحرارة؛ عادةً أكثر أهمية من ، بحيث ينخفض ​​عادةً مع الزيادة. ${\displaystyle I_{\text{S}}}$${\displaystyle V_{\text{T}}}$${\displaystyle V_{\text{D}}}$${\displaystyle T}$

في ظل التحيز العكسي ، يكون المصطلح الأسي لمعادلة الصمام الثنائي قريبًا من 0، وبالتالي يكون التيار قريبًا من قيمة التيار العكسي الثابتة إلى حد ما (حوالي بيكو أمبير لثنائيات السيليكون أو ميكرو أمبير لثنائيات الجرمانيوم، ^[1] على الرغم من أن هذا من الواضح أنه دالة على الحجم). ${\displaystyle -I_{\text{S}}}$

بالنسبة لجهد التحيز الأمامي المعتدل ، يصبح الأسي أكبر بكثير من 1، حيث يكون الجهد الحراري صغيرًا جدًا بالمقارنة. في معادلة الصمام الثنائي، يكون التيار في الصمام الثنائي الأمامي قابلاً للإهمال، وبالتالي فإن التيار في الصمام الثنائي الأمامي سيكون تقريبًا ${\displaystyle -1}$

${\displaystyle I_{\text{S}}e^{\frac {V_{\text{D}}}{nV_{\text{T}}}}.}$

يتم توضيح استخدام معادلة الصمام الثنائي في مشاكل الدائرة في المقالة حول نمذجة الصمام الثنائي .

تتسبب المقاومة الداخلية في "تسوية" منحنى I–V للثنائي الحقيقي عند انحياز أمامي مرتفع. لا تقوم معادلة شوكلي بنمذجة هذا، ولكن إضافة مقاومة على التوالي سوف تفعل ذلك.

لم يتم تصميم منطقة الانهيار العكسي (التي تهم بشكل خاص ثنائيات زينر ) بواسطة معادلة شوكلي.

لا تقوم معادلة شوكلي بنمذجة الضوضاء (مثل ضوضاء جونسون-نيكويست من المقاومة الداخلية، أو ضوضاء الطلقة ).

معادلة شوكلي هي علاقة تيار ثابت (حالة مستقرة)، وبالتالي لا تأخذ في الاعتبار استجابة الصمام الثنائي العابرة ، والتي تتضمن تأثير وصلاته الداخلية وسعة الانتشار ووقت الاسترداد العكسي .

استنتج شوكلي معادلة للجهد عبر وصلة p-n في مقال طويل نُشر عام 1949. ^[2] وفي وقت لاحق، قدم معادلة مقابلة للتيار كدالة للجهد تحت افتراضات إضافية، وهي المعادلة التي نسميها معادلة شوكلي للديود المثالي. ^[3] ويسميها "صيغة تصحيح نظرية تعطي أقصى تصحيح"، مع حاشية تشير إلى ورقة بحثية لكارل فاغنر ، Physikalische Zeitschrift 32 ، ص 641-645 (1931).

ولاستخراج معادلته للجهد، يزعم شوكلي أن الانخفاض الإجمالي في الجهد يمكن تقسيمه إلى ثلاثة أجزاء:

• انخفاض مستوى شبه فيرمي للثقوب من مستوى الجهد المطبق عند الطرف p إلى قيمته عند النقطة التي يكون فيها التشويب محايدًا (والتي يمكننا أن نسميها الوصلة)،
• الفرق بين مستوى شبه فيرمي للثقوب عند الوصلة ومستوى الإلكترونات عند الوصلة،
• هبوط مستوى شبه فيرمي للإلكترونات من الوصلة إلى الطرف n.

يُظهِر أن الأول والثالث من هذه يمكن التعبير عنهما كمقاومة مضروبة في التيار: أما بالنسبة للثاني، وهو الفرق بين مستويات شبه فيرمي عند الوصلة، فيقول إنه يمكننا تقدير التيار المتدفق عبر الصمام الثنائي من هذا الفرق. ويشير إلى أن التيار عند الطرف p هو عبارة عن فجوات بالكامل، بينما يكون عند الطرف n عبارة عن إلكترونات بالكامل، ومجموع هذين الاثنين هو التيار الكلي الثابت. لذا فإن التيار الكلي يساوي الانخفاض في تيار الفجوات من أحد جانبي الصمام الثنائي إلى الجانب الآخر. ويرجع هذا الانخفاض إلى زيادة إعادة تركيب أزواج الإلكترونات والفجوات على توليد أزواج الإلكترونات والفجوات. ومعدل إعادة التركيب يساوي معدل التوليد عند التوازن، أي عندما يكون مستويا شبه فيرمي متساويين. ولكن عندما لا يكون مستويا شبه فيرمي متساويين، فإن معدل إعادة التركيب يساوي مضروبًا في معدل التوليد. نفترض بعد ذلك أن معظم إعادة التركيب الزائدة (أو الانخفاض في تيار الثقب) يحدث في طبقة تمر بطول انتشار ثقب واحد في المادة n وطول انتشار إلكترون واحد في المادة p، وأن الفرق بين مستويات شبه فيرمي ثابت في هذه الطبقة عند ثم نجد أن التيار الكلي، أو الانخفاض في تيار الثقب، هو ${\displaystyle I_{\text{D}}R_{1}.}$${\displaystyle e^{(\phi _{\text{p}}-\phi _{\text{n}})/V_{\text{T}}}}$${\displaystyle L_{\text{p}}}$${\displaystyle L_{\text{n}}}$${\displaystyle V_{\text{J}}}}$

${\displaystyle I_{\text{D}}=I_{\text{S}}\left(e^{\frac {V_{\text{J}}}{V_{\text{T}}}}-1\right),}$

أين

${\displaystyle I_{\text{S}}=gq(L_{\text{p}}+L_{\text{n}}),}$

وهو معدل التوليد. يمكننا حل هذه المسألة من حيث : ${\displaystyle g}$${\displaystyle V_{\text{J}}}$${\displaystyle I_{\text{D}}}$

${\displaystyle V_{\text{J}}=V_{\text{T}}\ln \left(1+{\frac {I_{\text{D}}}{I_{\text{S}}}\right),}$

ويكون انخفاض الجهد الكلي بعد ذلك

${\displaystyle V=I_{\text{D}}R_{1}+V_{\text{T}}\ln \left(1+{\frac {I_{\text{D}}}{I_{\text{S}}}\right).}$

عندما نفترض أن هذا صغير، نحصل على معادلة شوكلي للديود المثالي. ${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle V=V_{\text{J}}}$

إن التيار الصغير الذي يتدفق تحت انحياز عكسي مرتفع هو نتيجة التولد الحراري لأزواج الإلكترونات والفجوات في الطبقة. ثم تتدفق الإلكترونات إلى الطرف n، والفجوات إلى الطرف p. إن تركيزات الإلكترونات والفجوات في الطبقة صغيرة جدًا بحيث يكون إعادة التركيب هناك لا يُذكر.

في عام 1950، نشر شوكلي وزملاؤه مقالاً قصيرًا يصف ثنائي الجرمانيوم الذي يتبع المعادلة المثالية عن كثب. ^[4]

في عام 1954، أفاد بيل بفان و دبليو فان روزبروك (اللذان كانا أيضًا من مختبرات بيل للهاتف) أنه في حين أن معادلة شوكلي كانت قابلة للتطبيق على وصلات الجرمانيوم معينة، فإن التيار (تحت التحيز الأمامي الملحوظ) بالنسبة للعديد من وصلات السيليكون كان متناسبًا مع قيمة A التي تصل إلى 2 أو 3. ^[5] هذا هو عامل المثالية أعلاه. ${\displaystyle e^{V_{\text{J}}/AV_{\text{T}}},}$ ${\displaystyle n}$

أعطى فاينمان اشتقاقًا باستخدام السقاطة البراونية في محاضرات فاينمان في الفيزياء I.46. ^[6]

في عام 1981، أظهر أليكسيس دي فوس وهيرمان باولز أن التحليل الأكثر دقة لميكانيكا الكم الخاصة بالوصلة، تحت افتراضات معينة، يعطي خاصية التيار مقابل الجهد على شكل

${\displaystyle I_{\text{D}}(V)=-qA[F_{i}-2F_{o}(V)],}$

حيث A هي مساحة المقطع العرضي للوصلة، و F _i هو عدد الفوتونات الواردة لكل وحدة مساحة، لكل وحدة زمنية، مع طاقة تتجاوز طاقة فجوة النطاق، و F _o ( V ) هي الفوتونات الصادرة، كما هو موضح بواسطة ^[7]

${\displaystyle F_{o}(V)=\int _{\nu _{g}}^{\infty }{\frac {1}{\exp \left({\frac {h\nu -qV}{) kT_ {c}}}\right)-1}}{\frac {2\pi \nu ^{2}}{c^{2}}}\,d\nu .}$

إن عامل 2 مضروبًا في التدفق الصادر مطلوب لأن الفوتونات تنبعث من كلا الجانبين، ولكن يُفترض أن التدفق الوارد يأتي من جانب واحد فقط. وعلى الرغم من أن التحليل تم إجراؤه للخلايا الكهروضوئية تحت الإضاءة، فإنه ينطبق أيضًا عندما تكون الإضاءة مجرد إشعاع حراري خلفي، بشرط استخدام عامل 2 لهذا التدفق الوارد أيضًا. يقدم التحليل تعبيرًا أكثر صرامة للثنائيات المثالية بشكل عام، باستثناء أنه يفترض أن الخلية سميكة بما يكفي بحيث يمكنها إنتاج هذا التدفق من الفوتونات. عندما تكون الإضاءة مجرد إشعاع حراري خلفي، تكون الخاصية

${\displaystyle I_{\text{D}}(V)=2q[F_{o}(V)-F_{o}(0)].}$

لاحظ أنه على النقيض من قانون شوكلي، فإن التيار يتجه إلى ما لا نهاية عندما يتجه الجهد إلى جهد الفجوة hν _g /q . وهذا بالطبع يتطلب سمكًا لا نهائيًا لتوفير كمية لا نهائية من إعادة التركيب.

تم تعديل هذه المعادلة مؤخرًا لتشمل مقياس درجة الحرارة الجديد في التيار المنقح باستخدام نموذج حديث ^[8] للمواد ثنائية الأبعاد القائمة على الصمام الثنائي شوتكي. ${\displaystyle I_{\text{S}}}$