المصفوفة المفردة

المصفوفة المنفردة هي مصفوفة مربعة غير قابلة للعكس ، على عكس المصفوفات غير المنفردة التي يمكن عكسها. أو بعبارة أخرى،${\displaystyle n}$-بواسطة-${\displaystyle n}$مصفوفة${\displaystyle A}$تكون مفردة إذا وفقط إذا كان المحدد ،${\displaystyle \det(A)=0}$^{[ 1 ]} في الجبر الخطي الكلاسيكي، تُسمى المصفوفة غير منفردة (أو قابلة للعكس) عندما يكون لها معكوس ؛ وبحسب التعريف، فإن المصفوفة التي لا تستوفي هذا المعيار تكون منفردة. بعبارة جبرية أكثر، فإن${\displaystyle n}$-بواسطة-${\displaystyle n}$تكون المصفوفة A منفردة تمامًا عندما تكون أعمدتها (وصفوفها) مرتبطة خطيًا، بحيث يكون التحويل الخطي${\displaystyle x\mapsto Ax}$ليس الأمر علاقة واحد لواحد.

في هذه الحالة، تكون نواة ( الفضاء الصفري ) للمصفوفة A غير تافهة (ذات بُعد ≥ 1)، والنظام المتجانس${\displaystyle Ax=0}$تقبل حلولاً غير صفرية. وتنتج هذه الخصائص من نظريات الرتبة والعدمية والانعكاسية القياسية: بالنسبة لمصفوفة مربعة A،${\displaystyle \det(A)\neq 0}$إذا وفقط إذا${\displaystyle \operatorname {rank} (A)=n}$، و${\displaystyle \det(A)=0}$إذا وفقط إذا${\displaystyle \operatorname {rank} (A)<n}$.

تساعد المصفوفة القابلة للعكس في الخوارزمية من خلال توفير افتراض مفاده أنه يمكن عكس بعض التحويلات والحسابات والأنظمة وحلها بشكل فريد، مثل${\displaystyle Ax=B}$ل${\displaystyle x=A^{-1}B}$يساعد هذا في التأكد من أن الحل فريد أم لا.

في عملية الحذف الغاوسي ، قابلية عكس مصفوفة المعاملات${\displaystyle A}$يضمن ذلك أن تُنتج الخوارزمية حلاً فريداً. على سبيل المثال، عندما تكون المصفوفة قابلة للعكس، تكون العناصر المحورية غير صفرية، مما يسمح بتبديل الصفوف إذا لزم الأمر وحل النظام. ومع ذلك، في حالة المصفوفة المنفردة، قد تكون بعض العناصر المحورية صفرية، وهو ما لا يمكن إصلاحه بمجرد تبديل الصفوف. ^{[ 2 ]} يفرض هذا مشكلة حيث تفشل عملية الحذف أو تعطي نتيجة غير متسقة. مشكلة أخرى تُنتجها المصفوفة المنفردة عند حل حذف غاوسي هي أنها لا تستطيع حل التعويض العكسي لأنه لتعويض عناصر القطر الرئيسي للمصفوفة،${\displaystyle A}$يجب أن تكون المصفوفة غير صفرية، أي${\displaystyle \det(A)\neq 0}$ومع ذلك، في حالة المصفوفة المنفردة، تكون النتيجة في كثير من الأحيان عددًا لا نهائيًا من الحلول.

في الأنظمة الميكانيكية والروبوتية، تشير مصفوفات جاكوبيان المفردة إلى حالات التفرد الحركي . على سبيل المثال، تفقد مصفوفة جاكوبيان لذراع روبوتية (التي تربط سرعات المفاصل بسرعة الطرف المؤثر) رتبتها عندما يصل الروبوت إلى وضعية حركة مقيدة. عند هذه الوضعية المفردة، لا يستطيع الروبوت الحركة أو تطبيق قوى في اتجاهات معينة. ^{[ 3 ]}

في نظرية المخططات وفيزياء الشبكات، تكون مصفوفة لابلاس للمخطط متفردة بطبيعتها (لها قيمة ذاتية صفرية) لأن مجموع كل صف فيها يساوي صفرًا. ^{[ 4 ]} وهذا يعكس حقيقة أن المتجه المنتظم يقع في فضاء الصفر الخاص بها.

في مجال التعلم الآلي والإحصاء، تظهر المصفوفات المنفردة بشكل متكرر بسبب الارتباط الخطي المتعدد . على سبيل المثال، مصفوفة البيانات${\displaystyle X}$يؤدي إلى تباين مشترك منفرد أو${\displaystyle X^{T}X}$المصفوفة إذا كانت الميزات مرتبطة خطيًا. يحدث هذا في الانحدار الخطي عندما تكون المتغيرات التنبؤية متداخلة، مما يؤدي إلى مصفوفة المعادلات العادية${\displaystyle X^{T}X}$أن تكون مفردة. ^{[ 5 ]} غالبًا ما يكون الحل هو حذف الميزات أو دمجها، أو استخدام المعكوس الزائف. تستغل تقنيات تقليل الأبعاد مثل تحليل المكونات الرئيسية (PCA) تحليل القيم المفردة (SVD): ينتج عن تحليل القيم المفردة تقريبات منخفضة الرتبة للبيانات، مما يعامل تباين البيانات بشكل فعال على أنه مفرد عن طريق تجاهل القيم المفردة الصغيرة. ^{[ 5 ]}

تُنمذج بعض التحويلات (مثل الإسقاطات من ثلاثي الأبعاد إلى ثنائي الأبعاد) باستخدام المصفوفات المنفردة، لأنها تُختزل بُعدًا. ويتطلب التعامل معها عناية فائقة (إذ لا يمكن عكس الإسقاط). في علم التشفير ونظرية الترميز ، تُستخدم المصفوفات القابلة للعكس في عمليات المزج؛ أما المصفوفات المنفردة فيتم تجنبها أو اكتشافها كأخطاء. ^{[ 6 ]}

إن دراسة المصفوفات الشاذة متجذرة في التاريخ المبكر للجبر الخطي . طُوِّرت المحددات لأول مرة في اليابان على يد سيكي عام 1683، وفي أوروبا على يد لايبنتز وكريمر في تسعينيات القرن السابع عشر ^{[ 7 ]} كأدوات لحل أنظمة المعادلات. أقر لايبنتز صراحةً بأن النظام له حلٌّ تحديدًا عندما يساوي تعبير محدد معين صفرًا. وبهذا المعنى، فُهمت الشذوذية (المحدد يساوي صفرًا) على أنها الشرط الحاسم للحل. على مدار القرنين الثامن عشر والتاسع عشر، وضع علماء الرياضيات ( لابلاس ، كوشي ، وغيرهم) العديد من خصائص المحددات والمصفوفات القابلة للعكس، مُضفين طابعًا رسميًا على مفهوم أن ${\displaystyle \det(A)=0}$يُميّز عدم قابلية الانعكاس.

ظهر مصطلح "المصفوفة الشاذة" لاحقًا، لكن أهميته المفاهيمية ظلت قائمة. في القرن العشرين، طُرحت تعميمات مثل معكوس مور-بنروز الزائف لمعالجة الحالات الشاذة أو غير المربعة بشكل منهجي. وكما تشير الدراسات الحديثة، فقد اقترح إي. إتش. مور فكرة المعكوس الزائف عام 1920، وأعاد اكتشافها آر. بنروز عام 1955، ^{[ 8 ]} مما يعكس فائدته طويلة الأمد. أصبح المعكوس الزائف وتحليل القيم الشاذة أساسيين في كل من النظرية والتطبيقات (مثل ميكانيكا الكم، ومعالجة الإشارات، وغيرها) للتعامل مع الشذوذ. اليوم، تُعد المصفوفات الشاذة موضوعًا أساسيًا في الجبر الخطي: فهي تُحدد الحد الفاصل بين الحالات القابلة للعكس (السليمة) والحالات المنحلة (غير المحددة جيدًا). ​​من الناحية المجردة، تُقابل المصفوفات الشاذة عدم التماثل في التطبيقات الخطية، وبالتالي فهي محورية في نظرية الفضاءات المتجهة والتحويلات الخطية.

يعتبر${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&-3\\2&-6\end{bmatrix}}}$بما أن العمود الثاني هو مضاعف للعمود الأول، فإن المحدد يساوي صفرًا، وبالتالي تكون المصفوفة شاذة. أو بدلاً من ذلك، يمكن تطبيق طريقة الحذف الغاوسي على${\displaystyle A{\vec {x}}={\vec {b}}}$،

$${\displaystyle \left[{\begin{array}{rr|r}1&-3&a\\2&-6&b\end{array}}\right]\to \left[{\begin{array}{rr|r}1&-3&a\\0&0&b-2a\end{array}}\right],}$$

نرى${\displaystyle \operatorname {rank} (A)<2}$، قيود${\displaystyle b-2a=0}$وحلول متعددة${\displaystyle x-3y=a}$، على عكس المصفوفات القابلة للعكس ذات الحلول الفريدة.