حلزون جيبي

📅 آخر تحديث: ١ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 22 صور
الموسوعة الحرة
اللوالب الجيبية ( r n = −1 n cos( nθ ), θ = π /2 ) في الإحداثيات القطبية وما يعادلها في الإحداثيات المستطيلة :
  ن = −2 : قطع زائد متساوي الأضلاع
  ن = −1 : خط
  ن = −1/2 : قطع مكافئ
  ن = 1/2 : قلبي الشكل
  ن = 1 : دائرة
  n = 2 : منحنى برنولي

في الهندسة الجبرية ، تُعتبر اللوالب الجيبية عائلة من المنحنيات تُعرَّف بالمعادلة في الإحداثيات القطبية.

رن=أنكوس⁡(نθ){\displaystyle r^{n}=a^{n}\cos(n\theta )\,}

حيث a ثابت غير صفري و n عدد نسبي غير الصفر. وبإجراء دوران حول نقطة الأصل، يمكن كتابة ذلك أيضًا على النحو التالي:

رن=أنالخطيئة⁡(نθ).{\displaystyle r^{n}=a^{n}\sin(n\theta ).\,}

يُعدّ مصطلح "اللولب" تسميةً خاطئة، لأنها ليست حلزونات حقيقية ، وغالبًا ما تتخذ شكلًا يشبه الزهرة. العديد من المنحنيات المعروفة هي حلزونات جيبية، ومنها:

تمت دراسة المنحنيات لأول مرة بواسطة كولين ماكلورين .

المعادلات

التمايز

رن=أنكوس⁡(نθ){\displaystyle r^{n}=a^{n}\cos(n\theta )\,}

وبحذف a ينتج معادلة تفاضلية لـ r و θ :

دردθكوس⁡نθ+رالخطيئة⁡نθ=0.{\displaystyle {\frac {dr}{d\theta }}\cos n\theta +r\sin n\theta =0.}

ثم

(دردs، ردθدs)كوس⁡نθدsدθ=(-رالخطيئة⁡نθ، ركوس⁡نθ)=ر(-الخطيئة⁡نθ، كوس⁡نθ){\displaystyle \left({\frac {dr}{ds}},\ r{\frac {d\theta }{ds}}\right)\cos n\theta {\frac {ds}{d\theta }}=\left(-r\sin n\theta ,\ r\cos n\theta \right)=r\left(-\sin n\theta ,\ \cos n\theta \right)}

مما يعني أن الزاوية المماسية القطبية هي

ψ=نθ±π/2{\displaystyle \psi =n\theta \pm \pi /2}

وبالتالي فإن الزاوية المماسية هي

φ=(ن+1)θ±π/2.{\displaystyle \varphi =(n+1)\theta \pm \pi /2.}

(تكون الإشارة هنا موجبة إذا كان لـ r و cos n θ نفس الإشارة، وسالبة فيما عدا ذلك.)

متجه الوحدة المماس،

(دردs، ردθدs)،{\displaystyle \left({\frac {dr}{ds}},\ r{\frac {d\theta }{ds}}\right),}

طولها واحد، لذا فإن مقارنة مقدار المتجهات على كل جانب من المعادلة أعلاه تعطي

دsدθ=ركوس-1⁡نθ=أكوس-1+1ن⁡نθ.{\displaystyle {\frac {ds}{d\theta }}=r\cos ^{-1}n\theta =a\cos ^{-1+{\tfrac {1}{n}}}n\theta .}

وعلى وجه الخصوص، طول الحلقة الواحدة عندمان>0{\displaystyle n>0}يكون:

أ∫-π2نπ2نكوس-1+1ن⁡نθ دθ{\displaystyle a\int _{-{\tfrac {\pi }{2n}}}^{\tfrac {\pi }{2n}}\cos ^{-1+{\tfrac {1}{n}}}n\theta \ d\theta }

الاستبدالر=كوس1ن⁡(نθ){\displaystyle r=\cos ^{\tfrac {1}{n}}(n\theta )}يحفز التحول

∫0π2نكوس-1+1ن⁡نθ دθ=∫01در1-ر2ن{\displaystyle \int _{0}^{\tfrac {\pi }{2n}}\cos ^{-1+{\tfrac {1}{n}}}n\theta \ d\theta =\int _{0}^{1}{\frac {dr}{\sqrt {1-r^{2n}}}}}

وبالتالي، يمكن إعادة التعبير عن طول حلقة واحدة من اللولب على النحو التالي:

2أ∫01در1-ر2ن{\displaystyle 2a\int _{0}^{1}{\frac {dr}{\sqrt {1-r^{2n}}}}}

يُعطى الانحناء بواسطة

دφدs=(ن+1)دθدs=ن+1أكوس1-1ن⁡نθ.{\displaystyle {\frac {d\varphi }{ds}}=(n+1){\frac {d\theta }{ds}}={\frac {n+1}{a}}\cos ^{1-{\tfrac {1}{n}}}n\theta .}

ملكيات

معكوس اللولب الجيبي بالنسبة لدائرة مركزها نقطة الأصل هو لولب جيبي آخر تكون قيمة n فيه معكوس قيمة n للمنحنى الأصلي . على سبيل المثال، معكوس منحنى برنولي هو قطع زائد قائم الزاوية.

إن خط التساوي البصري ، والدواسة ، والدواسة السالبة للدواسة الجيبية هي دوال جيبية مختلفة.

أحد مسارات الجسيم المتحرك وفقًا لقوة مركزية تتناسب مع قوة r هو حلزون جيبي.

متىن{\displaystyle n}هو عدد صحيح موجب، واللولب الجيبيرن=كوس⁡(نθ){\displaystyle r^{n}=\cos(n\theta )}يمكن وصفها على النحو التالي.ن{\displaystyle n}يتم ترتيب النقاط بشكل متناظر على دائرة نصف قطرهاأ21ن{\displaystyle {\frac {a}{2^{\frac {1}{n}}}}}مركزها نقطة الأصل مع نقطة واحدة على الجانب الموجبx{\displaystyle x}المحور - ثم مجموعة النقاط، بحيث يكون حاصل ضرب المسافات من تلك النقطة إلى هذه النقاطن{\displaystyle n}النقاط هيأن2{\displaystyle {\frac {a^{n}}{2}}}، هو تحديداً هذا اللولب الجيبي. وبالتالي، يمكن تعريف اللولب الجيبي بمجموعة الأعداد المركبةz{\displaystyle z}تحقيق المعادلة|zن-أن2|=أن2{\displaystyle \left|z^{n}-{\frac {a^{n}}{2}}\right|={\frac {a^{n}}{2}}}وبالتالي فإن هذا الشكل الحلزوني هو شكل متعدد الحدود .

مراجع