منحنى الدواسة

لنفترض أن _P هي نقطة الأصل. بالنسبة لمنحنى معطى بالمعادلة F ( x , y ) = 0، إذا كُتبت معادلة المماس عند R = ( x₀ _, y₀ ) على الصورة التالية :

${\displaystyle \cos \alpha x+\sin \alpha y=p}$

عندئذٍ يكون المتجه (cos α, sin α) موازياً للقطعة المستقيمة PX ، وطول PX ، وهو المسافة من المماس إلى نقطة الأصل، هو p . لذا، يُمثَّل X بالإحداثيات القطبية ( p , α)، واستبدال ( p , α) بـ ( r , θ) ينتج عنه معادلة قطبية لمنحنى الدواسة. ^{[ 2 ]}

على سبيل المثال، ^{[ 3 ]} بالنسبة للقطع الناقص

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

الخط المماس عند R = ₍ x0 _, y0 ) هو

${\displaystyle {\frac {x_{0}x}{a^{2}}}+{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1}$

وكتابة هذا بالشكل المذكور أعلاه يتطلب أن

${\displaystyle {\frac {x_{0}}{a^{2}}}={\frac {\cos \alpha }{p}},\,{\frac {y_{0}}{b^{2}}}={\frac {\sin \alpha }{p}}.}$

يمكن استخدام معادلة القطع الناقص لحذف x₀ و y₀ _، مما _يعطي

${\displaystyle a^{2}\cos ^{2}\alpha +b^{2}\sin ^{2}\alpha =p^{2},\,}$

والتحويل إلى ( r ، θ) يعطي

${\displaystyle a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta =r^{2},\,}$

باعتبارها المعادلة القطبية للدواسة. ويمكن تحويلها بسهولة إلى معادلة ديكارتية كما يلي:

${\displaystyle a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}=(x^{2}+y^{2})^{2}.\,}$

لنفترض أن P هي نقطة الأصل، و C تُعطى بالإحداثيات القطبية بواسطة r  = f (θ). ولتكن R = ( r , θ) نقطة على المنحنى، ولتكن X = ( p , α) النقطة المقابلة لها على منحنى الدواسة. ولنرمز بـ ψ إلى الزاوية بين المماس ومتجه نصف القطر، والمعروفة أحيانًا بالزاوية المماسية القطبية . وهي تُعطى بالعلاقة التالية: 

${\displaystyle r={\frac {dr}{d\theta }}\tan \psi .}$

ثم

${\displaystyle p=r\sin \psi }$

و

${\displaystyle \alpha =\theta +\psi -{\frac {\pi }{2}}.}$

يمكن استخدام هذه المعادلات لإنتاج معادلة في p و α والتي، عند ترجمتها إلى r و θ تعطي معادلة قطبية لمنحنى الدواسة. ^{[ 4 ]}

على سبيل المثال، ^{[ 5 ]} لنفترض أن المنحنى هو الدائرة المعطاة بالعلاقة r = a cos θ. إذن

${\displaystyle a\cos \theta =-a\sin \theta \tan \psi }$

لذا

${\displaystyle \tan \psi =-\cot \theta ,\,\psi ={\frac {\pi }{2}}+\theta ,\alpha =2\theta .}$

أيضًا

${\displaystyle p=r\sin \psi \ =r\cos \theta =a\cos ^{2}\theta =a\cos ^{2}{\alpha \over 2}.}$

إذن، المعادلة القطبية للدواسة هي

${\displaystyle r=a\cos ^{2}{\theta \over 2}.}$

ترتبط معادلات الدواسة لمنحنى ودواسته ارتباطًا وثيقًا. إذا اعتبرنا النقطة P نقطة الدواسة ونقطة الأصل، فيمكن إثبات أن الزاوية ψ بين المنحنى ومتجه نصف القطر عند النقطة R تساوي الزاوية المناظرة لمنحنى الدواسة عند النقطة X. إذا كان p هو طول العمود المرسوم من P إلى مماس المنحنى (أي PX )، و q هو طول العمود المناظر المرسوم من P إلى مماس الدواسة، فإنه باستخدام تشابه المثلثات

${\displaystyle {\frac {p}{r}}={\frac {q}{p}}.}$

ويترتب على ذلك مباشرة أنه إذا كانت معادلة الدواسة للمنحنى هي f ( p , r )=0 فإن معادلة الدواسة لمنحنى الدواسة هي ^{[ 6 ]}

${\displaystyle f(r,{\frac {r^{2}}{p}})=0}$

ومن هذا يمكن حساب جميع الدواسات الموجبة والسالبة بسهولة إذا كانت معادلة الدواسة للمنحنى معروفة.

يترك ${\displaystyle {\vec {v}}=PR}$ ليكن المتجه من R إلى P واكتب

${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {v}} _ {\parallel }+{\vec {v}} _ {\perp }}$،

المكونات المماسية والعمودية لـ${\displaystyle {\vec {v}}}$بالنسبة للمنحنى. ثم${\displaystyle {\vec {v}}_{\parallel }}$هو المتجه من R إلى X الذي يمكن من خلاله حساب موضع X.

وبالتحديد، إذا كانت c عبارة عن معلمات للمنحنى، فإن

${\displaystyle t\mapsto c(t)+{c'(t)\cdot (Pc(t)) \over |c'(t)|^{2}}c'(t)}$

يقوم بتحديد معلمات منحنى الدواسة (مع تجاهل النقاط التي تكون فيها c' صفرًا أو غير معرفة).

بالنسبة لمنحنى مُعرَّف بارامتريًا، يُعرَّف منحنى الدواسة الخاص به بنقطة الدواسة (0;0) على النحو التالي:

${\displaystyle X[x,y]={\frac {(xy'-yx')y'}{x'^{2}+y'^{2}}}}$

${\displaystyle Y[x,y]={\frac {(yx'-xy')x'}{x'^{2}+y'^{2}}}.}$

يُعطى منحنى القدم المقابلة بالصيغة التالية:

${\displaystyle t\mapsto P-{c'(t)\cdot (Pc(t)) \over |c'(t)|^{2}}c'(t)}$

مع نفس نقطة الدواسة، يكون منحنى الدواسة هو منحنى الدواسة لمنحنى التطور للمنحنى المعطى.

عندما تكون C دائرة، توضح المناقشة أعلاه أن التعريفات التالية لـ limaçon متكافئة:

• إنها دواسة الدائرة.
• هو غلاف الدوائر التي يكون لأقطارها نقطة نهاية واحدة عند نقطة ثابتة ونقطة نهاية أخرى تتبع دائرة.
• هو غلاف الدوائر التي تمر بنقطة ثابتة وتتبع مراكزها دائرة.
• إنها لعبة الروليت التي تتكون من دائرة تتدحرج حول دائرة أخرى لها نفس نصف القطر.

لقد أظهرنا أيضًا أن منحنى الانهيار لدائرة هو منحنى التطور لـ limaçon.