حلزوني

في الرياضيات ، الحلزون هو منحنى ينبعث من نقطة، ويبتعد أكثر أثناء دورانه حول النقطة. ^{[1] [2] [3] [4]} وهو نوع فرعي من الأنماط الدوامية ، وهي مجموعة واسعة تشمل أيضًا الأجسام المتحدة المركز .

هناك تعريفان رئيسيان لكلمة "دوامة" في قاموس التراث الأمريكي : ^[5]

1. منحنى على مستوى يلتف حول نقطة مركزية ثابتة على مسافة تتزايد أو تتناقص باستمرار من النقطة.
2. منحنى ثلاثي الأبعاد يدور حول محور على مسافة ثابتة أو متغيرة باستمرار أثناء التحرك بالتوازي مع المحور؛ حلزوني .

يصف التعريف الأول منحنى مستويًا يمتد في كلا الاتجاهين العموديين داخل مستواه؛ فالأخدود على أحد جانبي أسطوانة الجرامفون يقترب بشكل وثيق من الحلزون المستوي (ومن خلال العرض والعمق المحدودين للأخدود، ولكن ليس بسبب التباعد الأوسع بين المسارات، فإنه لا يرقى إلى أن يكون مثالاً مثاليًا)؛ لاحظ أن الحلقات المتعاقبة تختلف في القطر. في مثال آخر، تتبع "الخطوط المركزية" لأذرع مجرة ​​حلزونية حلزونات لوغاريتمية .

يتضمن التعريف الثاني نوعين من أقارب اللوالب ثلاثية الأبعاد:

• زنبرك مخروطي أو حلزوني (بما في ذلك الزنبرك المستخدم للإمساك والاتصال بالأطراف السالبة للبطاريات AA أو AAA في صندوق البطارية )، والدوامة التي تنشأ عند تصريف المياه في الحوض غالبًا ما توصف بأنها حلزونية أو حلزونية مخروطية .
• بشكل صريح، يتضمن التعريف 2 أيضًا زنبركًا لولبيًا أسطوانيًا وخيطًا من الحمض النووي ، وكلاهما حلزوني إلى حد ما، وبالتالي فإن "الحلزوني" هو وصف أكثر فائدة من "اللولب" لكل منهما. بشكل عام، نادرًا ما يتم تطبيق "اللولب" إذا كانت "الحلقات" المتعاقبة للمنحنى لها نفس القطر. ^[5]

في الصورة الجانبية، المنحنى الأسود في الأسفل هو حلزون أرخميدس ، بينما المنحنى الأخضر هو حلزوني. المنحنى الموضح باللون الأحمر هو حلزوني مخروطي.

يمكن وصف الحلزون ثنائي الأبعاد أو المستوي بسهولة باستخدام الإحداثيات القطبية ، حيث يكون نصف القطر دالة مستمرة رتيبة للزاوية : ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \varphi }$

• ${\displaystyle r=r(\varphi )\;.}$

سيتم اعتبار الدائرة كحالة متدهورة ( حيث لا تكون الوظيفة رتيبة تمامًا، بل ثابتة ).

في - -الإحداثيات يكون للمنحنى التمثيل المعلمي: ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

• ${\displaystyle x=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi \;.}$

تتضمن بعض أهم أنواع اللوالب ثنائية الأبعاد ما يلي:

• الحلزون الأرخميدي :${\displaystyle r=a\varphi }$
• الحلزون الزائدي :${\displaystyle r=a/\varphi }$
• دوامة فيرما :${\displaystyle r=a\varphi ^{1/2}}$
• الليتوس :​${\displaystyle r=a\varphi ^{-1/2}}$
• الحلزون اللوغاريتمي :${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$
• حلزون كورنو أو القماشويد
• دوامة فيبوناتشي واللولب الذهبي
• حلزون ثيودوروس : تقريب للحلزون الأرخميدي المكون من مثلثات قائمة متجاورة
• انحناء الدائرة​

• 
  الحلزون الأرخميدي
• 
  حلزوني زائدي
• 
  دوامة فيرما
• 
  ليتوس
• 
  الحلزون اللوغاريتمي
• 
  حلزونية القرن
• 
  حلزون ثيودوروس
• 
  دوامة فيبوناتشي (اللولب الذهبي)
• 
  إن انحناء الدائرة (باللون الأسود) ليس مطابقًا تمامًا للدوامة الأرخميدية (باللون الأحمر).

على سبيل المثال، يتم إنشاء حلزون أرخميدس أثناء لف السجادة. ^[6]

تظهر الحلزونية الزائدية على هيئة صورة لولب ذي إسقاط مركزي خاص (انظر الرسم التخطيطي). يُطلق على الحلزونية الزائدية أحيانًا اسم الحلزونية التبادلية ، لأنها صورة حلزونية أرخميدس ذات دائرة معكوسة (انظر أدناه). ^[7]

يرجع اسم الحلزون اللوغاريتمي إلى المعادلة . وتوجد تقريبات لهذه المعادلة في الطبيعة. ${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1}{k}}\cdot \ln {\tfrac {r}{a}}}$

اللوالب التي لا تتناسب مع مخطط الأمثلة الخمسة الأولى:

تحتوي لولب كورنو على نقطتين مقاربتين.
لولب ثيودوروس هو مضلع. يتكون
لولب فيبوناتشي من سلسلة من أقواس الدائرة. يبدو
الالتفاف في الدائرة مثل أرخميدس، لكنه ليس كذلك: انظر الالتفاف#أمثلة .

وتتناول الاعتبارات التالية اللوالب، والتي يمكن وصفها بمعادلة قطبية ، وخاصة في الحالات (اللولب الأرخميدي، واللولب الزائدي، ولولب فيرما، ولولب الليتوس) واللولب اللوغاريتمي . ${\displaystyle r=r(\varphi )}$${\displaystyle r(\varphi )=a\varphi ^{n}}$${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$

زاوية ميل القطبية

الزاوية بين المماس الحلزوني والدائرة القطبية المقابلة لها (انظر الرسم البياني) تسمى زاوية المنحدر القطبي والمنحدر القطبي . ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \tan \alpha }$

من حساب المتجهات في الإحداثيات القطبية نحصل على الصيغة

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {r'}{r}}\ .}$

ومن ثم فإن ميل الحلزون هو ${\displaystyle \;r=a\varphi ^{n}\;}$

• ${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {n}{\varphi }}\ .}$

في حالة الحلزون الأرخميدي ( ) يكون المنحدر القطبي هو${\displaystyle n=1}$${\displaystyle \;\tan \alpha ={\tfrac {1}{\varphi }}\ .}$

في الحلزون اللوغاريتمي ، يكون ثابتًا. ${\displaystyle \tan \alpha =k\ }$

انحناء

انحناء المنحنى ذو المعادلة القطبية هو ${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle r=r(\varphi )}$

${\displaystyle \kappa ={\frac {r^{2}+2(r')^{2}-r\;r''}{(r^{2}+(r')^{2})^{3/2}}}\ .}$

للحصول على دوامة مع واحد يحصل ${\displaystyle r=a\varphi ^{n}}$

• ${\displaystyle \kappa =\dotsb ={\frac {1}{a\varphi ^{n-1}}}{\frac {\varphi ^{2}+n^{2}+n}{(\varphi ^{2}+ن^{2})^{3/2}}}\ .}$

في حالة (اللولب الأرخميدي) . فقط لللولب نقطة انعطاف . ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle \kappa ={\tfrac {\varphi ^{2}+2}{a(\varphi ^{2}+1)^{3/2}}}}$
${\displaystyle -1<n<0}$

انحناء الحلزون اللوغاريتمي هو${\displaystyle \;r=ae^{k\varphi }\;}$${\displaystyle \;\kappa ={\tfrac {1}{r{\sqrt {1+k^{2}}}}}\;.}$

منطقة القطاع

مساحة قطاع المنحنى (انظر الرسم البياني) ذو المعادلة القطبية هي ${\displaystyle r=r(\varphi )}$

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}r(\varphi )^{2}\;d\varphi \ .}$

بالنسبة للدوامة ذات المعادلة نحصل على ${\displaystyle r=a\varphi ^{n}\;}$

• ${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}a^{2}\varphi ^{2n}\;d\varphi ={\frac {a^{2}}{2(2n+1)}}{\big (}\varphi _{2}^{2n+1}-\varphi _{1}^{2n+1}{\big )}\ ,\quad {\text{إذا}}\quad n\neq -{\frac {1}{2}},}$

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\frac {a^{2}}{\varphi }}\;d\varphi ={\frac {a^{2}}{2}}(\ln \varphi _{2}-\ln \varphi _{1})\ ,\quad {\text{if}}\quad n=-{\frac {1}{2}}\ .}$

صيغة الحلزون اللوغاريتمي هي ${\displaystyle \;r=ae^{k\varphi }\;}$${\displaystyle \ A={\tfrac {r(\varphi _{2})^{2}-r(\varphi _{1})^{2})}{4k}}\ .}$

طول القوس

طول قوس المنحنى ذو المعادلة القطبية هو ${\displaystyle r=r(\varphi )}$

${\displaystyle L=\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {\left(r^{\prime }(\varphi )\right)^{2}+r^{2}(\varphi )}}\,\mathrm {d} \varphi \ .}$

بالنسبة للدوامة الطول هو ${\displaystyle r=a\varphi ^{n}\;}$

• ${\displaystyle L=\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {{\frac {n^{2}r^{2}}{\varphi ^{2}}}+r^{2}}}\;d\varphi =a\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\varphi ^{n-1}{\sqrt {n^{2}+\varphi ^{2}}}d\varphi \ .}$

لا يمكن حل كل هذه التكاملات باستخدام جدول مناسب. في حالة دوامة فيرما، يمكن التعبير عن التكامل باستخدام التكاملات الإهليلجية فقط.

طول قوس الحلزون اللوغاريتمي هو${\displaystyle \;r=ae^{k\varphi }\;}$${\displaystyle \ L={\tfrac {\sqrt {k^{2}+1}}{k}}{\big (}r(\varphi _{2})-r(\varphi _{1}){\big )}\ .}$

عكس الدائرة

إن الانعكاس في دائرة الوحدة له في الإحداثيات القطبية الوصف البسيط التالي: . ${\displaystyle \ (r,\varphi )\mapsto ({\tfrac {1}{r}},\varphi )\ }$

• صورة الحلزون تحت الانعكاس عند دائرة الوحدة هي الحلزون ذو المعادلة القطبية . على سبيل المثال: الحلزون المعكوس لأرخميدس هو الحلزون الزائدي.${\displaystyle \ r=a\varphi ^{n}\ }$${\displaystyle \ r={\tfrac {1}{a}}\varphi ^{-n}\ }$

يتم رسم حلزوني لوغاريتمي على الحلزوني اللوغاريتمي${\displaystyle \;r=ae^{k\varphi }\;}$${\displaystyle \;r={\tfrac {1}{a}}e^{-k\varphi }\;.}$

دالة الحلزون عادة ما تكون رتيبة بشكل صارم ومتصلة وغير محدودة . بالنسبة للدوامات القياسية فهي إما دالة قوة أو دالة أسية. إذا اختار المرء دالة محدودة ، فإن الحلزون يكون محدودًا أيضًا. الدالة المحدودة المناسبة هي دالة الظل العكسي : ${\displaystyle r(\varphi )}$${\displaystyle r(\varphi )}$${\displaystyle r(\varphi )}$

مثال 1

يؤدي الإعداد والاختيار إلى إنشاء حلزوني يبدأ من الأصل (مثل حلزون أرخميدس) ويقترب من الدائرة ذات نصف القطر (الرسم التخطيطي، على اليسار). ${\displaystyle \;r=a\arctan(k\varphi )\;}$${\displaystyle \;k=0.1,a=4,\;\varphi \geq 0\;}$${\displaystyle \;r=a\pi /2\;}$

مثال 2

وبالنسبة لنا ، نحصل على حلزوني يقترب من الأصل (مثل الحلزون الزائدي) ويقترب من الدائرة التي يبلغ نصف قطرها (الرسم التخطيطي، على اليمين). ${\displaystyle \;r=a(\arctan(k\varphi )+\pi /2)\;}$${\displaystyle \;k=0.2,a=2,\;-\infty <\varphi <\infty \;}$${\displaystyle \;r=a\pi \;}$

من المنحنيات الفضائية الحلزونية المعروفة الحلزونات المخروطية واللولبات الكروية ، والموضحة أدناه. وهناك مثال آخر على الحلزونات الفضائية وهو الحلزون الحلقي . ^[8] واللولب الحلزوني الملتوي حول الحلزون، ^[9] المعروف أيضًا باسم الحلزون المزدوج الملتوي ، ^[10] يمثل أشياء مثل خيوط الملفوفة .

إذا كان في المستوى - حلزوني ذو تمثيل بارامتري ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle x=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi }$

إذا تم إعطاء ذلك، فيمكن إضافة إحداثي ثالث ، بحيث يقع منحنى الفضاء الآن على المخروط بالمعادلة : ${\displaystyle z(\varphi )}$${\displaystyle \;m(x^{2}+y^{2})=(z-z_{0})^{2}\ ,\ m>0\;}$

• ${\displaystyle x=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi \ ,\qquad \color {red}{z=z_{0}+mr(\varphi )}\ .}$

تسمى اللوالب التي يتم إنشاؤها بناءً على هذا الإجراء باللولبات المخروطية .

مثال

بدءًا من الحلزون الأرخميدي نحصل على الحلزون المخروطي (انظر الرسم التخطيطي) ${\displaystyle \;r(\varphi )=a\varphi \;}$

${\displaystyle x=a\varphi \cos \varphi \ ,\qquad y=a\varphi \sin \varphi \ ,\qquad z=z_{0}+ma\varphi \ ,\quad \varphi \geq 0\ .}$

يمكن استخدام أي إسقاط خريطة أسطواني كأساس لحلزوني كروي : ارسم خطًا مستقيمًا على الخريطة وابحث عن إسقاطه العكسي على الكرة، وهو نوع من المنحنى الكروي .

من أكثر عائلات الحلزونات الكروية الأساسية هي منحنيات كليليا ، والتي تمتد إلى خطوط مستقيمة على إسقاط مستطيل متساوي الأضلاع . هذه هي المنحنيات التي تكون فيها خطوط الطول والعرض في علاقة خطية، على غرار الحلزونات الأرخميدية في المستوى؛ تحت الإسقاط المتساوي الأبعاد، يمتد منحنى كليليا إلى حلزون أرخميدي مستو.

إذا تم تمثيل كرة الوحدة بإحداثيات كروية

${\displaystyle x=\sin \theta \,\cos \varphi ,\quad y=\sin \theta \,\sin \varphi ,\quad z=\cos \theta ,}$

ثم يؤدي ضبط التبعية الخطية لإحداثيات الزاوية إلى الحصول على منحنى معلمي من حيث المعلمة ⁠ ⁠ ، ^[11]${\displaystyle \varphi =c\theta }$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\bigl (}\sin \theta \,\cos c\theta ,\,\sin \theta \,\sin c\theta ,\,\cos \theta \,{\bigr )}.}$

• 
  منحنى كليليا
• 
  لوكسودروم

عائلة أخرى من الحلزونات الكروية هي خطوط الرومب أو لوكسودروم، التي تمتد إلى خطوط مستقيمة على إسقاط مركاتور . هذه هي المسارات التي تتبعها سفينة تسافر باتجاه ثابت . أي لوكسودروم (باستثناء خطوط الطول والخطوط الموازية) تدور بشكل لا نهائي حول أي من القطبين، وتقترب أكثر فأكثر في كل مرة، على عكس منحنى كليليا الذي يحافظ على تباعد منتظم في خطوط العرض المتوازية. في ظل الإسقاط المجسم ، يمتد لوكسودروم إلى حلزون لوغاريتمي في المستوى.

دراسة اللوالب في الطبيعة لها تاريخ طويل. لاحظ كريستوفر رين أن العديد من القواقع تشكل حلزونًا لوغاريتميًا ؛ ولاحظ جان سوامردام الخصائص الرياضية المشتركة لمجموعة واسعة من القواقع من الحلزون إلى السبيرولا ؛ ووصف هنري نوتيدج موزلي رياضيات القواقع أحادية الصمام . يقدم كتاب دارسي وينتوورث تومسون " عن النمو والشكل" معالجة موسعة لهذه اللوالب. يصف كيف تتشكل القواقع عن طريق تدوير منحنى مغلق حول محور ثابت: يظل شكل المنحنى ثابتًا، لكن حجمه ينمو في تقدم هندسي . في بعض القواقع، مثل نوتيلوس والأمونيت ، يدور المنحنى الناتج في مستوى عمودي على المحور وستشكل القوقعة شكلًا قرصيًا مستويًا. في حالات أخرى ، تتبع مسارًا منحرفًا يشكل نمطًا حلزونيًا حلزونيًا . درس تومسون أيضًا اللوالب التي تحدث في القرون والأسنان والمخالب والنباتات . [ 12 ^]

اقترح H. Vogel نموذجًا لنمط الأزهار في رأس عباد الشمس ^{[13] . يأخذ هذا النموذج الشكل}

${\displaystyle \theta =n\times 137.5^{\circ },\ r=c{\sqrt {n}}}$

حيث أن n هو رقم مؤشر الزهرة و c هو عامل مقياس ثابت، و هو شكل من أشكال حلزون فيرما . الزاوية 137.5 درجة هي الزاوية الذهبية التي ترتبط بالنسبة الذهبية وتعطي تغليفًا وثيقًا للزهور. ^[14]

غالبًا ما يتم وصف اللوالب الموجودة في النباتات والحيوانات بأنها دوامات . وهذا هو الاسم الذي يُطلق أيضًا على بصمات الأصابع ذات الشكل الحلزوني .

• 
  رسم فني لمجرة حلزونية.
• 
  رأس عباد الشمس يعرض أزهارًا حلزونية الشكل يبلغ عددها 34 و55 حول الخارج.

تم العثور على شكل حلزوني في ميزين ، أوكرانيا ، كجزء من قطعة زخرفية يرجع تاريخها إلى 10000 قبل الميلاد. ^{[ بحاجة لمصدر ]} كانت الزخارف الحلزونية واللولبية الثلاثية بمثابة رموز العصر الحجري الحديث في أوروبا ( معابد الميجاليث في مالطا ). الحلزون الثلاثي السلتي هو في الواقع رمز ما قبل السلتي. ^[15] تم نحته في صخر معين حجري بالقرب من المدخل الرئيسي لنصب نيوجرانج التذكاري ما قبل التاريخ في مقاطعة ميث ، أيرلندا . تم بناء نيوجرانج حوالي عام 3200 قبل الميلاد، أي قبل السلتيين؛ تم نحت الحلزونات الثلاثية قبل 2500 عام على الأقل من وصول السلتيين إلى أيرلندا، لكنها أصبحت منذ فترة طويلة جزءًا من الثقافة السلتية. ^[16] يظهر رمز التريسكليون ، الذي يتكون من ثلاث حلزونات متشابكة أو ثلاث أرجل بشرية منحنية، في العديد من الثقافات المبكرة: تشمل الأمثلة الأوعية الميسينية ، والعملات المعدنية من ليقيا ، والستاتيرات من بامفيليا (في أسبندوس ، 370-333 قبل الميلاد) وبسيدية ، بالإضافة إلى الشعارات الشعارية على دروع المحاربين المصورة على الفخار اليوناني. ^[17]

تظهر الحلزونات بشكل شائع في الفن ما قبل الكولومبي في أمريكا اللاتينية وأمريكا الوسطى. أكثر من 1400 نقش صخري (نقوش صخرية) في لاس بلازويلاس، غواناخواتو المكسيك ، والتي يرجع تاريخها إلى 750-1200 بعد الميلاد، تصور بشكل أساسي الحلزونات والأشكال النقطية والنماذج المصغرة. ^[18] في كولومبيا، غالبًا ما تتضمن الأشكال الشبيهة بالقرود والضفادع والسحالي التي تم تصويرها في النقوش الصخرية أو كأشكال قرابين ذهبية حلزونات، على سبيل المثال على راحة اليد. ^[19] في أمريكا الوسطى السفلى، تعد الحلزونات جنبًا إلى جنب مع الدوائر والخطوط المتموجة والصلبان والنقط أحرفًا صخرية عالمية. ^[20] تظهر الحلزونات أيضًا بين خطوط نازكا في الصحراء الساحلية في بيرو، والتي يرجع تاريخها إلى الفترة من 200 قبل الميلاد إلى 500 بعد الميلاد. يبلغ عدد النقوش الجيولوجية بالآلاف وتصور الحيوانات والنباتات والزخارف الهندسية، بما في ذلك الحلزونات. ^[21]

غالبًا ما تم تفسير الأشكال الحلزونية، بما في ذلك الصليب المعقوف ، والتريسكيلي ، وما إلى ذلك، على أنها رموز شمسية . ^{[ بحاجة لمصدر ]} تم العثور على بلاط سقف يعود تاريخه إلى عهد أسرة تانغ يحمل هذا الرمز غرب مدينة تشانغآن القديمة (شيآن الحديثة). ^{[ بحاجة لمصدر ] [ السنة المطلوبة ]}

اللوالب هي أيضًا رمز للتنويم المغناطيسي ، وهي نابعة من الصورة النمطية للأشخاص وشخصيات الرسوم المتحركة التي يتم تنويمها مغناطيسيًا من خلال التحديق في لولب دوار (أحد الأمثلة على ذلك Kaa في فيلم ديزني The Jungle Book ). كما تُستخدم أيضًا كرمز للدوار ، حيث تتحول عيون شخصية الرسوم المتحركة، وخاصة في الرسوم المتحركة والمانغا ، إلى لوالب للإشارة إلى أنها تشعر بالدوار أو الذهول. يوجد اللولب أيضًا في هياكل صغيرة مثل الحلزون المزدوج للحمض النووي وكبيرة مثل المجرة . وبسبب هذا الحدوث الطبيعي المتكرر، فإن اللولب هو الرمز الرسمي لحركة وحدة الوجود العالمية . ^[22] اللولب هو أيضًا رمز للعملية الجدلية والوحدانية الجدلية .

الحلزون هو رمز متكرر للتطهير الروحي ، سواء داخل المسيحية أو خارجها (يُنظر إلى الحلزون باعتباره رمزًا أفلاطونيًا جديدًا للصلاة والتأمل، والدوران حول موضوع والصعود في نفس الوقت، ورمزًا بوذيًا للعملية التدريجية على طريق التنوير ). [...] بينما الحلزون متكرر، يتوسع الحلزون وبالتالي يجسد النمو - مفهوميًا إلى ما لا نهاية . ^[23]

• 
  ثقافة كوكوتيني، دوامات على وعاء على حامل، وإناء على حامل، وأمفورا، 4300-4000 قبل الميلاد، سيراميك، قصر الثقافة ، ياش ، رومانيا
• 
  حلزونات من العصر الحجري الحديث على لوح مدخل نيوجرانج ، نحات أو مهندس معماري غير معروف، الألفية الثالثة قبل الميلاد
• 
  حلزونات ميسينية على لوحة دفن، دائرة القبر أ، حوالي عام 1550 قبل الميلاد، حجر، المتحف الأثري الوطني ، أثينا ، اليونان
• 
  حلزونات مروية على كبش ممر معبد آمون في النقعة ، نحات غير معروف، القرن الأول الميلادي، حجر، في الموقع
• 
  تصميم حلزوني إسلامي للمسجد الكبير في سامراء ، سامراء ، العراق ، مهندس معماري غير معروف، حوالي عام 851
• 
  برج الجرس المتصاعد على الطراز القوطي في Maison des compagnons du Tour de France، نانت ، مهندس معماري غير معروف، ج. 1910

ألهمت الحلزونية الفنانين على مر العصور. ومن أشهر الأعمال الفنية المستوحاة من الحلزونية العمل الترابي لروبرت سميثسون ، " Spiral Jetty "، في بحيرة الملح الكبرى في يوتا. ^[24] كما أن موضوع الحلزوني موجود أيضًا في Spiral Resonance Field لديفيد وود في متحف البالون في ألبوكيرك، وكذلك في ألبوم The Downward Spiral الذي نال استحسان النقاد لفرقة Nine Inch Nails عام 1994. كما أن الحلزوني هو موضوع بارز في الأنمي Gurren Lagann ، حيث يمثل فلسفة وطريقة حياة. كما أنه محوري في عمل ماريو ميرز وآندي جولدسورثي. الحلزوني هو الموضوع الرئيسي لمانجا الرعب Uzumaki لجونجي إيتو ، حيث تعاني بلدة ساحلية صغيرة من لعنة تنطوي على الحلزونات. كما يصور كتاب A Piece of Mind لواين أ. بيل عام 2012 حلزونًا كبيرًا في كتاب الأحلام والصور هذا. ^{[25] [ بحاجة لمصدر كامل ] [26] [ بحاجة لتحقق ]} الحلزوني الملفوف هو صورة مركزية في أيقونات الضواحي القوطية للفنانة الأسترالية تانيا ستارك ، والتي تتضمن عناصر الموقد الكهربائي الحلزوني كرموز للكيمياء المنزلية والروحانية. ^{[27] [28]}

• المتاهة السلتية (اللولبية المستقيمة)
• الدوائر المتحدة المركز
• الحمض النووي
• رقم فيبوناتشي
• مقبرة هال-سفلييني
• المعابد الحجرية الضخمة في مالطا
• الأنماط في الطبيعة
• سطح الصدفة
• حلزوني
• قطاعة الخضروات الحلزونية
• سلالم حلزونية
• تريسكليون

• كوك، ت.، 1903. اللوالب في الطبيعة والفن . الطبيعة 68 (1761)، 296.
• كوك، ت.، 1979. منحنيات الحياة . دوفر، نيويورك.
• حبيب، ز، ساكاي، م، 2005. منحنيات الانتقال الحلزونية وتطبيقاتها . Scientiae Mathematicae Japonicae 61 (2)، 195 – 206.
• ديموليو، ساربونو؛ حبيب، ذو الفقار؛ ساكاي، مانابو (2009). "انتقال مكعب عادل بين دائرتين إحداهما داخل الأخرى أو مماس لها". الخوارزميات العددية . 51 (4): 461– 476. رمز Bibcode :2009NuAlg..51..461D. doi :10.1007/s11075-008-9252-1. S2CID  22532724.
• Harary, G., Tal, A., 2011. The natural 3D spiral . Computer Graphics Forum 30 (2), 237 – 246 [1] محفوظ في 2015-11-22 على موقع Wayback Machine .
• Xu, L., Mould, D., 2009. Magnetic curves: curvature-control beauty curves using magnetic fields . في: Deussen, O., Hall, P. (المحررون)، Computational Aesthetics in Graphics, Visualization, and Imaging. The Eurographics Association [2].
• وانغ، يولين. تشاو، بينجيان؛ تشانغ، لوزو؛ شو، جياتشوان؛ وانغ، كانشانغ؛ وانغ شوشون (2004). “تصميم منحنيات عادلة باستخدام قطع منحنية رتيبة”. التصميم الهندسي بمساعدة الحاسوب . 21 (5): 515-527 . دوى :10.1016/j.cagd.2004.04.001.
• كورنوسينكو، أ. (2010). "تطبيق الانعكاس لبناء حلزونات مستوية عقلانية تلبي بيانات هيرميت G2 ذات النقطتين". التصميم الهندسي بمساعدة الكمبيوتر . 27 (3): 262– 280. arXiv : 0902.4834 . doi : 10.1016/j.cagd.2009.12.004. S2CID  14476206.
• أ. كورنوسينكو. استيفاء هيرميت G2 بنقطتين باستخدام اللوالب عن طريق عكس القطع الزائد . التصميم الهندسي بمساعدة الكمبيوتر، 27(6)، 474-481، 2010.
• مييورا، كيه تي، 2006. معادلة عامة للمنحنيات الجمالية وتقاربها الذاتي . التصميم بمساعدة الكمبيوتر والتطبيقات 3 (1-4)، 457-464 [3] محفوظ في 2013-06-28 على موقع واي باك مشين .
• مييورا، كيه، سون، جيه، ياماشيتا، أيه، كانيكو، تي، 2005. اشتقاق صيغة عامة للمنحنيات الجمالية . في: المؤتمر الدولي الثامن حول البشر والحاسبات الآلية (HC2005). أيزو-واكاموتسو، اليابان، ص 166 – 171 [4] محفوظ في 2013-06-28 على موقع واي باك مشين .
• Meek, DS; Walton, DJ (1989). "استخدام حلزونات كورنو في رسم منحنيات مستوية ذات انحناء متحكم فيه". مجلة الرياضيات الحسابية والتطبيقية . 25 : 69– 78. doi : 10.1016/0377-0427(89)90076-9 .
• توماس، سونيل (2017). "كبريتات البوتاسيوم تشكل بنية حلزونية عند إذابتها في المحلول". المجلة الروسية للكيمياء الفيزيائية ب . 11 (1): 195- 198. رمز Bibcode : 2017RJPCB..11..195T. doi : 10.1134/S1990793117010328. S2CID  99162341.
• فارين، جيرالد (2006). "منحنيات بيزير من الفئة أ". التصميم الهندسي بمساعدة الكمبيوتر . 23 (7): 573- 581. doi :10.1016/j.cagd.2006.03.004.
• فاروقي، ر.ت، 1997. منحنيات انتقالية خماسية فيثاغورسية-هودوجرافية للانحناء أحادي النغمة . التصميم بمساعدة الكمبيوتر 29 (9)، 601-606.
• يوشيدا، ن.، سايتو، ت.، 2006. مقاطع المنحنى الجمالية التفاعلية . الحاسوب المرئي 22 (9)، 896-905 [5] مؤرشف من الأصل في 2016-03-04 على موقع واي باك مشين .
• يوشيدا، ن.، سايتو، ت.، 2007. المنحنيات شبه الجمالية في أشكال بيزير المكعبة العقلانية . التصميم بمساعدة الكمبيوتر والتطبيقات 4 (9-10)، 477-486 [6] محفوظ في 2016-03-03 على موقع واي باك مشين .
• Ziatdinov، R.، Yoshida، N.، Kim، T.، 2012. معادلات تحليلية بارامترية لمنحنيات اللوغاريتم الجمالية من حيث وظائف جاما غير المكتملة . التصميم الهندسي بمساعدة الكمبيوتر 29 (2)، 129-140 [7].
• Ziatdinov، R.، Yoshida، N.، Kim، T.، 2012. تركيب منحنى انتقالي متعدد الحلزونات G2 لربط خطين مستقيمين ، التصميم بمساعدة الكمبيوتر 44(6)، 591-596 [8].
• Ziatdinov, R., 2012. عائلة من الحلزونات الفائقة ذات الانحناء الأحادي تمامًا المعطاة من حيث دالة جاوس فوق الهندسية . التصميم الهندسي بمساعدة الكمبيوتر 29(7): 510–518، 2012 [9].
• Ziatdinov، R.، Miura KT، 2012. حول تنوع اللوالب المستوية وتطبيقاتها في التصميم بمساعدة الكمبيوتر . الباحث الأوروبي 27 (8-2)، 1227-1232 [10].

• [11] تم أرشفته في 2021-07-02 على موقع Wayback Machine
• تتحول دوامة أرخميدس إلى دوامة غاليليو. ميخائيل جايشنكوف، OEIS