هيكل عظمي ن

📅 آخر تحديث: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 16 صور
الموسوعة الحرة
هذا الرسم البياني للمكعب الفائق هو الهيكل العظمي ذو البعد 1 للمكعب الفائق .

في الرياضيات ، وخاصة في الطوبولوجيا الجبرية ، يُشير الهيكل ذو البعد n للفضاء الطوبولوجي X، المُعرَّف على أنه مُركَّب تبسيطي (أو مُركَّب CW )، إلى الفضاء الجزئي X <sup> n</sup> الذي يُمثِّل اتحاد مُركَّبات X <sup>n </sup> (أو خلايا X <sup>n </sup>) ذات الأبعاد m ≤ n . بعبارة أخرى، عند تعريف مُركَّب استقرائي ، يُمكن الحصول على الهيكل ذي البعد n بالتوقف عند الخطوة n .

تتزايد هذه الفضاءات الفرعية مع ازدياد قيمة n . يُمثل الهيكل الصفري فضاءً منفصلاً ، بينما يُمثل الهيكل الواحد رسمًا بيانيًا طوبولوجيًا . تُستخدم هياكل الفضاء في نظرية العوائق ، وفي بناء المتتاليات الطيفية باستخدام الترشيحات ، وعمومًا في تقديم الاستدلالات الاستقرائية . وتكتسب هذه الهياكل أهمية خاصة عندما يكون للفضاء X بُعد لانهائي، بمعنى أن قيم X <sub>n</sub> لا تصبح ثابتة عندما n → ∞.

في الهندسة

في الهندسة ، يتكون الهيكل العظمي k لمتعدد السطوح n - P (الممثل وظيفيًا بـ skel k ( P )) من جميع عناصر متعدد السطوح i ذات البعد حتى k . [ 1 ]

على سبيل المثال:

skel 0 (مكعب) = 8 رؤوس
الهيكل العظمي 1 (مكعب) = 8 رؤوس، 12 ضلعًا
الهيكل 2 (مكعب) = 8 رؤوس، 12 ضلعًا، 6 أوجه مربعة

يُعرف الهيكل العظمي ذو البعد 1 أيضًا باسم الرسم البياني للرؤوس والحواف للمضلع.

للمجموعات التبسيطية

إن التعريف المذكور أعلاه لهيكل المركب التبسيطي هو حالة خاصة من مفهوم هيكل المجموعة التبسيطية . باختصار، المجموعة التبسيطيةك*{\displaystyle K_{*}}يمكن وصفها بمجموعة من المجموعاتكأنا، أنا≥0{\displaystyle K_{i},\i\geq 0}بالإضافة إلى خرائط الوجوه والانحلال بينها التي تحقق عددًا من المعادلات. فكرة الهيكل العظمي ذي n عنصرًاsكن(ك*){\displaystyle sk_{n}(K_{*})}يتمثل الحل الأول في التخلص من المجموعاتكأنا{\displaystyle K_{i}}معأنا>ن{\displaystyle i>n}ثم لإكمال مجموعة كأنا{\displaystyle K_{i}}معأنا≤ن{\displaystyle i\leq n} to the "smallest possible" simplicial set so that the resulting simplicial set contains no non-degenerate simplices in degrees i>n{\displaystyle i>n}.

More precisely, the restriction functor

i∗:ΔopSets→Δ≤nopSets{\displaystyle i_{*}:\Delta ^{op}Sets\rightarrow \Delta _{\leq n}^{op}Sets}

has a left adjoint, denoted i∗{\displaystyle i^{*}}.[2] (The notations i∗,i∗{\displaystyle i^{*},i_{*}} are comparable with the one of image functors for sheaves.) The n-skeleton of some simplicial set K∗{\displaystyle K_{*}} is defined as

skn(K):=i∗i∗K.{\displaystyle sk_{n}(K):=i^{*}i_{*}K.}

Coskeleton

Moreover, i∗{\displaystyle i_{*}} has a right adjoint i!{\displaystyle i^{!}}. The n-coskeleton is defined as

coskn(K):=i!i∗K.{\displaystyle cosk_{n}(K):=i^{!}i_{*}K.}

For example, the 0-skeleton of K is the constant simplicial set defined by K0{\displaystyle K_{0}}. The 0-coskeleton is given by the Čech nerve

⋯→K0×K0→K0.{\displaystyle \dots \rightarrow K_{0}\times K_{0}\rightarrow K_{0}.}

(The boundary and degeneracy morphisms are given by various projections and diagonal embeddings, respectively.)

The above constructions work for more general categories (instead of sets) as well, provided that the category has fiber products. The coskeleton is needed to define the concept of hypercovering in homotopical algebra and algebraic geometry.[3]

References

  1. ↑Peter McMullen, Egon Schulte, Abstract Regular Polytopes, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-81496-0 (Page 29)
  2. ↑Goerss, P. G.; Jardine, J. F. (1999), Simplicial Homotopy Theory, Progress in Mathematics, vol. 174, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-6064-1, section IV.3.2
  3. ↑Artin, Michael; Mazur, Barry (1969), Etale homotopy, Lecture Notes in Mathematics, No. 100, Berlin, New York: Springer-Verlag