مساحة الخرائط

في الرياضيات، وخاصة في الطوبولوجيا الجبرية ، فإن فضاء التطبيق بين فضاءين هو فضاء جميع التطبيقات (المستمرة) بينهما.

يُعدّ النظر إلى مجموعة جميع الخرائط كفضاء أمرًا مفيدًا لأنه يسمح بإجراء اعتبارات طوبولوجية. على سبيل المثال، منحنى${\displaystyle h:I\to \operatorname {Map} (X,Y)}$في فضاء الإسقاط، يوجد تماثل تام بين نقطة البداية ونقطة النهاية.

من وجهة نظر نظرية الفئات ، يوفر فضاء التعيين الـ Hom الداخلي (أي الـ hom الذي هو أيضًا كائن) في فئة الفضاءات.

يمكن تزويد فضاء الإسقاط بعدة طوبولوجيات. من بينها الطوبولوجيا المدمجة المفتوحة أو تحويلها إلى k- . عادةً ما تكون هناك علاقة المرافق.

${\displaystyle \operatorname {Map} (X\times Y,Z)\simeq \operatorname {Map} (X,\operatorname {Map} (Y,Z))}$

وبالتالي${\displaystyle \operatorname {Map} }$هو نظير لدالة Hom . (بالنسبة للفضاءات الشاذة، قد تفشل هذه العلاقة.)

وهذا مثال شائع آخر. لدينا:

${\displaystyle \operatorname {Map} (X,Y)\hookrightarrow X\times Y}$

مقدم من${\displaystyle f\mapsto \Gamma _{f}=}$الرسم البياني لـ${\displaystyle f}$ثم يمكننا أن نعطي${\displaystyle \operatorname {Map} (X,Y)}$طوبولوجيا ويتني (وتسمى أيضًا الطوبولوجيا الدقيقة أو الطوبولوجيا القوية ) حيث تتكون المجموعة المفتوحة الأساسية من تلك${\displaystyle g}$بحيث${\displaystyle \Gamma _{g}\subset U}$لبعض المجموعات الفرعية المفتوحة${\displaystyle U\subset X\times Y}$[ ^{1 ] [ 2 ]} لا تتعامل الطوبولوجيا المدمجة المفتوحة مع السلوك عند اللانهاية بشكل جيد، ولذلك يتم استخدام طوبولوجيا ويتني في بعض الأحيان بدلاً من ذلك ^.

لو${\displaystyle X}$هو شبه مضغوط ^{[ 3 ]} و${\displaystyle Y}$إذا كان فضاءً متريًا، فإن طوبولوجيا ويتني تحتوي على مجموعة مفتوحة أساسية من الشكل

${\displaystyle B(f,\epsilon ):=\{g\mid d(g(x),f(x))<\epsilon (x)\}}$

بالنسبة للبعض${\displaystyle f\in \operatorname {Map} (X,Y)}$ودالة متصلة${\displaystyle \epsilon :X\to \mathbb {R} _{>0}}$وإذا كان الأمر كذلك،${\displaystyle Y}$إذا اكتملت العملية، فسنحصل على الحقيقة المهمة التالية:

يترك${\displaystyle Q\subset \operatorname {Map} (X,Y)}$لتكن مجموعة جزئية بحيث يكون كل حد منتظم لمتتالية في${\displaystyle Q}$إن وجدت، فهي في${\displaystyle Q}$. ثم${\displaystyle Q}$هو فضاء باير . ^{[ 4 ]}

يتم إثبات ذلك بنفس الطريقة التي يتم بها إثبات نظرية فئة باير باستثناء أننا نستخدم النسخة العائلية المذكورة أعلاه للكرة.

للمشعبات${\displaystyle M,N}$، هناك المجموعة الفرعية${\displaystyle {\mathcal {C}}^{r}(M,N)\subset \operatorname {Map} (M,N)}$التي تتكون من جميع${\displaystyle {\mathcal {C}}^{r}}$- خرائط سلسة من${\displaystyle M}$ل${\displaystyle N}$يمكن تجهيزها بطوبولوجيا ضعيفة أو قوية.

تنص نظرية التقريب الأساسية على أن${\displaystyle {\mathcal {C}}_{W}^{s}(M,N)}$كثيف في${\displaystyle {\mathcal {C}}_{S}^{r}(M,N)}$ل${\displaystyle 1\leq s\leq \infty ,0\leq r<s}$[ ^{5 ]​}

أنظر أيضا: نظرية تقريب جراويرت

تتمثل النتيجة الأساسية هنا في نظرية ميلنور التي تنص على أن فضاء التطبيق${\displaystyle \operatorname {Map} (X,Y)}$له نوع التماثل لمركب CW إذا${\displaystyle X}$مساحة هاوسدورف صغيرة الحجم و${\displaystyle Y}$يمتلك نوع التماثل لمركب CW. ^{[ 6 ]}

• هيرش، موريس (1997). الطوبولوجيا التفاضلية . سبرينغر. ISBN 0-387-90148-5.
• ميلنور، جون (1959). "حول الفضاءات التي لها نوع التماثل المركب CW". معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 90 (2): 272-280 . doi : 10.2307/1993204 . JSTOR 1993204 . 
• وال، سي تي سي (4 يوليو 2016). الطوبولوجيا التفاضلية . مطبعة جامعة كامبريدج. رقم ISBN 9781107153523.
• M. Golubitsky and V. Guillemin, Stable mappings and their singularities, x+209 pp, Springer Graduate Texts 14, Springer-Verlag, 1973.