Smooth completion

In algebraic geometry, the smooth completion (or smooth compactification) of a smoothaffine algebraic curveX is a complete smooth algebraic curve which contains X as an open subset.^[1] Smooth completions exist and are unique over a perfect field.

An affine form of a hyperelliptic curve may be presented as ${\displaystyle y^{2}=P(x)}$ where ${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {C} ^{2}}$ and P(x) has distinct roots and has degree at least 5. The Zariski closure of the affine curve in ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbb {P} ^{2}}$ is singular at the unique infinite point added. Nonetheless, the affine curve can be embedded in a unique compact Riemann surface called its smooth completion. The projection of the Riemann surface to ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbb {P} ^{1}}$ is 2-to-1 over the singular point at infinity if ${\displaystyle P(x)}$ has even degree, and 1-to-1 (but ramified) otherwise.

This smooth completion can also be obtained as follows. Project the affine curve to the affine line using the x-coordinate. Embed the affine line into the projective line, then take the normalization of the projective line in the function field of the affine curve.

A smooth connected curve over an algebraically closed field is called hyperbolic if ${\displaystyle 2g-2+r>0}$ where g is the genus of the smooth completion and r is the number of added points.

Over an algebraically closed field of characteristic 0, the fundamental group of X is free with ${\displaystyle 2g+r-1}$ generators if r>0.

(Analogue of Dirichlet's unit theorem) Let X be a smooth connected curve over a finite field. Then the units of the ring of regular functions O(X) on X is a finitely generated abelian group of rank r -1.

Suppose the base field is perfect. Any affine curve X is isomorphic to an open subset of an integral projective (hence complete) curve. Taking the normalization (or blowing up the singularities) of the projective curve then gives a smooth completion of X. Their points correspond to the discrete valuations of the function field that are trivial on the base field.

بحسب التصميم، فإن الإكمال الأملس هو منحنى إسقاطي يحتوي على المنحنى المعطى كمجموعة فرعية مفتوحة كثيفة في كل مكان، وتكون النقاط الجديدة المضافة ملساء. هذا الإكمال (الإسقاطي) موجود دائمًا وهو فريد.

إذا لم يكن الحقل الأساسي مثاليًا، فلا يوجد دائمًا إكمال سلس لمنحنى أفيني أملس. لكن العملية المذكورة أعلاه تُنتج دائمًا إكمالًا منتظمًا إذا بدأنا بمنحنى أفيني منتظم (المتنوعات الملساء منتظمة، والعكس صحيح على الحقول المثالية). الإكمال المنتظم فريد، وبحسب معيار التقييم الخاص بالصلاحية ، فإن أي تشاكل من المنحنى الأفيني إلى تنوع جبري كامل يمتد بشكل فريد إلى الإكمال المنتظم.

إذا كانت X منوعًا جبريًا منفصلًا ، تنص نظرية ناجاتا ^{[ 2 ]} على أنه يمكن تضمين X كمجموعة جزئية مفتوحة من منوع جبري كامل. وإذا كانت X أيضًا ملساء وكان حقل الأساس ذا خاصية صفر، فبموجب نظرية هيروناكا، يمكن تضمين X كمجموعة جزئية مفتوحة من منوع جبري أملس كامل، مع كون حدوده قاسمًا طبيعيًا للتقاطع. وإذا كانت X شبه إسقاطية، فيمكن اختيار الإكمال الأملس ليكون إسقاطيًا.

ومع ذلك، على عكس الحالة أحادية البعد، لا يوجد تفرد في الإكمال السلس، كما أنه ليس معيارياً.

• منحنى إهليلجي زائد
• سطح بولزا

• غريفيث، فيليب أ. ( 1972). "نظرية الدوال ذات الرتبة المحدودة على المتنوعات الجبرية. الجزء الأول (أ)". مجلة الهندسة التفاضلية . 6 (3): 285-306 . MR 0325999. Zbl 0269.14003 .  
• هارتشورن، روبن (1977). الهندسة الجبرية . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد  52. نيويورك، هايدلبرغ: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 0387902449.(انظر الفصل 4).