المجموعة الأساسية

بالنظر إلى فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$، حلقة قائمة على${\displaystyle x_{0}}$تُعرَّف بأنها دالة متصلة (تُعرف أيضًا باسم الخريطة المتصلة).

${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to X}$

بحيث تكون نقطة البداية${\displaystyle \gamma (0)}$ونقطة النهاية${\displaystyle \gamma (1)}$كلاهما متساويان${\displaystyle x_{0}}$.

التماثل هو استيفاء متصل بين حلقتين. بتعبير أدق، هو تماثل بين حلقتين${\displaystyle \gamma ,\gamma '\colon [0,1]\to X}$(انطلاقاً من نفس النقطة)${\displaystyle x_{0}}$) عبارة عن خريطة متصلة $${\displaystyle h\colon [0,1]\times [0,1]\to X,}$$ بحيث

• ${\displaystyle h(0,t)=x_{0}}$للجميع${\displaystyle t\in [0,1]}$أي أن نقطة بداية التماثل هي${\displaystyle x_{0}}$للجميع${\displaystyle t}$(والتي غالباً ما يُنظر إليها على أنها معيار زمني).
• ${\displaystyle h(1,t)=x_{0}}$للجميع${\displaystyle t\in [0,1]}$أي أن نقطة النهاية تبقى عند${\displaystyle x_{0}}$للجميع${\displaystyle t}$.
• ${\displaystyle h(r,0)=\gamma (r)}$،${\displaystyle h(r,1)=\gamma '(r)}$للجميع${\displaystyle r\in [0,1]}$.

إذا كان هذا التماثل${\displaystyle h}$موجود،${\displaystyle \gamma }$و${\displaystyle \gamma '}$يقال إنها متماثلة . العلاقة "${\displaystyle \gamma }$متماثل مع${\displaystyle \gamma '}$"هي علاقة تكافؤ بحيث يمكن اعتبار مجموعة فئات التكافؤ: $${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0}):=\{{\text{all loops }}\gamma {\text{ based at }}x_{0}\}/{\text{homotopy}}.}$$ تُسمى هذه المجموعة (ذات بنية المجموعة الموضحة أدناه) المجموعة الأساسية للفضاء الطوبولوجي${\displaystyle X}$عند نقطة الأساس${\displaystyle x_{0}}$يكمن الغرض من دراسة فئات التكافؤ للحلقات حتى التماثل، بدلاً من مجموعة جميع الحلقات (ما يسمى بفضاء الحلقات ) .${\displaystyle X}$يكمن الفرق في أن الأخير، رغم فائدته لأغراض متنوعة، يُعدّ كائنًا كبيرًا ومعقدًا نوعًا ما. في المقابل، فإن الناتج المذكور أعلاه ، في كثير من الحالات، أسهل في التعامل والحساب.

بحسب التعريف المذكور أعلاه،${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$هي مجرد مجموعة. تصبح زمرة (وبالتالي تستحق اسم الزمرة الأساسية ) باستخدام ربط الحلقات. بتعبير أدق، بالنظر إلى حلقتين${\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1}}$، ويُعرَّف ناتجهما بأنه الحلقة

${\displaystyle \gamma _{0}\cdot \gamma _{1}\colon [0,1]\to X}$

${\displaystyle (\gamma _{0}\cdot \gamma _{1})(t)={\begin{cases}\gamma _{0}(2t)&0\leq t\leq {\tfrac {1}{2}}\\\gamma _{1}(2t-1)&{\tfrac {1}{2}}\leq t\leq 1.\end{cases}}}$

وهكذا الحلقة${\displaystyle \gamma _{0}\cdot \gamma _{1}}$يتبع الحلقة أولاً${\displaystyle \gamma _{0}}$بسرعة "ضعف السرعة" ثم يتبع ذلك${\displaystyle \gamma _{1}}$بسرعة "ضعف السرعة".

ناتج فئتين من حلقات التماثل${\displaystyle [\gamma _{0}]}$و${\displaystyle [\gamma _{1}]}$ثم يُعرَّف على النحو التالي:${\displaystyle [\gamma _{0}\cdot \gamma _{1}]}$يمكن إثبات أن هذا المنتج لا يعتمد على اختيار الممثلين، وبالتالي فهو يعطي عملية محددة جيدًا على المجموعة.${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$. هذه العملية تحول${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$في مجموعة. عنصرها المحايد هو فئة التكافؤ (التماثل) للحلقة الثابتة، والتي تبقى عند${\displaystyle x_{0}}$لكل الأوقات${\displaystyle t}$(أي أن هذه الفئة تتكون من جميع الحلقات التي يمكن تشويهها باستمرار إلى حلقة ثابتة؛ وبتعبير أدق، جميع الحلقات التي لا "تلتف حول ثقب"). معكوس الحلقة (فئة التماثل للحلقة) هو نفس الحلقة، ولكن يتم اجتيازها في الاتجاه المعاكس (وهو في فئة تماثل مختلفة). بتعبير أدق،

${\displaystyle \gamma ^{-1}(t):=\gamma (1-t).}$

بافتراض وجود ثلاث حلقات أساسية${\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},}$المنتج

${\displaystyle (\gamma _{0}\cdot \gamma _{1})\cdot \gamma _{2}}$

هي عبارة عن سلسلة من هذه الحلقات، تجتاز${\displaystyle \gamma _{0}}$وثم${\displaystyle \gamma _{1}}$بسرعة أربعة أضعاف، ثم${\displaystyle \gamma _{2}}$بسرعة مضاعفة. بالمقارنة،

${\displaystyle \gamma _{0}\cdot (\gamma _{1}\cdot \gamma _{2})}$

يسلك المسارات نفسها (بالترتيب نفسه)، لكن${\displaystyle \gamma _{0}}$بسرعة مضاعفة، و${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}}$بسرعة أربعة أضعاف. وبالتالي، وبسبب اختلاف السرعات، فإن المسارين ليسا متطابقين. بديهية التجميع

${\displaystyle [\gamma _{0}]\cdot \left([\gamma _{1}]\cdot [\gamma _{2}]\right)=\left([\gamma _{0}]\cdot [\gamma _{1}]\right)\cdot [\gamma _{2}]}$

لذا، يعتمد الأمر بشكل حاسم على حقيقة أن المسارات تُؤخذ في الاعتبار حتى التماثل. في الواقع، كلا المركبين المذكورين أعلاه متماثلان، على سبيل المثال، مع الحلقة التي تعبر الحلقات الثلاث جميعها.${\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2}}$بسرعة ثلاثية. وبالتالي، فإن مجموعة الحلقات الأساسية حتى التماثل، والمجهزة بالعملية المذكورة أعلاه، تتحول${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$في مجموعة.

على الرغم من أن المجموعة الأساسية تعتمد بشكل عام على اختيار نقطة الأساس، إلا أنه يتضح أنه، حتى التشاكل ، لا يُحدث هذا الاختيار أي فرق طالما أن الفضاء${\displaystyle X}$هي متصلة مساريًا : بتعبير أدق، نحصل على تماثل من خلال الربط المسبق واللاحق بمسار بين نقطتي الأساس. هذا التماثل، بشكل عام، ليس فريدًا: فهو يعتمد على اختيار المسار حتى التماثل. ومع ذلك، فإن تغيير المسار يؤدي إلى تغيير التماثل بين المجموعتين الأساسيتين فقط عن طريق التركيب مع تماثل داخلي . لذلك، من المعتاد كتابة${\displaystyle \pi _{1}(X)}$بدلاً من${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$عندما لا يكون لاختيار نقطة الأساس أهمية.

يُطلق على الفضاء المتصل مسارياً والذي تكون مجموعته الأساسية تافهة اسم الفضاء المتصل ببساطة . على سبيل المثال، الكرة ثنائية الأبعاد${\displaystyle S^{2}=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}}$الشكل الموضح على اليمين، وكذلك جميع الكرات ذات الأبعاد الأعلى ، متصلة اتصالاً بسيطاً. يوضح الشكل عملية تماثلية تُختزل حلقة معينة إلى الحلقة الثابتة. يمكن تطبيق هذه الفكرة على جميع الحلقات.${\displaystyle \gamma }$بحيث تكون هناك نقطة${\displaystyle (x,y,z)\in S^{2}}$هذا ليس على صورة${\displaystyle \gamma .}$لكن، بما أن هناك حلقات بحيث${\displaystyle \gamma ([0,1])=S^{2}}$(على سبيل المثال، تم إنشاؤها من منحنى بيانو )، يتطلب البرهان الكامل تحليلًا أكثر دقة باستخدام أدوات من الطوبولوجيا الجبرية، مثل نظرية سيفرت فان كامبن أو نظرية التقريب الخلوي .

الدائرة ( المعروفة أيضًا باسم الكرة أحادية البعد)

${\displaystyle S^{1}=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}$

لا ترتبط ببساطة. بدلاً من ذلك، تتكون كل فئة تماثل من جميع الحلقات التي تلتف حول الدائرة عددًا معينًا من المرات (والذي يمكن أن يكون موجبًا أو سالبًا، اعتمادًا على اتجاه الالتفاف). ناتج حلقة تلتف حول${\displaystyle m}$مرات وأخرى تلتف حول${\displaystyle n}$الزمن عبارة عن حلقة تلتف حول${\displaystyle m+n}$مرات. لذلك، فإن المجموعة الأساسية للدائرة متماثلة مع${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+),}$المجموعة الجمعية للأعداد الصحيحة . يمكن استخدام هذه الحقيقة لتقديم براهين لنظرية النقطة الثابتة لبروير ^{[ 2 ]} ونظرية بورزوك-أولام في البعد 2. ^{[ 3 ]}

المجموعة الأساسية للشكل ثمانية هي المجموعة الحرة المكونة من حرفين. وتتلخص فكرة إثبات ذلك فيما يلي: باختيار نقطة الأساس لتكون نقطة التقاء الدائرتين (الموضحة بنقطة سوداء في الصورة على اليمين)، أي حلقة${\displaystyle \gamma }$يمكن تحليلها إلى $${\displaystyle \gamma =a^{n_{1}}b^{m_{1}}\cdots a^{n_{k}}b^{m_{k}}}$$ حيث يمثل a و b الحلقتين اللتين تلتفان حول كل نصف من الشكل كما هو موضح، والأسس${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{k},m_{1},\dots ,m_{k}}$هي أعداد صحيحة. على عكس${\displaystyle \pi _{1}(S^{1})}$، المجموعة الأساسية للشكل ثمانية ليست تبديلية : الطريقتان لتكوينها${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$ليست متماثلة مع بعضها البعض: $${\displaystyle [a]\cdot [b]\neq [b]\cdot [a]}$$

وبشكل أعم، فإن المجموعة الأساسية لباقة من${\displaystyle r}$الدوائر هي المجموعة المجانية على${\displaystyle r}$حروف.

المجموعة الأساسية لمجموع إسفيني لفضائين متصلين بمسار${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$يمكن حسابها كحاصل ضرب حر للمجموعات الأساسية الفردية: $${\displaystyle \pi _{1}(X\vee Y)\cong \pi _{1}(X)*\pi _{1}(Y)}$$ وهذا يعمم الملاحظات المذكورة أعلاه لأن الشكل ثمانية هو مجموع قطاعي لدائرتين.

المجموعة الأساسية للمستوى المثقوب عند${\displaystyle n}$النقاط هي أيضاً المجموعة المجانية مع${\displaystyle n}$المولدات.${\displaystyle i}$المولد رقم - هو فئة الحلقة التي تدور حول${\displaystyle i}$ثقب رقم - دون المرور حول أي ثقوب أخرى.

يمكن تعريف المجموعة الأساسية للهياكل المنفصلة أيضًا. على وجه الخصوص، لنأخذ في الاعتبار الرسم البياني المتصل${\displaystyle G=(V,E)}$، مع رأس محدد${\displaystyle v_{0}}$في${\displaystyle V}$الحلقات في${\displaystyle G}$هي الدورات التي تبدأ وتنتهي عند${\displaystyle v_{0}}$[ ^{4 ]} ليكن^​${\displaystyle T}$كن شجرة ممتدة من${\displaystyle G}$كل حلقة بسيطة في${\displaystyle G}$يحتوي على حافة واحدة فقط في${\displaystyle E\setminus T}$; كل حلقة في${\displaystyle G}$هي عبارة عن سلسلة من هذه الحلقات البسيطة. لذلك، فإن المجموعة الأساسية للرسم البياني هي مجموعة حرة ، حيث يكون عدد المولدات فيها مساويًا تمامًا لعدد الحواف في${\displaystyle E\setminus T}$هذا الرقم يساوي${\displaystyle |E|-|V|+1}$[ ^{5 ]​}

على سبيل المثال، لنفترض${\displaystyle G}$يحتوي على 16 رأسًا مرتبة في 4 صفوف، كل صف يحتوي على 4 رؤوس، مع وجود حواف تربط الرؤوس المتجاورة أفقيًا أو رأسيًا.${\displaystyle G}$تحتوي على 24 حافة إجمالاً، وعدد الحواف في كل شجرة ممتدة هو 16 - 1 = 15 ، لذا فإن المجموعة الأساسية لـ${\displaystyle G}$هي المجموعة الحرة ذات 9 مولدات. ^{[ 6 ]} لاحظ أن${\displaystyle G}$يحتوي على 9 "ثقوب"، على غرار باقة من 9 دوائر، والتي لها نفس المجموعة الأساسية.

تُعرَّف مجموعات العقد بأنها المجموعة الأساسية لمكمل العقدة${\displaystyle K}$مضمنة في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$على سبيل المثال، من المعروف أن مجموعة العقد في عقدة البرسيم الثلاثي هي مجموعة الجدائل .${\displaystyle B_{3}}$وهذا يُعطي مثالاً آخر على الزمرة الأساسية غير التبديلية. يُقدّم عرض ويرتينجر وصفًا صريحًا لزمر العقد من حيث المولدات والعلاقات بناءً على مخطط العقدة. لذلك، تُستخدم زمر العقد في نظرية العقد للتمييز بين العقد: إذا${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {R} ^{3}\setminus K)}$لا يكون متماثلاً مع مجموعة عقد أخرى${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {R} ^{3}\setminus K')}$من عقدة أخرى${\displaystyle K'}$، ثم${\displaystyle K}$لا يمكن تحويلها إلى${\displaystyle K'}$وبالتالي، لا يمكن تحويل عقدة البرسيم الثلاثية بشكل مستمر إلى دائرة (المعروفة أيضًا باسم العقدة غير المكتملة )، لأن الأخيرة لها مجموعة عقد.${\displaystyle \mathbb {Z} }$ومع ذلك، هناك عقد لا يمكن تشويهها لتصبح بعضها البعض، ولكن لها مجموعات عقد متماثلة.

يمكن حساب المجموعة الأساسية لسطح قابل للتوجيه من النوع n بدلالة المولدات والعلاقات كما يلي: $${\displaystyle \left\langle A_{1},B_{1},\ldots ,A_{n},B_{n}\left|A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}\right.\right\rangle .}$$

يشمل ذلك الطارة ، كما هو الحال في الجنس 1، الذي مجموعته الأساسية هي $${\displaystyle \left\langle A_{1},B_{1}\left|A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}\right.\right\rangle \cong \mathbb {Z} ^{2}.}$$

المجموعة الأساسية لمجموعة طوبولوجية${\displaystyle X}$(بالنسبة إلى النقطة الأساسية التي تمثل العنصر المحايد) تكون دائمًا تبديلية. على وجه الخصوص، فإن المجموعة الأساسية لمجموعة لي تبديلية. في الواقع، بنية المجموعة على${\displaystyle X}$يمنح${\displaystyle \pi _{1}(X)}$مع بنية مجموعة أخرى: بالنظر إلى حلقتين${\displaystyle \gamma }$و${\displaystyle \gamma '}$في${\displaystyle X}$حلقة أخرى${\displaystyle \gamma \star \gamma '}$يمكن تعريفها باستخدام ضرب المجموعات في${\displaystyle X}$:

${\displaystyle (\gamma \star \gamma ')(x)=\gamma (x)\cdot \gamma '(x).}$

هذه العملية الثنائية${\displaystyle \star }$إن مجموعة جميع الحلقات مستقلة مسبقًا عن تلك الموصوفة أعلاه. ومع ذلك، تُظهر حجة إيكمان-هيلتون أنها تتفق بالفعل مع تسلسل الحلقات المذكور أعلاه، وعلاوة على ذلك، فإن بنية المجموعة الناتجة تبديلية. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

يُظهر فحص الأدلة، بشكل عام،${\displaystyle \pi _{1}(X)}$هو تبديلي لأي فضاء H${\displaystyle X}$أي أن عملية الضرب لا يشترط أن يكون لها معكوس، ولا يشترط أن تكون تجميعية. على سبيل المثال، يُظهر هذا أن المجموعة الأساسية لفضاء حلقي لفضاء طوبولوجي آخر${\displaystyle Y}$،${\displaystyle X=\Omega (Y),}$هي أبيلية. أدت الأفكار ذات الصلة إلى حساب هاينز هوبف لعلم التماثل لمجموعة لي .

يمكن تحديد عملية التبديل للمجموعة الأساسية مع مجموعة التماثل الأولى للفضاء.

تنص حالة خاصة من نظرية هوريفيتش على أن مجموعة التماثل المفردة الأولى${\displaystyle H_{1}(X)}$هي، بعبارة أخرى، أقرب تقريب للمجموعة الأساسية باستخدام مجموعة أبيلية. بتفصيل أكثر، فإن ربط فئة التماثل لكل حلقة بفئة التماثل للحلقة يعطي تماثلًا للمجموعة

${\displaystyle \pi _{1}(X)\to H_{1}(X)}$

من المجموعة الأساسية للفضاء الطوبولوجي${\displaystyle X}$إلى أول مجموعة تماثل فريدة لها${\displaystyle H_{1}(X).}$هذا التشاكل ليس تماثلاً بشكل عام، لأن المجموعة الأساسية قد تكون غير تبديلية، لكن مجموعة التماثل، بحكم تعريفها، تبديلية دائمًا. ومع ذلك، هذا هو الاختلاف الوحيد: إذا${\displaystyle X}$إذا كانت هذه المجموعة متصلة مسارياً، فإن هذا التشاكل شامل ، ونواته هي المجموعة الفرعية التبادلية للمجموعة الأساسية، بحيث${\displaystyle H_{1}(X)}$^{[ 9 ]} متماثل مع عملية التبديل للمجموعة الأساسية.

بتعميم العبارة أعلاه، بالنسبة لمجموعة من المساحات المتصلة بالمسارات${\displaystyle X_{i},}$المجموعة الأساسية${\textstyle \pi _{1}\left(\bigvee _{i\in I}X_{i}\right)}$هو الناتج الحر للمجموعات الأساسية لـ${\displaystyle X_{i}.}$^{[ 10 ]} هذه الحقيقة هي حالة خاصة مننظرية سيفرت-فان كامبن، التي تسمح بحساب، بشكل أعم، المجموعات الأساسية للفضاءات الملتصقة ببعضها من فضاءات أخرى. على سبيل المثال، الكرة ثنائية الأبعاد.${\displaystyle S^{2}}$يمكن الحصول على ذلك عن طريق لصق نسختين من نصفي كرة متداخلتين قليلاً على طول جوار خط الاستواء . في هذه الحالة، تُعطي النظرية ما يلي:${\displaystyle \pi _{1}(S^{2})}$هذا بديهي، لأن نصفي الكرة قابلان للانكماش، وبالتالي فإن مجموعتهما الأساسية بديهية. ويمكن أيضاً حساب المجموعات الأساسية للأسطح، كما ذُكر سابقاً، باستخدام هذه النظرية.

في مصطلحات نظرية الفئات، يمكن صياغة النظرية بإيجاز بالقول إن دالة المجموعة الأساسية تأخذ عمليات الدفع (في فئة الفضاءات الطوبولوجية) على طول عمليات التضمين إلى عمليات الدفع (في فئة المجموعات). ^{[ 11 ]}

بالنظر إلى فضاء طوبولوجي${\displaystyle B}$خريطة متصلة

${\displaystyle f:E\to B}$

يُطلق عليه غطاء أو${\displaystyle E}$يُطلق عليه اسم مساحة التغطية لـ${\displaystyle B}$إذا كانت كل نقطة${\displaystyle b}$في${\displaystyle B}$يُقرّ بحي مفتوح${\displaystyle U}$بحيث يكون هناك تماثل شكلي بين الصورة الأصلية لـ${\displaystyle U}$واتحاد منفصل لنسخ من${\displaystyle U}$(مفهرسة بواسطة مجموعة ما)${\displaystyle I}$)

${\displaystyle \varphi$ :\bigsqcup _{i\in I}U\to f^{-1}(U)}

بطريقة تجعل${\displaystyle f\circ \varphi }$هي خريطة الإسقاط القياسية${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}U\to U.}$^{[ 12 ]}

تُوفّر التليفات وسيلةً فعّالةً للغاية لحساب مجموعات التماثل. التليف${\displaystyle f}$ما يسمى بالفضاء الكلي ، والفضاء الأساسي${\displaystyle B}$يتميز، على وجه الخصوص، بخاصية أن جميع أليافه${\displaystyle f^{-1}(b)}$متكافئة من حيث التماثل، وبالتالي لا يمكن تمييزها باستخدام المجموعات الأساسية (ومجموعات التماثل الأعلى)، شريطة أن${\displaystyle B}$متصلة بالمسار. ^{[ 16 ]} لذلك، فإن الفضاء${\displaystyle E}$يمكن اعتبارها " منتجًا ملتويًا " للمساحة الأساسية${\displaystyle B}$والألياف​${\displaystyle F=f^{-1}(b).}$تنبع الأهمية الكبيرة للتليفات في حساب مجموعات التماثل من سلسلة دقيقة طويلة

${\displaystyle \dots \to \pi _{2}(B)\to \pi _{1}(F)\to \pi _{1}(E)\to \pi _{1}(B)\to \pi _{0}(F)\to \pi _{0}(E)}$

بشرط أن${\displaystyle B}$متصل بالمسار. ^{[ 17 ]} المصطلح${\displaystyle \pi _{2}(B)}$هي المجموعة المتجانسة الثانية لـ${\displaystyle B}$، والتي تُعرَّف بأنها مجموعة فئات التماثل للتطبيقات من${\displaystyle S^{2}}$ل${\displaystyle B}$، قياساً مباشراً على تعريف${\displaystyle \pi _{1}.}$

لو${\displaystyle E}$إذا كان هذا التسلسل متصلاً مسارياً ومتصلاً ببساطة، فإنه يختزل إلى تماثل.

${\displaystyle \pi _{1}(B)\cong \pi _{0}(F)}$

وهذا يعمم الحقيقة المذكورة أعلاه بشأن التغطية الشاملة (والتي تصل إلى الحالة التي تكون فيها الألياف${\displaystyle F}$(وهي منفصلة أيضًا). إذا كان بدلاً من ذلك${\displaystyle F}$إذا كان متصلاً، ومتصلاً ببساطة، فإنه يختزل إلى تماثل.

${\displaystyle \pi _{1}(E)\cong \pi _{1}(B).}$

علاوة على ذلك، يمكن مواصلة التسلسل على اليسار باستخدام مجموعات التماثل الأعلى${\displaystyle \pi _{n}}$من بين المساحات الثلاث، مما يتيح بعض الوصول إلى حساب مثل هذه المجموعات بنفس الطريقة.

مجموعات لي الكلاسيكية

يمكن استخدام متواليات الألياف هذه لحساب المجموعات الأساسية لمجموعات لي الكلاسيكية المدمجة استقرائيًا ، مثل المجموعة الوحدوية الخاصة.${\displaystyle \mathrm {SU} (n),}$مع${\displaystyle n\geq 2.}$تؤثر هذه المجموعة بشكل متعدٍ على كرة الوحدة${\displaystyle S^{2n-1}}$داخل${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{2n}.}$يكون المثبت لنقطة في الكرة متماثلاً مع${\displaystyle \mathrm {SU} (n-1).}$ويمكن بعد ذلك إثبات ^{[ 18 ]} أن هذا ينتج عنه تسلسل ألياف

${\displaystyle \mathrm {SU} (n-1)\to \mathrm {SU} (n)\to S^{2n-1}.}$

منذ${\displaystyle n\geq 2,}$الكرة${\displaystyle S^{2n-1}}$له بُعد لا يقل عن 3، مما يعني

${\displaystyle \pi _{1}(S^{2n-1})\cong \pi _{2}(S^{2n-1})=1.}$

ثم يُظهر التسلسل التام الطويل تماثلًا

${\displaystyle \pi _{1}(\mathrm {SU} (n))\cong \pi _{1}(\mathrm {SU} (n-1)).}$

منذ${\displaystyle \mathrm {SU} (1)}$هي نقطة واحدة، بحيث${\displaystyle \pi _{1}(\mathrm {SU} (1))}$إذا كان الأمر تافهاً، فهذا يدل على أن${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$متصل ببساطة للجميع${\displaystyle n.}$

يمكن اختزال المجموعة الأساسية لزمر لي غير المتراصة إلى الحالة المتراصة، لأن هذه المجموعة متماثلة مع مجموعتها الفرعية المتراصة القصوى. ^{[ 19 ]} تعطي هذه الطرق النتائج التالية: ^{[ 20 ]}

مجموعة لي الكلاسيكية المدمجة G	مجموعة لي غير متراصة	${\displaystyle \pi _{1}}$
مجموعة وحدوية خاصة${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$	${\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {C} )}$	1
مجموعة موحدة${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$	${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} ),\mathrm {Sp} (n,\mathbb {R} )}$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$
مجموعة متعامدة خاصة${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$	${\displaystyle \mathrm {SO} (n,\mathbb {C} )}$	${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ل${\displaystyle n\geq 3}$و${\displaystyle \mathbb {Z} }$ل${\displaystyle n=2}$
مجموعة سيمبلكتية متراصة${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$	${\displaystyle \mathrm {Sp} (n,\mathbb {C} )}$	1

هناك طريقة ثانية لحساب الزمر الأساسية تنطبق على جميع زمر لي المدمجة المتصلة، وتستخدم آلية الطارة القصوى ونظام الجذور المرتبط بها . تحديدًا، ليكن${\displaystyle T}$ليكن طارة قصوى في زمرة لي متصلة ومتراصة${\displaystyle K,}$ودع${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$ليكن جبر لي لـ${\displaystyle T.}$الخريطة الأسية

${\displaystyle \exp$ :{\mathfrak {t}}\to T}

هو تليف، وبالتالي جوهره${\displaystyle \Gamma \subset {\mathfrak {t}}}$يتطابق مع${\displaystyle \pi _{1}(T).}$الخريطة

${\displaystyle \pi _{1}(T)\to \pi _{1}(K)}$

يمكن إثبات أنها شاملة ^{[ 21 ]} مع نواة معطاة بواسطة المجموعة${\displaystyle I}$من خلال التركيب الخطي الصحيح للجذور المترافقة . وهذا يؤدي إلى الحساب.

${\displaystyle \pi _{1}(K)\cong \Gamma /I.}$^{[ 22 ]}

تُظهر هذه الطريقة، على سبيل المثال، أن أي زمرة لي متصلة ومتراصة يكون نظام جذورها المرتبط بها من النوع${\displaystyle G_{2}}$متصلة ببساطة. ^{[ 23 ]} وبالتالي، لا يوجد (حتى التشاكل) سوى زمرة لي مدمجة متصلة واحدة لها جبر لي من النوع${\displaystyle G_{2}}$هذه المجموعة متصلة ببساطة ولها مركز تافه.

بصورة تقريبية، تكشف المجموعة الأساسية عن بنية الثقوب أحادية البعد في الفضاء، ولكنها لا تكشف عن الثقوب ذات الأبعاد الأعلى، كما هو الحال في الكرة ثنائية الأبعاد. ويمكن الكشف عن هذه "الثقوب ذات الأبعاد الأعلى" باستخدام مجموعات التماثل الأعلى.${\displaystyle \pi _{n}(X)}$والتي تُعرَّف بأنها تتكون من فئات التماثل للخرائط (التي تحافظ على نقطة الأساس) من${\displaystyle S^{n}}$ل${\displaystyle X}$على سبيل المثال، تنص نظرية هوريفيتش على أنه بالنسبة لجميع${\displaystyle n\geq 1}$ال${\displaystyle n}$مجموعة التماثل من الرتبة n للكرة n هي

${\displaystyle \pi _{n}(S^{n})=\mathbb {Z} .}$^{[ 27 ]}

كما ذُكر في الحساب أعلاه لـ${\displaystyle \pi _{1}}$بالنسبة لمجموعات لي الكلاسيكية، يمكن أن تكون مجموعات التماثل الأعلى ذات صلة حتى بحساب المجموعات الأساسية.

مجموعة الحلقات الأساسية (كما هي، أي غير مأخوذة حتى التماثل) في فضاء مُشار إليه${\displaystyle X}$يُعرف الفضاء الحلقي، الذي يتميز بطوبولوجيا مفتوحة مضغوطة ، باسم فضاء الحلقات ، ويُرمز له بـ${\displaystyle \Omega X.}$المجموعة الأساسية من${\displaystyle X}$وهي في تقابل مع مجموعة مكونات المسار لمساحة الحلقة الخاصة بها: ^{[ 28 ]}

${\displaystyle \pi _{1}(X)\cong \pi _{0}(\Omega X).}$

الزمرة الأساسية الجزئية هي شكل مختلف من الزمرة الأساسية، وهي مفيدة في الحالات التي يكون فيها اختيار نقطة الأساس أمرًا بالغ الأهمية.${\displaystyle x_{0}\in X}$غير مرغوب فيه. يتم تعريفه من خلال النظر أولاً في فئة المسارات في${\displaystyle X,}$أي الدوال المتصلة

${\displaystyle \gamma \colon [0,r]\to X}$،

أين${\displaystyle r}$هو عدد حقيقي غير سالب كيفي. بما أن الطول${\displaystyle r}$في هذا النهج، يمكن ربط هذه المسارات كما هي (أي، ليس حتى التماثل) وبالتالي تُنتج فئة. ^{[ 29 ]} مساران من هذا القبيل${\displaystyle \gamma ,\gamma '}$بنفس نقاط النهاية والطول${\displaystyle r}$، على التوالي.${\displaystyle r}$تُعتبر الأعداد متكافئة إذا وُجدت أعداد حقيقية${\displaystyle u,v\geqslant 0}$بحيث${\displaystyle r+u=r'+v}$و${\displaystyle \gamma _{u},\gamma '_{v}\colon [0,r+u]\to X}$تكون متماثلة بالنسبة لنقاط نهايتها، حيث${\displaystyle \gamma _{u}(t)={\begin{cases}\gamma (t),&t\in [0,r]\\\gamma (r),&t\in [r,r+u].\end{cases}}}$^{[ 30 ] [ 31 ]}

يُشار إلى فئة المسارات المؤدية إلى علاقة التكافؤ هذه بـ${\displaystyle \Pi (X).}$كل تشاكل في${\displaystyle \Pi (X)}$هو تماثل ، ومعكوسه هو المسار نفسه ولكن في الاتجاه المعاكس. تُسمى هذه الفئة زمرة جزئية . وهي تُعيد إنتاج الزمرة الأساسية لأن

${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})=\mathrm {Hom} _{\Pi (X)}(x_{0},x_{0})}$.

بشكل أعم، يمكن للمرء أن ينظر إلى الزمرة الأساسية على مجموعة${\displaystyle A}$من نقاط الأساس، المختارة وفقًا لهندسة الحالة؛ على سبيل المثال، في حالة الدائرة، التي يمكن تمثيلها كاتحاد مجموعتين مفتوحتين متصلتين يتقاطعان في عنصرين، يمكن اختيار نقطة أساس واحدة في كل عنصر. تسمح نظرية فان كامبن بصيغة للمجموعات الجزئية الأساسية التي تعطي، على سبيل المثال، طريقة أخرى لحساب المجموعة (أو المجموعة الجزئية) الأساسية لـ${\displaystyle S^{1}.}$^{[ 32 ]}

بشكل عام، قد تُستخدم التمثيلات لإظهار خصائص مجموعة ما من خلال تأثيراتها على كائنات رياضية أخرى، وغالبًا ما تكون فضاءات متجهة . وتتمتع تمثيلات المجموعة الأساسية بأهمية هندسية بالغة: أي نظام محلي (أي حزمة)${\displaystyle {\mathcal {F}}}$على${\displaystyle X}$مع العقار الذي يقع محلياً في حي صغير بما فيه الكفاية${\displaystyle U}$من أي نقطة على${\displaystyle X}$، تقييد${\displaystyle F}$هي حزمة ثابتة من الشكل${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}=\mathbb {Q} ^{n}}$ينتج عن ذلك ما يسمى بتمثيل المونودرومي ، وهو تمثيل للمجموعة الأساسية على${\displaystyle n}$- الأبعاد${\displaystyle \mathbb {Q} }$فضاء متجهي. وعلى العكس من ذلك ، أي تمثيل من هذا القبيل على فضاء متصل مساريًا${\displaystyle X}$ينشأ هذا على هذا النحو. ^{[ 33 ]} هذا التكافؤ بين الفئات بين تمثيلات${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ويتم استخدام الأنظمة المحلية، على سبيل المثال، في دراسة المعادلات التفاضلية ، مثل معادلات Knizhnik–Zamolodchikov .

في الهندسة الجبرية ، تُستخدم ما يُسمى بالمجموعة الأساسية الإيتالية كبديل للمجموعة الأساسية. ^{[ 34 ]} منذ أن أصبحت طوبولوجيا زاريسكي على صنف جبري أو مخطط${\displaystyle X}$وهي أكثر خشونة بكثير من، على سبيل المثال، طوبولوجيا المجموعات الفرعية المفتوحة في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$لم يعد من المجدي النظر في الخرائط المتصلة من فترة إلى${\displaystyle X}$بدلاً من ذلك، يتمثل النهج الذي طوره غروتينديك في بناء${\displaystyle \pi _{1}^{\text{et}}}$من خلال النظر في جميع الأغطية الإيتالية المحدودة لـ${\displaystyle X}$. هذه بمثابة نظير جبري هندسي للأغطية ذات الألياف المحدودة.

ينتج عن ذلك نظرية قابلة للتطبيق في الحالات التي لا يتوفر فيها حدس طوبولوجي كلاسيكي عام على الإطلاق، على سبيل المثال بالنسبة للأصناف المعرفة على حقل منتهٍ . كذلك، فإن المجموعة الأساسية الإيتالية للحقل هي مجموعة غالوا ( المطلقة ) الخاصة به . من ناحية أخرى، بالنسبة للأصناف الملساء${\displaystyle X}$فيما يتعلق بالأعداد المركبة، تحتفظ المجموعة الأساسية الإيتالية بالكثير من المعلومات الكامنة في المجموعة الأساسية الكلاسيكية: فالأولى هي الإكمال النهائي للثانية. ^{[ 35 ]}

تُعرَّف المجموعة الأساسية لنظام جذري قياسًا على حساب مجموعات لي. ^{[ 36 ]} وهذا يسمح بتعريف واستخدام المجموعة الأساسية لمجموعة جبرية خطية شبه بسيطة${\displaystyle G}$، وهي أداة أساسية مفيدة في تصنيف المجموعات الجبرية الخطية. ^{[ 37 ]}

علاقة التماثل بين العناصر البسيطة من الدرجة 1 لمجموعة بسيطة${\displaystyle X}$تكون علاقة تكافؤ إذا${\displaystyle X}$هو مركب كان، ولكن ليس بالضرورة بشكل عام. ^{[ 38 ]} وبالتالي،${\displaystyle \pi _{1}}$يمكن تعريف المجموعة الأساسية لمركب كان بأنها مجموعة فئات التماثل للمُبسطات من الرتبة 1.${\displaystyle X}$تُعرَّف بأنها مجموعة التماثل لتجسيدها الطوبولوجي ،${\displaystyle |X|,}$أي الفضاء الطوبولوجي الناتج عن لصق المجسمات الطوبولوجية وفقًا لما تنص عليه بنية المجموعة المجسمة لـ${\displaystyle X}$[ ^{39 ]​}