منحنى إهليلجي زائد

في الهندسة الجبرية ، يُعرف المنحنى الزائدي بأنه منحنى جبري من النوع g > 1، ويُعطى بمعادلة على الصورة التالية: $${\displaystyle y^{2}+h(x)y=f(x)}$$ حيث f ( x ) هي متعددة حدود من الدرجة n = 2 g + 1 > 4 أو n = 2 g + 2 > 4 مع n جذور مميزة، و h ( x ) هي متعددة حدود من الدرجة < g + 2 (إذا لم تكن خاصية الحقل الأساسي 2، فيمكن للمرء أن يأخذ h ( x ) = 0).

الدالة فوق الإهليلجية هي عنصر من حقل الدالة لمثل هذا المنحنى، أو من تنوع جاكوبيان على المنحنى؛ هذان المفهومان متطابقان بالنسبة للدوال الإهليلجية ، ولكنهما مختلفان بالنسبة للدوال فوق الإهليلجية.

تحدد درجة كثيرة الحدود جنس المنحنى: فكثيرة حدود من الدرجة 2g + 1 أو 2g + 2 تعطي منحنى من الجنس g . عندما تكون الدرجة مساوية لـ 2g + 1، يُسمى المنحنى منحنى زائد إهليلجي تخيلي . في حين أن المنحنى من الدرجة 2g + 2 يُسمى منحنى زائد إهليلجي حقيقي . تبقى هذه العبارة المتعلقة بالجنس صحيحة عندما تكون g = 0 أو 1، لكن هاتين الحالتين الخاصتين لا تُسميان "زائد إهليلجي". في حالة g = 1 (إذا تم اختيار نقطة مميزة)، يُسمى هذا المنحنى منحنى إهليلجي .

على الرغم من أن هذا النموذج هو أبسط طريقة لوصف المنحنيات الإهليلجية الفائقة، إلا أن هذه المعادلة ستحتوي على نقطة شاذة عند اللانهاية في المستوى الإسقاطي . هذه الخاصية خاصة بالحالة n > 3. لذلك، عند إعطاء مثل هذه المعادلة لتحديد منحنى غير شاذ، يُفترض دائمًا تقريبًا أن المقصود هو نموذج غير شاذ (يُسمى أيضًا إكمالًا سلسًا )، وهو مكافئ من حيث الهندسة الثنائية النسبية .

بتعبير أدق، تُعرّف المعادلة امتدادًا تربيعيًا لـ C ( x )، وهذا هو حقل الدوال المقصود. يمكن إزالة النقطة الشاذة عند اللانهاية (لأنها منحنى) بعملية التطبيع ( الإغلاق التكاملي ). يتضح أنه بعد القيام بذلك، يوجد غطاء مفتوح للمنحنى بواسطة مخططين أفينيين: أحدهما مُعطى سابقًا بواسطة $${\displaystyle y^{2}=f(x)}$$ وواحدة أخرى قدمها $${\displaystyle w^{2}=v^{2g+2}f(1/v).}$$

يتم تحديد خرائط الربط بين المخططين بواسطة $${\displaystyle (x,y)\mapsto (1/x,y/x^{g+1})}$$ و $${\displaystyle (v,w)\mapsto (1/v,w/v^{g+1}),}$$ أينما تم تعريفها.

في الواقع، يُفترض استخدام اختصار هندسي، حيث يُعرَّف المنحنى C على أنه غطاء مزدوج متفرع للخط الإسقاطي ، ويحدث التفرع عند جذور الدالة f ، وكذلك عند النقطة اللانهائية في حالة n الفردية. وبهذه الطريقة، يمكن توحيد الحالتين n = 2g + 1 و 2g + 2، إذ يُمكننا استخدام تشاكل ذاتي للمستوى الإسقاطي لتحريك أي نقطة تفرع بعيدًا عن اللانهاية.

باستخدام صيغة ريمان-هرويتز ، يُعرَّف المنحنى الزائدي ذو الجنس g بمعادلة من الدرجة n = 2g + 2. لنفترض أن f  : X → P1 ^غطاء متفرع من درجة التفرع 2 ، حيث X منحنى ذو جنس g و ^P1 كرة ريمان . ولتكن g1 = g و g0 جنس P1 ⁽ _{حيث g0} = 0)، فإن صيغة ريمان-هرويتز تصبح كما يلي:

${\displaystyle 2-2g_{1}=2(2-2g_{0})-\sum _{s\in X}(e_{s}-1)}$

حيث s تمثل جميع النقاط المتفرعة على X. عدد النقاط المتفرعة هو n ، وعند كل نقطة متفرعة s يكون e _s = 2، لذا تصبح الصيغة

${\displaystyle 2-2\times g=2(2-2\times 0)-n\times (2-1)}$

إذن n = 2 g + 2.

جميع المنحنيات من الرتبة 2 هي منحنيات زائدية إهليلجية، ولكن بالنسبة للرتب ≥ 3، فإن المنحنى العام ليس زائديًا إهليلجيًا. ويمكن ملاحظة ذلك بشكل استدلالي من خلال فحص بُعد فضاء المعاملات . بحساب الثوابت، حيث n = 2g + 2، فإن مجموعة n نقطة الخاضعة لتأثير التشاكلات الذاتية للخط الإسقاطي لها ( 2g + 2) − 3 درجات حرية، وهو أقل من 3g − 3 ، وهو عدد معاملات منحنى من الرتبة g ، إلا إذا كانت g تساوي 2. هناك معلومات أكثر بكثير حول الموضع الزائدي الإهليلجي في فضاء معاملات المنحنيات أو الأصناف الأبيلية ، على الرغم من صعوبة إظهار منحنيات عامة غير زائدية إهليلجية باستخدام نماذج بسيطة. ^{[ 1 ]} إحدى طرق التوصيف الهندسي للمنحنيات الزائدة الإهليلجية هي عبر نقاط فايرشتراس . تُقرأ الهندسة الأكثر تفصيلاً للمنحنيات غير الإهليلجية الفائقة من نظرية المنحنيات القانونية ، حيث يكون التعيين القانوني 2 إلى 1 على المنحنيات الإهليلجية الفائقة ولكنه 1 إلى 1 فيما عدا ذلك لـ g > 2. المنحنيات المثلثية هي تلك التي تتوافق مع أخذ الجذر التكعيبي، بدلاً من الجذر التربيعي، لكثير الحدود.

إن تعريف حقل الدالة الكسرية بواسطة الامتدادات التربيعية يعمل مع الحقول بشكل عام باستثناء الخاصية 2؛ في جميع الحالات يكون التعريف الهندسي كغطاء مزدوج متفرع للخط الإسقاطي متاحًا، إذا افترضنا أن الامتداد قابل للفصل.

يمكن استخدام المنحنيات الإهليلجية الفائقة في تشفير المنحنيات الإهليلجية الفائقة لأنظمة التشفير القائمة على مشكلة اللوغاريتم المنفصل .

تظهر المنحنيات الإهليلجية الفائقة أيضًا وهي تشكل مكونات متصلة كاملة لطبقات معينة من فضاء المعاملات للتفاضلات الأبيلية. ^{[ 2 ]}

تم استخدام خاصية القطع الناقص الزائد لمنحنيات الجنس 2 لإثبات فرضية غروموف حول مساحة التعبئة في حالة التعبئة من الجنس = 1.

نُشرت الدوال المفرطة الإهليلجية لأول مرة بواسطة أدولف جوبل (1812-1847) في ورقته الأخيرة Abelsche Transcendenten erster Ordnung (المتجاوزون الأبيليون من الدرجة الأولى) (في Journal für die reine und angewandte Mathematik ، المجلد 35، 1847). عمل يوهان ج. روزنهاين بشكل مستقل في هذا الشأن ونشر Umkehrungen Ultraelliptischer Integrale erster Gattung (في مذكرات العلماء وما إلى ذلك، المجلد 11، 1851).

• سطح بولزا
• منحنى فوق الإهليلجي

• "المنحنى الإهليلجي الفائق" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]
• دليل المستخدم للحساب المحلي للمنحنيات الإهليلجية الزائدة