التنوع الإسقاطي

ليكن k حقلاً مغلقاً جبرياً. أساس تعريف المتنوعات الإسقاطية هو الفضاء الإسقاطي${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$والتي يمكن تعريفها بطرق مختلفة، ولكنها متكافئة:

• باعتبارها مجموعة جميع الخطوط المارة بنقطة الأصل في${\displaystyle k^{n+1}}$(أي جميع الفضاءات الفرعية المتجهة أحادية البعد من${\displaystyle k^{n+1}}$)
• كمجموعة من الصفوف${\displaystyle (x_{0},\dots ,x_{n})\in k^{n+1}}$، مع${\displaystyle x_{0},\dots ,x_{n}}$ليست جميعها أصفارًا، بتردد علاقة التكافؤ$${\displaystyle (x_{0},\dots ,x_{n})\sim \lambda (x_{0},\dots ,x_{n})}$$لأي${\displaystyle \lambda \in k\setminus \{0\}}$يُرمز إلى فئة التكافؤ لمثل هذه المجموعة بالرمز .$${\displaystyle [x_{0}:\dots :x_{n}].}$$تُعدّ فئة التكافؤ هذه النقطة العامة للفضاء الإسقاطي. الأرقام${\displaystyle x_{0},\dots ,x_{n}}$ويُشار إليها باسم الإحداثيات المتجانسة للنقطة.

التنوع الإسقاطي هو، بحكم التعريف، تنوع فرعي مغلق من${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$حيث تشير كلمة "مغلق" إلى طوبولوجيا زاريسكي . ^{[ 2 ]} بشكل عام، تُعرَّف المجموعات الفرعية المغلقة في طوبولوجيا زاريسكي بأنها الموضع الصفري المشترك لمجموعة منتهية من الدوال متعددة الحدود المتجانسة. بفرض دالة متعددة الحدود${\displaystyle f\in k[x_{0},\dots ,x_{n}]}$، الحالة

${\displaystyle f([x_{0}:\dots :x_{n}])=0}$

لا يكون هذا منطقيًا بالنسبة لكثيرات الحدود العشوائية، وإنما فقط إذا كانت f متجانسة ، أي أن درجات جميع أحاديات الحدود (التي مجموعها يساوي f ) متساوية. في هذه الحالة، يكون تلاشي

${\displaystyle f(\lambda x_{0},\dots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{\deg f}f(x_{0},\dots ,x_{n})}$

مستقل عن اختيار${\displaystyle \lambda \neq 0}$.

لذلك، تنشأ الأصناف الإسقاطية من المُثُل الأولية المتجانسة I من${\displaystyle k[x_{0},\dots ,x_{n}]}$، والضبط

${\displaystyle X=\left\{[x_{0}:\dots :x_{n}]\in \mathbb {P} ^{n},f([x_{0}:\dots :x_{n}])=0{\text{ لكل }}f\in I\right\}.}$

علاوة على ذلك، فإن المتنوع الإسقاطي X هو تنوع جبري، أي أنه مغطى بمتنوعات فرعية أفينية مفتوحة ويحقق بديهية الفصل. وبالتالي، فإن الدراسة المحلية لـ X (مثل التفرد) تختزل إلى دراسة التنوع الأفيني. البنية الصريحة هي كما يلي: الفضاء الإسقاطي${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$يتم تغطيتها بواسطة المخططات الأفينية المفتوحة القياسية

${\displaystyle U_{i}=\{[x_{0}:\dots :x_{n}],x_{i}\neq 0\},}$

والتي هي نفسها فضاءات تآلفية من الرتبة n ذات حلقة إحداثيات

${\displaystyle k\left[y_{1}^{(i)},\dots ,y_{n}^{(i)}\right],\quad y_{j}^{(i)}=x_{j}/x_{i}.}$

لتبسيط الترميز، لنفترض أن i = 0 ونحذف الرمز العلوي (0). ثم${\displaystyle X\cap U_{0}}$هي نوع فرعي مغلق من${\displaystyle U_{0}\simeq \mathbb {A} ^{n}}$يُعرَّف بمثالية${\displaystyle k[y_{1},\dots ,y_{n}]}$تم إنشاؤه بواسطة

${\displaystyle f(1,y_{1},\dots ,y_{n})}$

لكل f في I. بالتالي، فإن X عبارة عن تنوع جبري مغطى بـ ( n + 1) مخططات أفينية مفتوحة${\displaystyle X\cap U_{i}}$.

لاحظ أن X هو إغلاق التنوع الأفيني${\displaystyle X\cap U_{0}}$في${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$. على العكس من ذلك، بدءًا من نوع مغلق (أفيني)${\displaystyle V\subset U_{0}\simeq \mathbb {A} ^{n}}$، إغلاق V في${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$يُطلق على النوع الإسقاطي اسمالإكمال الإسقاطي لـV.إذا${\displaystyle I\subset k[y_{1},\dots ,y_{n}]}$إذا تم تعريف V ، فإن المثالي المحدد لهذا الإغلاق هو المثالي المتجانس ^{[ 3 ]} لـ${\displaystyle k[x_{0},\dots ,x_{n}]}$تم إنشاؤه بواسطة

${\displaystyle x_{0}^{\deg(f)}f(x_{1}/x_{0},\dots ,x_{n}/x_{0})}$

لكل f في I.​

على سبيل المثال، إذا كان V منحنى خطيًا معطى، على سبيل المثال،${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}$في المستوى الأفيني، فإن إكمالها الإسقاطي في المستوى الإسقاطي يُعطى بواسطة${\displaystyle y^{2}z=x^{3}+axz^{2}+bz^{3}.}$

في تطبيقات متنوعة، من الضروري النظر في كائنات جبرية هندسية أكثر عمومية من مجرد تنوعات إسقاطية، وتحديدًا المخططات الإسقاطية. تتمثل الخطوة الأولى نحو المخططات الإسقاطية في تزويد الفضاء الإسقاطي ببنية مخططية، وذلك بطريقة تُحسّن الوصف السابق للفضاء الإسقاطي باعتباره تنوعًا جبريًا، أي${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}(k)}$هو مخطط عبارة عن اتحاد ( n + 1) نسخة من الفضاء الأفيني n- البعدي k ⁿ . وبشكل أعم، ^{[ 4 ]} الفضاء الإسقاطي فوق حلقة A هو اتحاد المخططات الأفينية

${\displaystyle U_{i}=\operatorname {Spec} A[x_{0}/x_{i},\dots ,x_{n}/x_{i}],\quad 0\leq i\leq n,}$

بحيث تتطابق المتغيرات كما هو متوقع. مجموعة النقاط المغلقة لـ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$بالنسبة للحقول المغلقة جبريًا k ، فإن الفضاء الإسقاطي${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}(k)}$بالمعنى المعتاد.

يُقدّم بناء Proj بنيةً مكافئةً ولكنها مُبسّطة ، وهو نظيرٌ لطيف الحلقة ، ويُرمز له بـ "Spec"، والذي يُعرّف مخططًا تآلفيًا. ^{[ 5 ]} على سبيل المثال، إذا كانت A حلقة، فإن

${\displaystyle \mathbb {P} _{A}^{n}=\operatorname {Proj} A[x_{0},\ldots ,x_{n}].}$

إذا كان R هو ناتج قسمة${\displaystyle k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$بواسطة مثالي متجانس I ، فإن الإسقاط الكنسي يؤدي إلى الغمر المغلق

${\displaystyle \operatorname {Proj} R\hookrightarrow \mathbb {P} _{k}^{n}.}$

بالمقارنة مع الأصناف الإسقاطية، تم إسقاط شرط أن يكون المثالي I مثاليًا أوليًا. وهذا يؤدي إلى مفهوم أكثر مرونة: من ناحية، الفضاء الطوبولوجي${\displaystyle X=\operatorname {Proj} R}$قد تحتوي على مكونات غير قابلة للاختزال متعددة. علاوة على ذلك، قد توجد دوال عديمة القوة على X.

المخططات الفرعية المغلقة لـ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$تتوافق بشكل تقابلي مع المُثُل المتجانسة I لـ${\displaystyle k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$التي تكون مشبعة ؛ أي${\displaystyle I:(x_{0},\dots ,x_{n})=I.}$^{[ 6 ]} يمكن اعتبار هذه الحقيقة بمثابة نسخة محسنة مننظرية Nullstellensatz الإسقاطية.

يمكننا تقديم نظير لما سبق دون استخدام الإحداثيات. أي، إذا كان لدينا فضاء متجهي V ذو أبعاد محدودة على k ، فإننا نضع

${\displaystyle \mathbb {P} (V)=\operatorname {Proj} k[V]}$

أين${\displaystyle k[V]=\operatorname {Sym} (V^{*})}$هو الجبر المتناظر لـ${\displaystyle V^{*}}$[ ^{7 ]} إنها إسقاط V ؛ أي أنها تُعطي معلمات للخطوط في ^V. يوجد تطبيق شامل معياري${\displaystyle \pi :V\setminus \{0\}\to \mathbb {P} (V)}$، والذي يُعرَّف باستخدام المخطط الموصوف أعلاه. ^{[ 8 ]} أحد الاستخدامات المهمة لهذا البناء هو هذا (انظر، §  الازدواجية والنظام الخطي ). القاسم D على صنف إسقاطي X يقابل حزمة خطية L. ثم نضع

${\displaystyle |D|=\mathbb {P} (\Gamma (X,L))}$؛

يُطلق عليه اسم النظام الخطي الكامل لـ D.

يمكن تعريف الفضاء الإسقاطي فوق أي مخطط S على أنه ناتج ألياف للمخططات

${\displaystyle \mathbb {P} _{S}^{n}=\mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}\times _{\operatorname {Spec} \mathbb {Z} }S.}$

لو${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$هي حزمة سير الملتوية على${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}}$، نحن نترك${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$يشير إلى التراجع لـ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ل${\displaystyle \mathbb {P} _{S}^{n}}$؛ إنه،${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)=g^{*}({\mathcal {O}}(1))}$للخريطة الأساسية${\displaystyle g:\mathbb {P} _{S}^{n}\to \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}.}$

يُطلق على المخطط X → S اسم المخطط الإسقاطي على S إذا كان يُحلل إلى غمر مغلق

${\displaystyle X\to \mathbb {P} _{S}^{n}}$

ثم الإسقاط إلى S.

حزمة خطية (أو حزمة قابلة للعكس)${\displaystyle {\mathcal {L}}}$يقال إن المخطط X على S واسع جدًا بالنسبة إلى S إذا كان هناك غمر (أي غمر مفتوح متبوع بغمر مغلق).

${\displaystyle i:X\to \mathbb {P} _{S}^{n}}$

لبعض قيم n بحيث${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$تراجعات إلى${\displaystyle {\mathcal {L}}}$إذن، يكون المخطط S - X إسقاطيًا إذا وفقط إذا كان مناسبًا ، وكان هناك حزمة واسعة جدًا على X بالنسبة إلى S. في الواقع، إذا كان X مناسبًا، فإن الغمر المقابل لحزمة الخط الواسعة جدًا يكون مغلقًا بالضرورة. وعلى العكس من ذلك، إذا كان X إسقاطيًا، فإن السحب العكسي لـ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$إن الغمر المغلق لـ X في فضاء إسقاطي واسع للغاية. إن دلالة "الإسقاطي" على "الخاص" أعمق من ذلك: إنها النظرية الرئيسية لنظرية الحذف .

بما أن المثالي الأولي P الذي يُعرّف تنوعًا إسقاطيًا X متجانس، فإن حلقة الإحداثيات المتجانسة

${\displaystyle R=k[x_{0},\dots ,x_{n}]/P}$

هي حلقة متدرجة ، أي يمكن التعبير عنها كمجموع مباشر لمكوناتها المتدرجة:

${\displaystyle R=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }R_{n}.}$

يوجد كثير حدود P بحيث${\displaystyle \dim R_{n}=P(n)}$لكل قيمة n كبيرة بما فيه الكفاية ؛ يُطلق عليها متعددة حدود هيلبرت لـ X. وهي ثابت عددي يُشفّر بعض الهندسة الخارجية لـ X. درجة P هي بُعد r لـ X ، ومعاملها الرئيسي مضروبًا في r! هو درجة المتنوع X. الجنس الحسابي لـ X هو (−1) ^r ( P (0) − 1) عندما يكون X أملسًا.

على سبيل المثال، حلقة الإحداثيات المتجانسة لـ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$يكون${\displaystyle k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ومتعددة حدود هيلبرت الخاصة بها هي${\displaystyle P(z)={\binom {z+n}{n}}}$جنسها الحسابي هو الصفر.

إذا كانت حلقة الإحداثيات المتجانسة R مجالًا مغلقًا تكامليًا ، فإن التنوع الإسقاطي X يُقال إنه طبيعي إسقاطيًا . تجدر الإشارة إلى أنه على عكس الطبيعية ، تعتمد الطبيعية الإسقاطية على R ، أي تضمين X في فضاء إسقاطي. إن تطبيع التنوع الإسقاطي هو إسقاطي؛ في الواقع، هو إسقاط الإغلاق التكاملي لحلقة إحداثيات متجانسة ما لـ X.

يترك${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{N}}$ليكن X صنفًا إسقاطيًا. هناك طريقتان متكافئتان على الأقل لتعريف درجة X بالنسبة لتضمينه. الطريقة الأولى هي تعريفها على أنها عدد عناصر المجموعة المنتهية.

${\displaystyle \#(X\cap H_{1}\cap \cdots \cap H_{d})}$

حيث d هو بُعد X، و H هي مستويات فائقة في "مواضع عامة". يتوافق هذا التعريف مع فكرة بديهية عن الدرجة. فإذا كان X سطحًا فائقًا، فإن درجة X هي درجة متعددة الحدود المتجانسة التي تُعرّف X. ويمكن تحديد "المواضع العامة" _بدقة ، على سبيل المثال، من خلال نظرية التقاطع ؛ إذ يُشترط أن يكون التقاطع حقيقيًا وأن تكون تعددية المكونات غير القابلة للاختزال جميعها واحدًا.

التعريف الآخر، المذكور في القسم السابق، هو أن درجة X هي المعامل الرئيسي لكثير حدود هيلبرت لـ X مضروبًا ^في (بعد X )!. هندسيًا، يعني هذا التعريف أن درجة X هي تعدد رؤوس المخروط الأفيني فوق X. ^{[ 12} ]

يترك${\displaystyle V_{1},\dots ,V_{r}\subset \mathbb {P} ^{N}}$لتكن مخططات فرعية مغلقة ذات أبعاد نقية تتقاطع بشكل صحيح (فهي في وضع عام). إذا كان m _i يرمز إلى تعددية المكون غير القابل للاختزال Z _i في التقاطع (أي تعددية التقاطع )، فإن تعميم نظرية بيزو يقول: ^{[ 13 ]}

${\displaystyle \sum _{1}^{s}m_{i}\deg Z_{i}=\prod _{1}^{r}\deg V_{i}.}$

يمكن تعريف تعددية التقاطع m _i على أنها معامل Z _i في حاصل ضرب التقاطع${\displaystyle V_{1}\cdot \cdots \cdot V_{r}}$في حلقة تشاو${\displaystyle \mathbb {P} ^{N}}$.

على وجه الخصوص، إذا${\displaystyle H\subset \mathbb {P} ^{N}}$إذا كان السطح الفائق لا يحتوي على X ، فإن

${\displaystyle \sum _{1}^{s}m_{i}\deg Z_{i}=\deg(X)\deg(H)}$

حيث Z _i هي المكونات غير القابلة للاختزال للتقاطع النظري المخطط لـ X و H مع التعددية (طول الحلقة المحلية) m _i .

يمكن اعتبار التنوع الإسقاطي المركب بمثابة فضاء مركب مضغوط ؛ وتكون درجة هذا التنوع (بالنسبة للتضمين) هي حجمه كفضاء بالنسبة للمقياس الموروث من الفضاء الإسقاطي المركب المحيط . ويمكن وصف التنوع الإسقاطي المركب بأنه مُصغِّر للحجم (بمعنى ما).

ليكن X منوعًا إسقاطيًا و L حزمة خطية عليه. عندئذٍ الحلقة المتدرجة

${\displaystyle R(X,L)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }H^{0}(X,L^{\otimes n})}$

تُسمى هذه الحلقة حلقة مقاطع L. إذا كانت L واسعة ، فإن إسقاط هذه الحلقة هو X. علاوة على ذلك، إذا كانت X طبيعية و L واسعة جدًا، فإن${\displaystyle R(X,L)}$هو الإغلاق التكاملي لحلقة الإحداثيات المتجانسة لـ X المحدد بواسطة L ؛ أي،${\displaystyle X\hookrightarrow \mathbb {P} ^{N}}$لهذا السبب.${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{N}}(1)}$يسحب للخلف إلى اليسار . ^{[ 14 ]}

بالنسبة للتطبيقات، من المفيد السماح بالقواسم (أو${\displaystyle \mathbb {Q} }$(القواسم) وليس فقط حزم الخطوط؛ بافتراض أن X طبيعي، فإن الحلقة الناتجة تسمى حلقة مقاطع معممة. إذا${\displaystyle K_{X}}$إذا كان قاسمًا قانونيًا على X ، فإن الحلقة المعممة للمقاطع

${\displaystyle R(X,K_{X})}$

يُطلق على هذا اسم الحلقة الأساسية لـ X. إذا كانت الحلقة الأساسية مولدة نهائيًا، فإن إسقاط الحلقة يُسمى النموذج الأساسي لـ X. ويمكن استخدام الحلقة الأساسية أو النموذج الأساسي لتعريف بُعد كودايرا لـ X.

تُسمى المخططات الإسقاطية ذات البعد الواحد بالمنحنيات الإسقاطية . ويركز جزء كبير من نظرية المنحنيات الإسقاطية على المنحنيات الإسقاطية الملساء، إذ يمكن حل حالات التفرد في المنحنيات عن طريق التطبيع ، الذي يتمثل في أخذ الإغلاق التكاملي المحلي لحلقة الدوال المنتظمة. وتكون المنحنيات الإسقاطية الملساء متماثلة إذا وفقط إذا كانت حقول دوالها متماثلة. وتتناول دراسة الامتدادات المحدودة لـ

${\displaystyle \mathbb {F} _{p}(t),}$

أو ما يعادلها من منحنيات إسقاطية سلسة فوق${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$يُعد فرعًا مهمًا في نظرية الأعداد الجبرية . ^{[ 15 ]}

يُطلق على المنحنى الإسقاطي الأملس من النوع الأول اسم المنحنى الإهليلجي . وكنتيجة لنظرية ريمان-روخ ، يمكن تضمين هذا المنحنى كمتنوعة فرعية مغلقة في${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$بشكل عام، يمكن تضمين أي منحنى إسقاطي (أملس) في${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$(للحصول على برهان، انظر قسم أمثلة على مجموعة القاطع ). وعلى العكس من ذلك، فإن أي منحنى مغلق أملس في${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$المنحنى من الدرجة الثالثة له جنس واحد حسب صيغة الجنس ، وبالتالي فهو منحنى إهليلجي.

يُطلق على المنحنى الأملس الكامل ذي الجنس الأكبر من أو يساوي اثنين اسم المنحنى الإهليلجي الفائق إذا كان هناك تشاكل منتهٍ${\displaystyle C\to \mathbb {P} ^{1}}$من الدرجة الثانية. ^{[ 16 ]}

كل مجموعة فرعية مغلقة غير قابلة للاختزال من${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$السطح ذو البعد المشترك واحد هو سطح فائق ؛ أي مجموعة الأصفار لبعض كثيرات الحدود المتجانسة غير القابلة للاختزال. ^{[ 17 ]}

ومن الثوابت المهمة الأخرى للتنوع الإسقاطي X مجموعة بيكارد${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)}$من X ، مجموعة فئات التشاكل لحزم الخطوط على X. وهي متشاكلة مع${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})}$وبالتالي فهو مفهوم جوهري (مستقل عن التضمين). على سبيل المثال، مجموعة بيكارد لـ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$متماثل مع${\displaystyle \mathbb {Z} }$عبر خريطة الدرجات. نواة${\displaystyle \deg$ إنّ المجموعة {Pic(X)→Z} ليست مجرد زمرة تبديلية مجردة، بل يوجد منها تنوع يُسمى تنوع جاكوبي لـ X ، ويُرمز له بـ Jac( X )، وتُساوي نقاطه هذه الزمرة. يلعب جاكوبي منحنى (أملس) دورًا هامًا في دراسة المنحنى. على سبيل المثال، جاكوبي منحنى إهليلجي E هو E نفسه. بالنسبة لمنحنى X من الجنس g ، فإنّ Jac( X ) له بُعد g .

تُعرف الأصناف الكاملة ذات البنية الزمردية، مثل صنف جاكوبيان، باسم الأصناف الأبيلية ، نسبةً إلى نيلز أبيل . وهذا على النقيض تمامًا من الزمر الجبرية الأفينية مثل...${\displaystyle GL_{n}(k)}$تكون هذه المجموعات تبديلية دائمًا، ومن هنا جاء اسمها. علاوة على ذلك، فهي تقبل حزمة خطية واسعة ، وبالتالي فهي إسقاطية. من ناحية أخرى، قد لا يكون المخطط الأبلي إسقاطيًا. ومن أمثلة المتنوعات الأبلية: المنحنيات الإهليلجية، ومتنوعات جاكوبي، وأسطح K3 .

تنص ازدواجية سير على أنه لأي حزمة حرة محليًا${\displaystyle {\mathcal {F}}}$على X ،

${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})\simeq H^{n-i}(X,{\mathcal {F}}^{\vee }\otimes \omega _{X})'}$

حيث تشير علامة الفتحة العلوية إلى الفضاء المزدوج و${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\vee }}$هي الحزمة المزدوجة من${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. يُعرف التعميم للمخططات الإسقاطية، ولكن ليس بالضرورة المخططات السلسة، باسم ازدواجية فيردييه .

بالنسبة لمنحنى (إسقاطي أملس) X ، فإن H ² وما فوقها تتلاشى لأسباب تتعلق بالأبعاد، ويكون فضاء المقاطع الكلية لحزمة البنية أحادي البعد. وبالتالي، فإن الجنس الحسابي لـ X هو بُعد${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$بحسب التعريف، فإن الجنس الهندسي لـ X هو بُعد H₀ ( X , ωX ₎ ^{. وبالتالي ،} فإن ازدواجية سير تعني أن الجنس الحسابي والجنس الهندسي متطابقان . وسنُطلق عليهما ببساطة جنس X.

تُعدّ ازدواجية سير أيضًا عنصرًا أساسيًا في برهان نظرية ريمان-روخ . بما أن X مجموعة ملساء، فهناك تماثل بين المجموعات.

${\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {Cl} (X)\to \operatorname {Pic} (X)\\D\mapsto {\mathcal {O}}(D)\end{cases}}}$

من مجموعة قواسم (ويل) modulo القواسم الرئيسية إلى مجموعة فئات التشاكل لحزم الخطوط. يُسمى القاسم المقابل لـ ω _X بالقاسم القانوني ويُرمز له بـ K. ليكن l ( D ) بُعد${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {O}}(D))}$ثم تنص نظرية ريمان-روخ على ما يلي: إذا كان g جنسًا من X ،

${\displaystyle l(D)-l(K-D)=\deg D+1-g,}$

لأي قاسم D على X. وبحسب ازدواجية سير، فإن هذا هو نفسه:

${\displaystyle \chi ({\mathcal {O}}(D))=\deg D+1-g,}$

والتي يمكن إثباتها بسهولة. ^{[ 25 ]} إن تعميم نظرية ريمان-روخ إلى أبعاد أعلى هو نظرية هيرزبروش-ريمان-روخ ، بالإضافة إلى نظرية غروتينديك-ريمان-روخ بعيدة المدى .

الفضاء الإسقاطي المركب هو متعدد شعب كاهلر . وهذا يعني أنه لأي تنوع جبري إسقاطي X ،${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$هي فضاء كاهلر متراص. ليس العكس صحيحًا بشكل عام، لكن نظرية كودايرا للتضمين تعطي معيارًا لكون فضاء كاهلر إسقاطيًا.

في الأبعاد المنخفضة، تكون النتائج كالتالي:

• (ريمان) سطح ريمان المدمج (أي، متعدد شعب عقدي مدمج ذو بُعد واحد) هو تنوع إسقاطي. وبحسب نظرية توريلي ، يتم تحديده بشكل فريد بواسطة جاكوبيانه.
• (تشاو-كودايرا) المشعب المركب المضغوط ذو البعد الثاني والذي يحتوي على دالتين ميرومورفيتين مستقلتين جبريًا هو تنوع إسقاطي. ^{[ 29 ]}

تُقدّم نظرية تشاو طريقةً لافتةً للانتقال من الهندسة التحليلية إلى الهندسة الجبرية. تنصّ هذه النظرية على أن كل صنف فرعي تحليلي من فضاء إسقاطي مُركّب هو جبريّ. يُمكن تفسير النظرية على أنها تعني أن الدالة التحليلية التي تُحقّق شرط نمو مُعيّن هي بالضرورة جبريّة: فكلمة "إسقاطي" تُوفّر شرط النمو هذا. يُمكن استنتاج ما يلي من النظرية:

• الدوال الميرومورفية على الفضاء الإسقاطي المركب هي دوال كسرية.
• إذا كان التطبيق الجبري بين أصناف جبرية تماثلاً تحليلياً ، فهو تماثل جبري. (هذه حقيقة أساسية في التحليل العقدي). على وجه الخصوص، تنص نظرية تشاو على أن التطبيق الهولومورفي بين أصناف إسقاطية هو تطبيق جبري. (انظر إلى رسم بياني لهذا التطبيق).
• كل حزمة متجهات هولومورفية على تنوع إسقاطي يتم استنباطها بواسطة حزمة متجهات جبرية فريدة. ^{[ 30 ]}
• كل حزمة خطية هولومورفية على تنوع إسقاطي هي حزمة خطية لقاسم. ^{[ 31 ]}

يمكن إثبات نظرية تشاو باستخدام مبدأ GAGA لسير . وتنص نظريتها الرئيسية على ما يلي:

ليكن X مخططًا إسقاطيًا على${\displaystyle \mathbb {C} }$إذن، الدالة التي تربط الحزم المتماسكة على X بالحزم المتماسكة على الفضاء التحليلي المركب المقابل X an هي تكافؤ بين الفئات. علاوة على ذلك، فإن الخرائط الطبيعية

${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})\to H^{i}(X^{\text{an}},{\mathcal {F}})}$

هي عمليات تماثل لجميع قيم i وجميع الحزم المتماسكة.${\displaystyle {\mathcal {F}}}$على X. ^{[ 32 ]}​

المتشعب المعقد المرتبط بتنوع أبيلي A على${\displaystyle \mathbb {C} }$هي زمرة لي معقدة متراصة . ويمكن إثبات أن هذه الزمر تأخذ الشكل التالي:

${\displaystyle \mathbb {C} ^{g}/L}$

ويُشار إليها أيضًا باسم الطورات المعقدة . هنا، g هو بُعد الطارة و L هي شبكة (يشار إليها أيضًا باسم شبكة دورية ).

وفقًا لنظرية التوحيد المذكورة أعلاه، فإن أي سطح حلقي ذي بُعد 1 ينشأ من تنوع أبيلي ذي بُعد 1، أي من منحنى إهليلجي . في الواقع، دالة فايرشتراس الإهليلجية${\displaystyle \wp }$المرفق بـ L يحقق معادلة تفاضلية معينة، ونتيجة لذلك فإنه يحدد غمرًا مغلقًا: ^{[ 33 ]}

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {C} /L\to \mathbb {P} ^{2}\\L\mapsto (0:0:1)\\z\mapsto (1:\wp (z):\wp '(z))\end{cases}}}$

يوجد نظير p -adic، وهو نظرية التوحيد p-adic .

بالنسبة للأبعاد الأعلى، تختلف مفاهيم الأصناف الأبيلية المعقدة والحلقات المعقدة: فقط الحلقات المعقدة المستقطبة تأتي من الأصناف الأبيلية.

تنص نظرية كودايرا الأساسية للتلاشي على أنه بالنسبة لحزمة خطية واسعة${\displaystyle {\mathcal {L}}}$على تنوع إسقاطي أملس X فوق حقل ذي خاصية صفرية،

${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {L}}\otimes \omega _{X})=0}$

لـ i > 0، أو، بشكل مكافئ باستخدام ازدواجية سير${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {L}}^{-1})=0}$لـ i < n . ^{[ 34 ]} استخدم البرهان الأول لهذه النظرية الأساليب التحليلية لهندسة كاهلر، ولكن تم التوصل لاحقًا إلى برهان جبري بحت. يفشل تلاشي كودايرا عمومًا بالنسبة للتنوع الإسقاطي الأملس ذي الخاصية الموجبة. تُعد نظرية كودايرا إحدى نظريات التلاشي المتعددة، التي تُقدم معايير لتلاشي تماثلات الحزم العليا. نظرًا لأن خاصية أويلر للحزمة (انظر أعلاه) غالبًا ما تكون أسهل في التعامل من مجموعات التماثل الفردية، فإن هذا غالبًا ما يكون له عواقب مهمة على هندسة التنوعات الإسقاطية. ^{[ 35 ]}