مسألة سنيليوس-بوثينو

مسألة سنيليوس -بوثينو هي مسألة حساب مثلثات وُصفت لأول مرة في سياق المسح المستوي ، حيث تُستخدم نقاط معلومة لحل مسألة مجهولة. بمعرفة ثلاث نقاط معلومة A وB وC ، هل يمكن إيجاد موقع مراقب عند نقطة مجهولة P ؟

بالنظر إلى هذه النقاط، وأن C تقع بين A و B كما يُرى من P ، يمكن للمراقب عند P أن يحدد أن القطعة المستقيمة AC تقابل زاوية α والقطعة المستقيمة CB تقابل زاوية β ؛ ويمكن إيجاد حل لتحديد موضع النقطة P بطرق مختلفة من خلال الهندسة البيانية وعلم المثلثات العقلاني والجبر الهندسي.

توجد حالة غير محددة عندما تقع النقاط الأربع جميعها على نفس الدائرة، مما يُعطي عددًا لا نهائيًا من الحلول. ولذلك تُعرف الدائرة التي تمر بالنقطة ABC باسم "دائرة الخطر"، ويجب تجنب الملاحظات التي تُجرى على هذه الدائرة (أو بالقرب منها جدًا).

بما أن المسألة تتضمن رصد نقاط معلومة من نقطة مجهولة، فهي مثال على التقسيم . تاريخياً، درسها لأول مرة ويليبرورد سنيليوس ، الذي وجد حلاً لها حوالي عام 1615.

إذا كان لدينا طولان AC و BC وثلاث زوايا α و β و C ، فإن الحل يتم على النحو التالي.

• حساب${\displaystyle \phi ={\mathsf {atan2}}\left({\overline {BC}}\sin \alpha ,\ {\overline {AC}}\sin \beta \right),}$حيث atan2أن دالة حاسوبية ، تُسمى أيضًا دالة الظل العكسي لوسيطين، تُعيد الظل العكسي لنسبة القيمتين المُعطاة. لاحظ أنه في برنامج مايكروسوفت إكسل، يكون الوسيطان معكوسين، لذا فإن الصيغة الصحيحة هي = atan2(AC*\sin(beta), BC*\sin(alpha)). atan2تتعامل الدالة بشكل صحيح مع الحالة التي يكون فيها أحد الوسيطين صفرًا.
• حساب${\displaystyle K=2\pi -\alpha -\beta -C.}$
• حساب${\displaystyle W=2\cdot \arctan \left[\tan({\tfrac {\pi }{4}}-\phi )\,\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta +C)\right].}$
• يجد${\displaystyle x={\frac {K+W}{2}},\ y={\frac {KW}{2}}.}$
• يجد${\displaystyle {\overline {PC}}={\begin{cases}{\dfrac {{\overline {BC}}\sin y}{\sin \beta }}&{\text{إذا كان }}|\sin \beta |>|\sin \alpha |,\\[4pt]{\dfrac {{\overline {AC}}\sin x}{\sin \alpha }}&{\text{فيما عدا ذلك.}}\end{cases}}}$
• يجد${\displaystyle {\overline {PA}}={\sqrt {{\overline {AC}}^{2}+{\overline {PC}}^{2}-2\cdot {\overline {AC}}\cdot {\overline {PC}}\cdot \cos(\pi -\alpha -x)}}.}$(هذا مستمد من قانون جيب التمام .)
• يجد${\displaystyle {\overline {PB}}={\sqrt {{\overline {BC}}^{2}+{\overline {PC}}^{2}-2\cdot {\overline {BC}}\cdot {\overline {PC}}\cdot \cos(\pi -\beta -y)}}.}$

إذا كانت إحداثيات${\displaystyle A:x_{A},y_{A}}$و${\displaystyle C:x_{C},y_{C}}$إذا كانت إحداثيات النقطة P معروفة في نظام إحداثيات ديكارتية مناسب، فيمكن إيجاد إحداثيات النقطة P أيضًا.

بحسب نظرية الزاوية المحيطية، فإن المحل الهندسي للنقاط التي تُقابل فيها الزاوية AC زاوية α هو دائرة مركزها منتصف AC ؛ ومن مركز هذه الدائرة O ، تُقابل الزاوية AC زاوية 2α . وبالمثل، فإن المحل الهندسي للنقاط التي تُقابل فيها الزاوية CB زاوية β هو دائرة أخرى. تقع النقطة المطلوبة P عند تقاطع هذين المحلين الهندسيين.

لذلك، يمكن استخدام البنية الرسومية التالية على خريطة أو مخطط بحري يوضح النقاط أ، ب، ج :

• ارسم القطعة المستقيمة AC ، ونقطة المنتصف M، والخط المتوسط ​​الذي يقطع AC عموديًا عند M. على هذا الخط، أوجد النقطة O بحيث${\displaystyle {\overline {MO}}={\tfrac {\overline {AC}}{2\tan \alpha }}.}$ارسم دائرة مركزها النقطة O تمر بالنقطتين A و C.
• كرر نفس العملية مع النقاط B و C والزاوية β .
• ضع علامة P عند تقاطع الدائرتين (تتقاطع الدائرتان عند نقطتين؛ إحدى نقاط التقاطع هي C والأخرى هي النقطة المطلوبة P. )

تُسمى طريقة الحل هذه أحيانًا طريقة كاسيني .

يستند الحل التالي إلى بحثٍ لـ ن. ج. وايلدبيرجر. ^{[ 2 ]} ويتميز هذا الحل بأنه جبريٌّ بحتٌ تقريبًا، إذ يقتصر استخدام حساب المثلثات على تحويل الزوايا إلى فواصل . ولا يتطلب الأمر سوى جذر تربيعي واحد .

• حدد ما يلي:$${\displaystyle {\begin{aligned}&s(x)=\sin ^{2}x\\[4pt]&A(x,y,z)=(x+y+z)^{2}-2(x^{2}+y^{2}+z^{2})\\[2pt]&{\begin{alignedat}{5}r_{1}&=s(\beta )&\qquad Q_{1}&={\overline {BC}}^{2}\\r_{2}&=s(\alpha )&Q_{2}&={\overline {AC}}^{2}\\r_{3}&=s(\alpha +\beta )&Q_{3}&={\overline {AB}}^{2}\end{alignedat}}\end{aligned}}}$$
• والآن لنبدأ:$${\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}&={\frac {r_{2}Q_{3}}{r_{3}}}\qquad R_{2}={\frac {r_{1}Q_{3}}{r_{3}}}\\[4pt]C_{0}&={\frac {(Q_{1}+Q_{2}+Q_{3})(r_{1}+r_{2}+r_{3})-2(Q_{1}r_{1}+Q_{2}r_{2}+Q_{3}r_{3})}{2r_{3}}}\\[4pt]D_{0}&={\frac {r_{1}r_{2}A(Q_{1},Q_{2},Q_{3})}{r_{3}}}\end{aligned}}}$$
• المعادلة التالية تعطي قيمتين محتملتين لـ R ₃ :$${\displaystyle (R_{3}-C_{0})^{2}=D_{0}}$$
• باختيار القيمة الأكبر من بين هاتين القيمتين، لنفترض ما يلي:$${\displaystyle {\begin{aligned}v_{1}&=1-{\frac {(R_{1}+R_{3}-Q_{2})^{2}}{4R_{1}R_{3}}}\\[4pt]v_{2}&=1-{\frac {(R_{2}+R_{3}-Q_{1})^{2}}{4R_{2}R_{3}}}\end{aligned}}}$$

أخيراً:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {AP}}^{2}&={\frac {v_{1}R_{1}}{r_{2}}}={\frac {v_{1}Q_{3}}{r_{3}}}\\[4pt]{\overline {BP}}^{2}&={\frac {v_{2}R_{2}}{r_{1}}}={\frac {v_{2}Q_{3}}{r_{3}}}\end{aligned}}}$$

قام فينتورا وآخرون ^{[ 3 ]} بحل مسألة سنيليوس-بوثينو المستوية وثلاثية الأبعاد باستخدام الجبر الهندسي المتجهي والجبر الهندسي المطابق . كما قام المؤلفون بتوصيف حساسية الحلول لأخطاء القياس.

عندما تقع النقطة P على نفس الدائرة التي تقع عليها النقاط A وB وC ، فإن للمسألة عددًا لا نهائيًا من الحلول؛ والسبب هو أنه من أي نقطة أخرى P' تقع على القوس APB من هذه الدائرة، يرى الراصد نفس الزاويتين α و β كما يراهما من النقطة P ( نظرية الزاوية المحيطية ). وبالتالي، فإن الحل في هذه الحالة ليس محددًا بشكل فريد.

تُعرف الدائرة المارة بالنقطة ABC باسم "دائرة الخطر"، ويجب تجنب إجراء الملاحظات عليها (أو بالقرب منها). من المفيد تحديد موقع هذه الدائرة على الخريطة قبل إجراء الملاحظات.

تُساعد نظرية الأشكال الرباعية الدائرية في تحديد الحالة غير المحددة. يكون الشكل الرباعي APBC دائريًا إذا وفقط إذا كان زوج من الزوايا المتقابلة (مثل الزاوية عند P والزاوية عند C ) متكاملين، أي إذا وفقط إذا${\displaystyle \alpha +\beta +C=k\pi ,(k=1,2,\cdots )}$إذا لوحظت هذه الحالة، فيجب إيقاف حسابات الكمبيوتر/جدول البيانات وإرجاع رسالة خطأ ("حالة غير محددة").

(مقتبس من باوزر، ^{[ 4 ]} التمرين 140، صفحة 203). أ، ب، ج ثلاثة أجسام بحيث يكون طول AC  =  435 ياردة ، وطول CB  =  320 ياردة، وقياس الزاوية C  =  255.8 درجة. من نقطة P، لوحظ أن قياس الزاوية APC  =  30 درجة، وقياس الزاوية CPB  =  15 درجة. أوجد المسافة بين P والأجسام أ، ب، ج . (لاحظ أن النقطتين ج و P في هذه الحالة تقعان على نفس جانب الخط AB ، وهو وضع مختلف عن الوضع الموضح في الشكل).

الإجابة: PA  =  790، PB  =  777، PC  =  502.

يستخدم اختبار أكثر صعوبة قليلاً لبرنامج الكمبيوتر نفس البيانات ولكن هذه المرة مع ∠ CPB  =  0. يجب أن يُرجع البرنامج الإجابات 843 و 1157 و  837.

كتب جورج تيريل مكاو (1870-1942) ، الخبير البريطاني في علم المساحة، أن المصطلح الصحيح في اللغة الإنجليزية هو Snellius problem ، بينما كان Snellius-Pothenot هو المصطلح المستخدم في أوروبا القارية. ^{[ 5 ]}

اعتقد مكاو أن اسم لوران بوثينو (1650-1732) لا يستحق أن يتم تضمينه لأنه لم يقدم أي مساهمة أصلية، بل أعاد صياغة كلام سنيليوس بعد 75 عامًا.

• حل المثلثات
• التثليث (المسح)

• جيرهارد هايندل: تحليل صيغة ويلردينج لحل مشكلة إعادة تقسيم النقاط الثلاث المستوية ، مجلة الجيوديسيا التطبيقية، المجلد 13، العدد 1، الصفحات 27-31، الرقم الدولي الموحد للدوريات (عبر الإنترنت) 1862-9024، الرقم الدولي الموحد للدوريات (مطبوع) 1862-9016، DOI:

• إدوارد أ. باوزر: رسالة في حساب المثلثات المستوية والكروية ، واشنطن العاصمة، هيث وشركاه، 1892، صفحة 188 (كتب جوجل)