الجبر الهندسي المطابق

يركز هذا المقال على الجبر${\displaystyle {\mathcal {G}}(4,1)}$بما أن هذا النوع من الجبر هو الذي حظي بأكبر قدر من الاهتمام على مر الزمن، فسيتم تناول الحالات الأخرى بإيجاز في قسم منفصل. يُشار هنا إلى الفضاء الذي يحتوي على الكائنات المراد نمذجتها باسم الفضاء الأساسي ، وإلى الفضاء الجبري المستخدم لنمذجة هذه الكائنات باسم فضاء التمثيل أو الفضاء المطابق . ويُشير الفضاء الفرعي المتجانس إلى فضاء فرعي خطي من الفضاء الجبري.

تُستخدم المصطلحات الخاصة بالأجسام، مثل: نقطة ، خط ، دائرة ، كرة ، شبه كرة، إلخ، للدلالة إما على الجسم الهندسي في الفضاء الأساسي، أو على الفضاء الجزئي المتجانس من فضاء التمثيل الذي يُمثل ذلك الجسم، ويُقصد بالثاني عمومًا ما لم يُذكر خلاف ذلك. ^{[ أ ]} جبريًا، يُستخدم أي عنصر غير صفري من الفضاء الجزئي المتجانس، ويُشار إلى أحد هذه العناصر بأنه مُعَيَّر وفقًا لمعيار معين.

تُستخدم الأحرف اللاتينية الصغيرة المكتوبة بخط غامق لتمثيل متجهات الموضع من نقطة الأصل إلى نقطة في الفضاء الأساسي. وتُستخدم الرموز المائلة للعناصر الأخرى في فضاء التمثيل.

_يتم تمثيل الفضاء الأساسي R³ بتمديد أساس للإزاحات من نقطة أصل مختارة وإضافة متجهي أساس _e⁻ و e⁺ متعامدين _مع الفضاء الأساسي ومع بعضهما البعض، حيث e⁻² ⁼ -1 و e⁺² = +1 ^، _مما يؤدي إلى إنشاء فضاء التمثيل ^.${\displaystyle {\mathcal {G}}(4,1)}$.

من الملائم استخدام متجهين صفريين n₀ _و n∞ كمتجهات أساسية بدلاً من _e⁺ و _e⁻ ، حيث n₀ = ( _e⁻ - _e⁺ ) / 2 ، و n∞ = e⁻ ₊ e⁺ _. ويمكن التحقق، حيث _x ينتمي إلى الفضاء الأساسي، _مما يلي _:

${\displaystyle {\begin{array}{lllll}{n_{\text{o}}}^{2}&=0\qquad n_{\text{o}}\cdot n_{\infty }&=-1\qquad &n_{\text{o}}\cdot \mathbf {x} &=0\\{n_{\infty }}^{2}&=0\qquad n_{\text{o}}\wedge n_{\infty }&=e_{-}e_{+}\qquad &n_{\infty }\cdot \mathbf {x} &=0\end{array}}}$

تؤدي هذه الخصائص إلى الصيغ التالية لمعاملات متجه الأساس لمتجه عام r في فضاء التمثيل لأساس يحتوي على عناصر e _i متعامدة مع كل عنصر أساس آخر:

معامل n₀ _لـ r هو −n∞ ⋅ r​​_​

معامل n∞ لـ r هو −no ⋅ r_​​​

معامل e _i لـ r هو e _i ⁻¹ ⋅ r .

يتم إعطاء التحويل من متجه في الفضاء الأساسي (من نقطة الأصل إلى نقطة في الفضاء الأفيني المُمثَّل) بواسطة الصيغة التالية: ^{[ b ]}

${\displaystyle g:\mathbf {x} \mapsto n_{\text{o}}+\mathbf {x} +{\tfrac {1}{2}}\mathbf {x} ^{2}n_{\infty }}$

تُسقط النقاط والأجسام الأخرى التي تختلف فقط بمعامل قياسي غير صفري على نفس الجسم في الفضاء الأساسي. عند الرغبة في إجراء عملية التطبيع، كما هو الحال عند إنشاء خريطة عكسية بسيطة لنقطة من فضاء التمثيل إلى الفضاء الأساسي أو تحديد المسافات، يمكن استخدام الشرط _g ( x ) ⋅ n∞ = −1 .

التعيين الأمامي يعادل ما يلي:

• أولاً، إسقاط x بشكل متطابق من e ₁₂₃ على كرة وحدة ثلاثية الأبعاد في الفضاء e ₊ ∧ e ₁₂₃ (في 5-D يكون هذا في الفضاء الفرعي r ⋅ (− n _o − ⁠ 1 / 2 ⁠ n _∞ ) = 0 )؛
• ثم ارفع هذا إلى فضاء إسقاطي، عن طريق ضم e _– = 1 ، وتحديد جميع النقاط على نفس الشعاع من الأصل (في 5-D يكون هذا في الفضاء الفرعي r ⋅ (− n _o − ⁠ 1 / 2 ⁠ n _∞ ) = 1 )؛
• ثم قم بتغيير التطبيع، بحيث يتم إعطاء مستوى الإسقاط المتجانس بواسطة الإحداثي n _الذي له قيمة 1 ، أي er ⋅ n _∞ = −1 .

يُعطى التحويل العكسي لـ X على المخروط الصفري (معادلة بيرواس 4.37) بواسطة

${\displaystyle X\mapsto {\mathcal {P}}_{n_{\infty }\wedge n_{\text{o}}}^{\perp }\left({\frac {X}{-X\cdot n_{\infty }}}\right)}$

هذا يعطي أولاً إسقاطًا مجسمًا من مخروط الضوء على المستوى r ⋅ n _∞ = −1 ، ثم يتخلص من جزئي n _o و n _∞ ، بحيث تكون النتيجة الإجمالية هي تعيين جميع النقاط المتكافئة αX = α ( n _o + x + ⁠ 1 / 2 ⁠ x ² n _∞ ) إلى x .

النقطة x = 0 في R ^{p , q} تُقابل n _o في R ^{p +1, q +1} ، لذلك يتم تحديد n _o على أنه متجه (التمثيل) للنقطة عند الأصل.

يجب أن يكون المتجه في الفضاء R ^{p +1, q +1} ذو المعامل n _∞ غير الصفري ، ولكن معامله no _الصفري ، صورةً لمتجه لانهائي في _الفضاء R ^{p , q} (مع الأخذ في الاعتبار التحويل العكسي) . وبالتالي، يمثل الاتجاه n _∞ النقطة (المطابقة) عند اللانهاية . وهذا ما يفسر استخدام الرمزين السفليين _o و∞ لتحديد متجهات الأساس الصفرية.

إن اختيار نقطة الأصل اختياري: يمكن اختيار أي نقطة أخرى، لأن التمثيل يتم في فضاء أفيني . تمثل نقطة الأصل مجرد نقطة مرجعية، وهي مكافئة جبريًا لأي نقطة أخرى. وكما هو الحال مع أي إزاحة، فإن تغيير نقطة الأصل يُقابله دوران في فضاء التمثيل.

شفرات أساسية من${\displaystyle {\mathcal {G}}(4,1)}$

عناصر	المفهوم الهندسي
نقطة وكرة مزدوجة
${\displaystyle e_{i},n_{0},n_{\infty }}$	بدون${\displaystyle n_{0}}$هو مستوى مزدوج
زوج نقطي
${\displaystyle e_{ij}}$	متجه ثنائي
${\displaystyle e_{i}n_{0}}$	متجه مماس
${\displaystyle e_{i}n_{\infty }}$	متجه الاتجاه (بالإضافة إلى متجه ثنائي الاتجاه، وهو خط مزدوج)
${\displaystyle E=n_{o}\wedge n_{\infty }}$	نقطة الأصل المسطحة *
دائرة
${\displaystyle e_{1}e_{2}e_{3}=I_{3}}$	مقياس زائف ثلاثي الأبعاد
${\displaystyle e_{ij}n_{0}}$	متجه ثنائي المماس
${\displaystyle e_{ij}n_{\infty }}$	متجه ثنائي الاتجاه (زائد)${\displaystyle e_{i}E}$(هذا هو السطر)
${\displaystyle e_{i}E}$
جسم كروي
${\displaystyle e_{ij}E}$
${\displaystyle e_{i}n_{0}}$	بدون${\displaystyle e_{i}n_{0}}$هل الطائرة
${\displaystyle e_{i}n_{\infty }}$

مع${\displaystyle I_{5}=e_{123}E}$و${\displaystyle 1}$هذه هي الشفرات الأساسية الـ 32 للجبر. تُكتب نقطة الأصل المسطحة كحاصل ضرب خارجي لأن حاصل الضرب الهندسي من الدرجة المختلطة (${\displaystyle E=e_{+}e_{-}}$).

بالنظر إلى أي شفرة غير صفرية A من الفضاء التمثيلي، فإن مجموعة المتجهات التي تمثل حلولاً لزوج من المعادلات المتجانسة من الشكل ^{[ 3 ].}

${\displaystyle X^{2}=0}$

${\displaystyle X\wedge A=0}$

هو اتحاد فضاءات فرعية متجانسة أحادية البعد من متجهات صفرية، وبالتالي فهو تمثيل لمجموعة من النقاط في الفضاء الأساسي. هذا ما يجعل اختيار الشفرة A طريقةً مفيدةً لتمثيل فئة معينة من الأشكال الهندسية. الحالات الخاصة للشفرة A (بغض النظر عن عدد أبعاد الفضاء) عندما يكون الفضاء الأساسي فضاءً إقليديًا هي:

• عدد قياسي: المجموعة الفارغة
• متجه: نقطة واحدة
• المتجه الثنائي: زوج من النقاط
• المتجه الثلاثي: دائرة معممة
• متجه رباعي الأبعاد: كرة معممة
• إلخ.

قد ينقسم كل منها إلى ثلاث حالات وفقًا لما إذا كانت A ² موجبة أو صفرية أو سالبة، وهو ما يتوافق (بترتيب عكسي في بعض الحالات) مع الكائن كما هو مدرج، أو حالة متدهورة لنقطة واحدة، أو لا توجد نقاط (حيث تستبعد الحلول غير الصفرية لـ X ∧ A المتجهات الصفرية).

تصبح الأشكال الهندسية المذكورة ( الكرات المعممة من الرتبة n ) شبه كرات في الحالة الأكثر عمومية عندما يكون الفضاء الأساسي شبه إقليدي. ^{[ 4 ]}

يمكن تحديد الأجسام المسطحة من خلال تضمين النقطة عند اللانهاية في الحلول. وبالتالي، إذا كان n _∞ ∧ A = 0 ، فسيكون الجسم خطًا أو مستوى، وما إلى ذلك، بالنسبة للشفرة A التي تكون من الدرجة 3 أو 4، وما إلى ذلك على التوالي.

يمكن إيجاد تمثيلٍ لشفرةٍ من هذا النوع من الأجسام كحاصل ضربٍ خارجي لمتجهاتٍ مستقلةٍ خطيًا تُمثل نقاطًا على الجسم. في الفضاء الأساسي، يتجلى هذا الاستقلال الخطي في كون كل نقطةٍ تقع خارج الجسم المحدد بالنقاط الأخرى. لذا، على سبيل المثال، لا يمكن استخدام نقطةٍ رابعةٍ تقع على الدائرة المعممة المحددة بثلاث نقاطٍ مختلفةٍ كنقطةٍ رابعةٍ لتحديد كرة.

تُسقط النقاط في e ₁₂₃ على المخروط الصفري - القطع المكافئ الصفري إذا وضعنا${\displaystyle r\cdot n_{\infty }=-1}$.

يمكننا اعتبار موضع النقاط في e ₁₂₃ st في الفضاء المطابق${\displaystyle g(\mathbf {x} )\cdot A=0}$، لأنواع مختلفة من الأشكال الهندسية أ.

نبدأ بملاحظة أن${\displaystyle g(\mathbf {a} )\cdot g(\mathbf {b} )=-{\tfrac {1}{2}}\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \|^{2}}$

يقارن:

• x. a = 0 => x عمودي على a؛ x.(a∧b) = 0 => x عمودي على a و x عمودي على b
• x∧a = 0 => x موازٍ لـ a؛ x∧(a∧b) = 0 => x موازٍ لـ a أو لـ b (أو لبعض التركيبات الخطية )

ترتبط تمثيلات الضرب الداخلي والضرب الخارجي بالازدواجية

x∧A = 0 <=> x . A* = 0 ( تحقق - يعمل إذا كان x ذو بُعد واحد، و A ذو بُعد n-1)