طيف نظرية

في نظرية النماذج ، وهي فرع من المنطق الرياضي ، يُحدد طيف النظرية بعدد فئات التشاكل للنماذج ذات الأعداد الأصلية المختلفة . بتعبير أدق، لأي نظرية كاملة T في لغة ما، نرمز بـ I ( T , κ ) لعدد نماذج T ( حتى التشاكل) ذات العدد الأصلي κ . تكمن مشكلة الطيف في وصف السلوكيات الممكنة لـ I ( T , κ ) كدالة لـ κ . وقد تم حلها بشكل شبه كامل في حالة النظرية القابلة للعد T.

في هذا القسم، T هي نظرية كاملة قابلة للعد و κ هو عدد أصلي.

تُظهر نظرية لوفنهايم-سكوليم أنه إذا كانت I ( T , κ ) غير صفرية لعدد أصلي لانهائي واحد، فإنها غير صفرية لجميعها.

كانت نظرية مورلي للتصنيف هي الخطوة الرئيسية الأولى في حل مشكلة الطيف: تنص على أنه إذا كانت I ( T , κ ) تساوي 1 لبعض κ غير القابلة للعد فإنها تساوي 1 لجميع κ غير القابلة للعد .

أثبت روبرت فوغت أن I ( T , ℵ₀ ₎ لا يمكن أن يساوي 2. ومن السهل إيجاد أمثلة يكون فيها أي عدد صحيح غير سالب معطى غير 2. أثبت مورلي أنه إذا كان I ( T , ℵ₀ ₎ لانهائيًا، فلا بد أن يكون _ℵ₀ أو ℵ₁ _أو 2ℵ₀ ^. ولا يُعرف ما إذا كان يمكن أن يكون ℵ₁ _في حال كانت فرضية الاستمرارية خاطئة: تُعرف هذه المسألة بتخمين فوغت ^_، وهي المشكلة الرئيسية المتبقية (حتى عام 2005) في نظرية الطيف.

كانت مسألة مورلي عبارة عن تخمين (أصبح الآن نظرية) اقترحه مايكل د. مورلي لأول مرة، مفاده أن I ( T , κ ) دالة غير متناقصة بالنسبة لـ κ عندما تكون κ غير قابلة للعد . وقد أثبت ساهارون شيلاه ذلك، حيث برهن على نظرية ثنائية عميقة للغاية.

قدّم ساهارون شيلاه حلاً شبه كامل لمسألة الطيف. بالنسبة لنظرية كاملة معينة T ، إما أن يكون I ( T , κ ) = 2κ ^لجميع الأعداد الأصلية غير القابلة للعد κ ، أو${\displaystyle \textstyle I(T,\aleph _{\xi })<\beth _{\omega _{1}}(|\xi |+\aleph _{0})}$لجميع الأعداد الترتيبية ξ (انظر عدد ألف وعدد بيت لشرح الترميز)، وهو عادةً أصغر بكثير من الحد في الحالة الأولى. بمعنى آخر، إما أن يكون هناك الحد الأقصى الممكن من النماذج في جميع الأعداد غير المعدودة، أو أن يكون هناك عدد قليل فقط من النماذج في جميع الأعداد غير المعدودة. وقدّم شيلاه أيضًا وصفًا للأطياف الممكنة في حالة وجود عدد قليل من النماذج.

بتوسيع عمل شيلاه، قدّم براد هارت وإيهود هروشوفسكي ومايكل سي. لاسكوفسكي الحل الكامل التالي لمسألة الطيف للنظريات القابلة للعد في أعداد غير قابلة للعد. إذا كانت T نظرية كاملة قابلة للعد، فإن عدد فئات التشاكل I( T , ℵα _{) ^{للنماذج}} يُعطى للأعداد الترتيبية α>0 بالحد الأدنى لـ 2ℵα ^وأحد التطبيقات التالية:

1. 2 ^{ℵ _α} . أمثلة: هناك العديد من الأمثلة، وخاصة أي نظرية غير قابلة للتصنيف أو عميقة، مثل نظرية الرسم البياني لرادو .
2. ${\displaystyle \beth _{d+1}(|\alpha +\omega |)}$لبعض الترتيب اللانهائي القابل للعد d . (للحصول على d محدود، انظر الحالة 8.) أمثلة: النظرية مع علاقات التكافؤ E _β لجميع β مع β+1< d ، بحيث تكون كل فئة E _γ عبارة عن اتحاد لعدد لا نهائي من فئات E _β ، وكل فئة E ₀ لانهائية.
3. ${\displaystyle \beth _{d-1}(|\alpha +\omega |^{2^{\aleph _{0}}})}$لبعض الأعداد الترتيبية الموجبة المحدودة d . مثال (عندما d = 1): نظرية المسندات الأحادية المستقلة القابلة للعد.
4. ${\displaystyle \beth _{d-1}(|\alpha +\omega |^{\aleph _{0}}+\beth _{2})}$لبعض القيم الترتيبية الموجبة المحدودة d .
5. ${\displaystyle \beth _{d-1}(|\alpha +\omega |+\beth _{2})}$لبعض القيم الترتيبية الموجبة المحدودة d ؛
6. ${\displaystyle \beth _{d-1}(|\alpha +\omega |^{\aleph _{0}})}$لبعض الأعداد الترتيبية الموجبة المحدودة d . مثال (عندما d = 1): نظرية المسندات الأحادية المنفصلة القابلة للعد.
7. ${\displaystyle \beth _{d-1}(|\alpha +\omega |+\beth _{1})}$لبعض الترتيبات المحدودة d ≥2؛
8. ${\displaystyle \beth _{d-1}(|\alpha +\omega |)}$لبعض القيم الترتيبية الموجبة المحدودة d ؛
9. ${\displaystyle \beth _{d-2}(|\alpha +\omega |^{|\alpha +1|})}$لبعض القيم الترتيبية المحدودة d ≥ 2؛ أمثلة: مشابهة للحالة 2.
10. ${\displaystyle \beth _{2}}$مثال: نظرية الأعداد الصحيحة التي تُنظر إليها على أنها مجموعة أبيلية.
11. ${\displaystyle |(\alpha +1)^{n}/G|-|\alpha ^{n}/G|}$بالنسبة لـ α المحدودة، و|α| بالنسبة لـ α غير المحدودة، حيث G هي زمرة جزئية من الزمرة المتناظرة على n ≥ 2 عنصرًا. هنا، نُعرّف αₙ ^بأنها مجموعة متتاليات طولها n من عناصر مجموعة حجمها α. تؤثر G على ^αₙ عن طريق تبديل عناصر المتتالية، و|αₙ ^/ G | يُمثل عدد دورات هذا التأثير. مثال: نظرية المجموعة ω × n المتأثرة بالضرب الإكليلي لـ G مع جميع تباديل ω.
12. ${\displaystyle 1}$أمثلة: النظريات التي تكون فئوية في أعداد أصلية غير قابلة للعد، مثل نظرية الحقول المغلقة جبريًا في خاصية معينة.
13. ${\displaystyle 0}$أمثلة: النظريات ذات النموذج المحدود، والنظرية غير المتسقة.

علاوة على ذلك، فإن جميع الاحتمالات المذكورة أعلاه تحدث كجزء من نظرية كاملة قابلة للعد.

يمثل الرقم d في القائمة أعلاه عمق النظرية. إذا كانت T نظرية، فإننا نُعرّف نظرية جديدة 2T ^بأنها النظرية التي لها علاقة تكافؤ بحيث يوجد عدد لا نهائي من فئات التكافؤ، كل منها نموذج لـ T. كما نُعرّف النظريات.${\displaystyle \beth _{n}(T)}$بواسطة${\displaystyle \beth _{0}(T)=T}$،${\displaystyle \beth _{n+1}(T)=2^{\beth _{n}(T)}}$. ثم ${\displaystyle I(\beth _{n}(T),\lambda )=\min(\beth _{n}(I(T,\lambda )),2^{\lambda })}$. يمكن استخدام هذا لإنشاء أمثلة على النظريات ذات الأطياف في القائمة أعلاه للقيم غير الدنيا لـ d من أمثلة للقيمة الدنيا لـ d .

• طيف الجملة

• سي سي تشانغ ، إتش جيه كيسلر ، نظرية النموذج . رقم ISBN 0-7204-0692-7
• ساهارون شيلاه ، "نظرية التصنيف وعدد النماذج غير المتماثلة"، دراسات في المنطق وأسس الرياضيات ، المجلد 92، IX، 1.19، ص.49 (نورث هولاند، 1990).
• هارت، براد؛ هروشوفسكي، إيهود؛ لاسكوفسكي، مايكل سي. (2000). "الأطياف غير القابلة للعد للنظريات القابلة للعد". حوليات الرياضيات . 152 (1): 207-257 . arXiv : math/0007199 . Bibcode : 2000math......7199H . doi : 10.2307/2661382 . JSTOR 2661382 . 
• براد هارت، مايكل سي. لاسكوفسكي، "مسح للأطياف غير القابلة للعد للنظريات القابلة للعد"، نظرية النموذج الجبري ، حرره هارت، لاكلان، فاليريوت (سبرينغر، 1997). ISBN 0-7923-4666-1