منتج إكليل الزهور

في نظرية الزمر ، يُعدّ الضرب الإكليلي تركيبًا خاصًا لزمرتين، قائمًا على الضرب شبه المباشر . ويتشكل هذا الضرب بفعل إحدى الزمر على نسخ متعددة من الزمرة الأخرى، وهو ما يُشابه إلى حد ما عملية الأسس . تُستخدم الضربات الإكليلية في تصنيف زمر التبديل ، كما تُتيح طريقةً لبناء أمثلة مثيرة للاهتمام للزمر.

بالنظر إلى مجموعتين${\displaystyle A}$و${\displaystyle H}$(يُعرف أحيانًا باسم الجزء السفلي والعلوي ^{[ 1 ]} )، يوجد نوعان من منتج الإكليل: منتج الإكليل غير المقيد${\displaystyle A{\text{ Wr }}H}$ومنتج إكليل الزهور المقيد${\displaystyle A{\text{ wr }}H}$الشكل العام، ويرمز إليه بـ${\displaystyle A{\text{ Wr}}_{\Omega }H}$أو${\displaystyle A{\text{ wr}}_{\Omega }H}$على التوالي، يتطلب ذلك أن${\displaystyle H}$يؤدي أدوارًا في بعض مواقع التصوير$أوميغا$؛ عندما لا يتم تحديدها، عادةً${\displaystyle \Omega =H}$( منتج إكليل عادي )، على الرغم من أنه مختلف$أوميغا$يُفهم ذلك ضمنيًا في بعض الأحيان. ويتطابق المتغيران عندما${\displaystyle A}$،${\displaystyle H}$، و$أوميغا$جميعها محدودة. ويُشار إلى أي من المتغيرين أيضًا باسم${\displaystyle A\wr H}$(مع \wr لرمز LaTeX) أو A  ≀ H ( Unicode U+2240). 

يتعمم هذا المفهوم ليشمل أنصاف المجموعات ، وعلى هذا النحو، فهو بناء مركزي في نظرية بنية كروهن-رودس لأنصاف المجموعات المنتهية.

يترك${\displaystyle A}$كونوا مجموعة ودعوا${\displaystyle H}$كن مجموعة تمثل على مجموعة$أوميغا$(على اليسار). المنتج المباشر${\displaystyle A^{\Omega }}$ل${\displaystyle A}$مع فهرسة نفسها بواسطة$أوميغا$هي مجموعة المتتاليات${\displaystyle {\overline {a}}=(a_{\omega })_{\omega \in \Omega }}$في${\displaystyle A}$مفهرسة بواسطة$أوميغا$، مع عملية جماعية تُعطى بالضرب النقطي. فعل${\displaystyle H}$على$أوميغا$ويمكن توسيع نطاق ذلك ليشمل إجراءً على${\displaystyle A^{\Omega }}$عن طريق إعادة الفهرسة ، أي عن طريق التعريف

${\displaystyle h\cdot (a_{\omega })_{\omega \in \Omega }:=(a_{h^{-1}\cdot \omega })_{\omega \in \Omega }}$

للجميع${\displaystyle h\in H}$وكل شيء${\displaystyle (a_{\omega })_{\omega \in \Omega }\in A^{\Omega }}$.

ثم منتج إكليل الزهور غير المقيد${\displaystyle A{\text{ Wr}}_{\Omega }H}$ل${\displaystyle A}$بواسطة${\displaystyle H}$هو المنتج شبه المباشر${\displaystyle A^{\Omega }\rtimes H}$بفعل${\displaystyle H}$على${\displaystyle A^{\Omega }}$المذكور أعلاه. المجموعة الفرعية${\displaystyle A^{\Omega }}$ل${\displaystyle A^{\Omega }\rtimes H}$يُطلق عليه اسم قاعدة منتج الإكليل.

منتج إكليل الزهور المقيد${\displaystyle A{\text{ wr}}_{\Omega }H}$يتم بناؤه بنفس طريقة ضرب الإكليل غير المقيد، باستثناء استخدام المجموع المباشر كأساس لضرب الإكليل. في هذه الحالة، يتكون الأساس من جميع المتتاليات في${\displaystyle A^{\Omega }}$مع عدد محدود من المدخلات غير المحايد . يتطابق التعريفان عندما$أوميغا$محدود.

في الحالة الأكثر شيوعاً،${\displaystyle \Omega =H}$، و${\displaystyle H}$تُطبَّق العملية على نفسها بالضرب من اليسار. في هذه الحالة، يمكن الإشارة إلى ناتج ضرب الإكليل غير المقيد والمقيد بـ${\displaystyle A{\text{ Wr }}H}$و${\displaystyle A{\text{ wr }}H}$على التوالي. وهذا ما يسمى منتج إكليل الزهور العادي .

هيكل منتج إكليل الزهور${\displaystyle A}$بواسطة${\displaystyle H}$يعتمد على${\displaystyle H}$-تعيين$أوميغا$وفي حالة$أوميغا$يعتمد عدد العناصر غير المحدود أيضًا على ما إذا كان المنتج المستخدم هو منتج إكليل مقيد أو غير مقيد. مع ذلك، قد تكون الرموز المستخدمة في الأدبيات غير دقيقة، لذا يجب مراعاة الظروف.

• في الأدب،${\displaystyle A\wr _{\Omega }H}$قد يرمز إلى منتج إكليل الزهور غير المقيد${\displaystyle A\operatorname {Wr} _{\Omega }H}$أو منتج إكليل الزهور المقيد${\displaystyle A\operatorname {wr} _{\Omega }H}$.
• في الأدب، الـ${\displaystyle H}$-تعيين${\displaystyle \Omega }$يمكن حذفها من الترميز حتى لو${\displaystyle \Omega \neq H}$.
• في الحالة الخاصة التي${\displaystyle H=S_{n}}$هي المجموعة المتناظرة من الدرجة${\displaystyle n}$من الشائع في الأدبيات افتراض أن${\displaystyle \Omega =\{1,\dots ,n\}}$(مع التأثير الطبيعي لـ${\displaystyle S_{n}}$) ثم احذف${\displaystyle \Omega }$من خلال الترميز. أي،${\displaystyle A\wr S_{n}}$يشير عادةً${\displaystyle A\wr _{\{1,\dots ,n\}}S_{n}}$بدلاً من منتج إكليل الزهور العادي${\displaystyle A\wr _{S_{n}}S_{n}}$في الحالة الأولى، تكون المجموعة الأساسية هي ناتج ضرب${\displaystyle n}$نسخ من${\displaystyle A}$أما في الحالة الأخيرة، فهو ناتج عن n ! نسخة من${\displaystyle A}$.

إذا كانت المجموعة${\displaystyle A}$يؤدي أدوارًا في موقع تصوير${\displaystyle \Lambda }$ثم هناك طريقتان أساسيتان لإنشاء المجموعات من${\displaystyle \Omega }$و${\displaystyle \Lambda }$على أي${\displaystyle A\operatorname {Wr} _{\Omega }H}$(وبالتالي أيضًا)${\displaystyle A\operatorname {wr} _{\Omega }H}$) يمكنه التصرف.

• تأثير منتج إكليل الزهور البدائي على${\displaystyle \Lambda \times \Omega }$:

  لو${\displaystyle ((a_{\omega }),h)\in A\operatorname {Wr} _{\Omega }H}$و${\displaystyle (\lambda ,\omega ')\in \Lambda \times \Omega }$، ثم

  ${\displaystyle ((a_{\omega }),h)\cdot (\lambda ,\omega '):=(a_{h(\omega ')}\lambda ,h\omega ').}$

• تأثير منتج إكليل الزهور البدائي على${\displaystyle \Lambda ^{\Omega }}$:

  عنصر في${\displaystyle \Lambda ^{\Omega }}$هو تسلسل${\displaystyle (\lambda _{\omega })}$مفهرسة بواسطة${\displaystyle H}$-تعيين${\displaystyle \Omega }$. بالنظر إلى عنصر${\displaystyle ((a_{\omega }),h)\in A\operatorname {Wr} _{\Omega }H}$، وعمليتها على${\displaystyle (\lambda _{\omega })\in \Lambda ^{\Omega }}$يُعطى بواسطة

  ${\displaystyle ((a_{\omega }),h)\cdot (\lambda _{\omega }):=(a_{h^{-1}\omega }\lambda _{h^{-1}\omega }).}$

• مجموعة مصابيح الإضاءة هي منتج إكليل الزهور المقيد${\displaystyle C_{2}\wr \mathbb {Z} }$.
• المجموعة المتناظرة المعممة هي${\displaystyle C_{m}\wr S_{n}}$أساس هذا المنتج من الأكاليل هو${\displaystyle n}$منتج مباشر قابل للطي${\displaystyle C_{m}^{n}=C_{m}\times \cdots \times C_{m}}$، حيث يكون الفعل${\displaystyle \phi :S_{n}\to {\text{Aut}}(C_{m}^{n})}$من المجموعة المتناظرة${\displaystyle S_{n}}$يُعطى بواسطة${\displaystyle \phi (\sigma )(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})=(\alpha _{\sigma (1)},\dots ,\alpha _{\sigma (n)})}$[ ^{5 ]​}
  • كحالة خاصة، لدينا مجموعة الهايبر أوكتاهيدرال${\displaystyle S_{2}\wr S_{n}}$(منذ${\displaystyle S_{2}}$متماثل مع${\displaystyle C_{2}}$). ^{[ 6 ]}
• أصغر منتج إكليل غير تافه هو${\displaystyle C_{2}\wr C_{2}}$وهي الحالة ثنائية الأبعاد لمجموعة السطوح الثمانية الفائقة المذكورة أعلاه. وهي مجموعة التناظر للمربع، وتسمى أيضًا${\displaystyle D_{8}}$، المجموعة ثنائية السطوح من الرتبة 8.
• يترك${\displaystyle p}$كن رئيسًا للوزراء ودع${\displaystyle n\geq 1}$. يترك${\displaystyle P}$ليكن زمرة سيلو p- جزئية من المجموعة المتناظرة${\displaystyle S_{p^{n}}}$. ثم${\displaystyle P}$متماثل مع ناتج إكليل الزهور المنتظم المتكرر${\displaystyle W_{n}=C_{p}\wr \cdots \wr C_{p}}$ل${\displaystyle n}$نسخ من${\displaystyle C_{p}}$. هنا${\displaystyle W_{1}=C_{p}}$و${\displaystyle W_{k}=W_{k-1}\wr C_{p}}$للجميع${\displaystyle k\geq 2}$^{[ 7 ] [ 8 ]} على سبيل المثال ، المجموعة الفرعية 2 من سيلو لـ${\displaystyle S_{4}}$هل ما سبق صحيح؟${\displaystyle C_{2}\wr C_{2}}$مجموعة.
• مجموعة مكعب روبيك هي مجموعة فرعية طبيعية ذات دليل 12 في حاصل ضرب الأكاليل،${\displaystyle (C_{3}\wr S_{8})\times (C_{2}\wr S_{12})}$، العوامل المقابلة لتناظرات الزوايا الثمانية والحواف الاثنتي عشرة.
• تحتوي مجموعة تحويلات الحفاظ على صحة سودوكو (VPT) على ناتج الإكليل المزدوج${\displaystyle (S_{3}\wr S_{3})\wr S_{2}}$حيث تمثل العوامل تبديل الصفوف/الأعمدة داخل نطاق أو مكدس مكون من 3 صفوف أو 3 أعمدة (${\displaystyle S_{3}}$) تبديل الحزم/المجموعات نفسها (${\displaystyle S_{3}}$) والتبديل، الذي يبدل بين الأشرطة والمجموعات (${\displaystyle S_{2}}$هنا، مجموعتا الفهرس${\displaystyle \Omega _{1},\Omega _{2}}$أولاً، هي مجموعة من النطاقات (أو الأكوام)، لذا${\displaystyle |\Omega _{1}|=3}$وثانيًا، المجموعة {الأشرطة، الأكوام} (لذا${\displaystyle |\Omega _{2}|=2}$). وفقاً لذلك،${\displaystyle |S_{3}\wr S_{3}|=|S_{3}|^{3}|S_{3}|=6^{4}}$و${\displaystyle |(S_{3}\wr S_{3})\wr S_{2}|=|S_{3}\wr S_{3}|^{2}|S_{2}|=6^{8}\times 2}$.
• تنشأ نواتج الإكليل بشكل طبيعي في تناظرات الأشجار الجذرية الكاملة ورسومها البيانية . على سبيل المثال، ناتج الإكليل المتكرر (المتكرر)${\displaystyle S_{2}\wr S_{2}\wr \cdots \wr S_{2}}$هي مجموعة التشاكل الذاتي لشجرة ثنائية كاملة .

• منتج إكليل الزهور في موسوعة الرياضيات .
• تشارلز ويلز، "بعض تطبيقات صناعة منتجات الأكاليل" ، نسخة منقحة.