تخمين فاوغت

حدسية فوغت هي حدسية في مجال نظرية النماذج الرياضية ^_، اقترحها روبرت لوسون فوغت عام 1961. تنص هذه الحدسية على أن عدد النماذج القابلة للعد لنظرية كاملة من الدرجة الأولى في لغة قابلة للعد هو عدد محدود أو ℵ₀ _أو 2ℵ₀ ^. أثبت مورلي أن عدد النماذج القابلة للعد هو عدد محدود أو ℵ₀ _{^أو ℵ₁} أو _2ℵ₀ ، ^وهو ما يحل الحدسية باستثناء حالة نماذج ℵ₁ _حيث تفشل فرضية الاستمرارية . في هذه الحالة المتبقية، أعلن روبن نايت ( 2002 ، 2007 ) عن مثال مضاد لحدسية فوغت وحدسية فوغت الطوبولوجية . وحتى عام 2021، لم يتم التحقق من هذا المثال المضاد. 

يترك${\displaystyle T}$لتكن نظرية من الدرجة الأولى، قابلة للعد، وكاملة ذات نماذج لا نهائية.${\displaystyle I(T,\alpha )}$يشير إلى عدد نماذج T ذات العددية${\displaystyle \alpha }$حتى التماثل - طيف النظرية${\displaystyle T}$أثبت مورلي أنه إذا كانت I ( T ,  ℵ₀ ) لانهائية _، فلا بد أن تكون ℵ₀ _أو ℵ₁ _أو عدد عناصر المتصل . وتنص حدسية فوغت على أنه من غير الممكن لـ${\displaystyle \aleph _{0}<I(T,\aleph _{0})<2^{\aleph _{0}}}$تُعدّ هذه الفرضية نتيجةً بديهيةً لفرضية الاستمرارية ؛ لذا غالبًا ما يُستبعد هذا المُسلّم به في الدراسات المتعلقة بهذه الفرضية. وبدلاً من ذلك، توجد صيغةٌ أدقّ للفرضية تنصّ على أن أيّ فضاء T كامل قابل للعدّ ، يحتوي على عددٍ غير قابل للعدّ من النماذج القابلة للعدّ، سيحتوي على مجموعةٍ كاملةٍ من النماذج غير القابلة للعدّ (كما أشار جون ستيل في "حول فرضية فوغت"، ندوة كابال 76-77 (وقائع ندوة كالتيك-يو سي إل إيه للمنطق، 1976-1977)، الصفحات  193-208، سلسلة محاضرات في الرياضيات، 689، سبرينغر، برلين، 1978، وهذه الصيغة من فرضية فوغت قابلةٌ للإثبات بنفس طريقة الصيغة الأصلية).

أثبت فاوغت أن عدد النماذج القابلة للعد لنظرية كاملة لا يمكن أن يكون 2. يمكن أن يكون أي عدد محدود آخر غير 2، على سبيل المثال:

• أي نظرية كاملة ذات نموذج محدود لا تحتوي على نماذج لا نهائية قابلة للعد.
• النظريات التي تحتوي على نموذج واحد قابل للعد هي النظريات الفئوية ω . وهناك العديد من الأمثلة على ذلك، مثل نظرية المجموعة اللانهائية، أو نظرية النظام الكلي الكثيف غير المحدود .
• قدم إهرنفويشت المثال التالي لنظرية بثلاثة نماذج قابلة للعد: اللغة لها علاقة ≥ وعدد قابل للعد من الثوابت c ₀ ، c ₁ ، ... مع بديهيات تنص على أن ≥ هو ترتيب كلي كثيف غير محدود، و c ₀ < c ₁ < c ₂ < ... تختلف النماذج الثلاثة وفقًا لما إذا كان هذا التسلسل غير محدود، أو متقاربًا ، أو محدودًا ولكنه لا يتقارب.
• يمكن تعديل مثال إهرنفويشت لتقديم نظرية ذات عدد محدود n  ≥  3 من النماذج، وذلك بإضافة n − 2 علاقة أحادية P _{_i} إلى اللغة، مع بديهيات تنص على أنه لكل x، تكون إحدى العلاقات P_{_i} صحيحة، وأن قيم y التي تكون عندها P _{_i} ( y ) صحيحة تكون كثيفة، وأن P _{_i} صحيحة لجميع c_{_i} . عندئذٍ، تنقسم النماذج التي يتقارب فيها تسلسل العناصر c _{_i} إلى حد c إلى n − 2 حالة، وذلك اعتمادًا على قيمة i التي تكون عندها العلاقة P _{_i} ( c ) صحيحة.    

تتلخص فكرة برهان نظرية فوغت فيما يلي: إذا كان عدد النماذج القابلة للعد على الأكثر عددًا قابلًا للعد، فسيكون هناك نموذج أصغر: النموذج الذري ، ونموذج أكبر: النموذج المشبع ، وهما مختلفان إذا كان هناك أكثر من نموذج. إذا كانا مختلفين، فلا بد أن يحقق النموذج المشبع نوعًا من النوع n محذوفًا من النموذج الذري. عندئذٍ، يمكن إثبات أن نموذجًا ذريًا لنظرية البنى يحقق هذا النوع n (بلغة موسعة بعدد محدود من الثوابت) هو نموذج ثالث، غير متماثل مع أي من النموذج الذري أو النموذج المشبع. في المثال أعلاه بثلاثة نماذج، النموذج الذري هو النموذج الذي تكون فيه المتتالية غير محدودة، والنموذج المشبع هو النموذج الذي تتقارب فيه المتتالية، ومثال على نوع لا يحققه النموذج الذري هو عنصر أكبر من جميع عناصر المتتالية.

تنصّ حدسية فوغت الطوبولوجية على أنه كلما أثرت زمرة بولندية بشكل متصل على فضاء بولندي ، فإن عدد المدارات إما أن يكون قابلاً للعد أو متصلاً. وتُعدّ حدسية فوغت الطوبولوجية أعمّ من حدسية فوغت الأصلية: فبمعرفة لغة قابلة للعد، يمكننا تكوين فضاء جميع البنى على الأعداد الطبيعية لتلك اللغة. وإذا ما زوّدنا هذا الفضاء بالطوبولوجيا المولدة بواسطة صيغ الرتبة الأولى، فإنه من المعروف، استنادًا إلى بحث أ. غريغورتشيك ، أ. موستوفسكي ، س. ريل-ناردزيفسكي ، بعنوان "قابلية تعريف مجموعات نماذج النظريات البديهية" ( نشرة الأكاديمية البولندية للعلوم (سلسلة الرياضيات، علم الفلك، الفيزياء) ، المجلد 9 (1961)، الصفحات 163-167)، أن الفضاء الناتج هو فضاء بولندي. يوجد تأثير مستمر للمجموعة المتناظرة اللانهائية (مجموعة جميع تباديل الأعداد الطبيعية ذات طوبولوجيا التقارب النقطي) يُؤدي إلى علاقة التكافؤ التشاكلي. وبالنظر إلى نظرية كاملة من الرتبة الأولى T ، فإن مجموعة البنى التي تُحقق T هي مجموعة دنيا مغلقة ثابتة ، وبالتالي فهي بولندية في حد ذاتها. 

• طيف نظرية
• نظرية مورلي للتصنيف

• نايت، آر دبليو (2002)، فرضية فوغت: مثال مضاد ، مخطوطة
• نايت، آر دبليو (2007)، "فئات الفضاءات الطوبولوجية والنظريات المبعثرة" ، مجلة نوتردام للمنطق الصوري ، 48 (1): 53-77 ، doi : 10.1305/ndjfl/1172787545 ، ISSN 0029-4527 ، MR 2289897  
• آر. فوت، "نماذج قابلة للعد لنظريات كاملة"، الأساليب اللانهائية (وقائع ندوة أسس الرياضيات، وارسو، 1959) وارسو/مطبعة بيرغامون (1961) ص  303-321
• هارينغتون، ليو ؛ ماكاي، مايكل ؛ شيلاه، ساهارون (1984)، "برهان على حدسية فوغت لنظريات ω-المستقرة"، مجلة إسرائيل للرياضيات ، 49 ( 1-3 ): 259-280 ، doi : 10.1007/BF02760651
• ماركر، ديفيد (2002)، نظرية النماذج: مقدمة ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  217، نيويورك، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 0-387-98760-6، Zbl 1003.03034