نظرية الإحصاء الدوراني

الموسوعة الحرة

تثبت نظرية الإحصاء الدوراني أن العلاقة الملحوظة بين الدوران الجوهري للجسيم ( الزخم الزاوي غير الناتج عن الحركة المدارية) وإحصاءات الجسيمات الكمومية لمجموعات من هذه الجسيمات هي نتيجة لرياضيات ميكانيكا الكم .

وفقًا للنظرية، فإن دالة الموجة متعددة الأجسام للجسيمات الأولية ذات اللف المغزلي الصحيح ( البوزونات ) تكون متناظرة عند تبادل أي جسيمين، بينما تكون دالة الموجة للجسيمات ذات اللف المغزلي نصف الصحيح ( الفرميونات ) غير متناظرة عند هذا التبادل. ومن نتائج هذه النظرية أن الجسيمات غير المتفاعلة ذات اللف المغزلي الصحيح تخضع لإحصاءات بوز-أينشتاين ، بينما تخضع تلك ذات اللف المغزلي نصف الصحيح لإحصاءات فيرمي-ديراك . [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]

خلفية

تُعدّ إحصائيات الجسيمات غير القابلة للتمييز من أهمّ الظواهر الفيزيائية الأساسية. ويتحكّم مبدأ استبعاد باولي - الذي ينصّ على أن كل حالة كمومية مشغولة تحتوي على فرميون واحد على الأكثر - في تكوين المادة. فالوحدات البنائية الأساسية للمادة، مثل البروتونات والنيوترونات والإلكترونات ، هي فرميونات. في المقابل، تُعدّ الفوتونات والجسيمات الأخرى التي تتوسط القوى بين جسيمات المادة، بوزونات. وتحاول نظرية الإحصاء الدوراني تفسير أصل هذا التباين الأساسي. [ 4 ] : ​​4  

ببساطة، قد لا يكون لللف المغزلي، وهو خاصية الزخم الزاوي المتأصلة في الجسيم، أي علاقة بالخصائص الأساسية لمجموعة من هذه الجسيمات. مع ذلك، فإن هذه الجسيمات متطابقة تمامًا: أي تنبؤ فيزيائي يربط بين جسيمات متعددة متطابقة لا يتغير عند تبادل هذه الجسيمات.

الحالات الكمومية والجسيمات غير القابلة للتمييز

في النظام الكمومي، تُوصف الحالة الفيزيائية بمتجه حالة . يكون زوج من متجهات الحالة المختلفة متكافئًا فيزيائيًا إذا اختلفا فقط بمعامل طور إجمالي، مع إهمال التفاعلات الأخرى. يمتلك زوج من الجسيمات غير القابلة للتمييز، مثل هذا الزوج، حالة واحدة فقط. هذا يعني أنه إذا تم تبديل مواقع الجسيمات (أي إذا خضعت لتبديل)، فإن هذا لا يُحدد حالة فيزيائية جديدة، بل حالة مطابقة للحالة الفيزيائية الأصلية. في الواقع، لا يمكن تحديد موقع أي جسيم.

على الرغم من أن الحالة الفيزيائية لا تتغير عند تبادل مواقع الجسيمات، إلا أنه من الممكن أن يتغير متجه الحالة إشارته نتيجةً لهذا التبادل. ولأن هذا التغير في الإشارة هو مجرد طور عام، فإنه لا يؤثر على الحالة الفيزيائية.

العنصر الأساسي في إثبات علاقة الإحصاء باللف المغزلي هو النسبية، أي أن القوانين الفيزيائية لا تتغير تحت تحويلات لورنتز . وتتحول مؤثرات المجال تحت تحويلات لورنتز وفقًا لللف المغزلي للجسيم الذي تُنشئه، بحسب التعريف.

بالإضافة إلى ذلك، فإنّ الافتراض (المعروف بالسببية الجزئية) بأنّ الحقول المنفصلة مكانيًا إما تتبادل أو تتضاد لا يمكن تطبيقه إلا على النظريات النسبية ذات البعد الزمني. وإلا، فإنّ مفهوم كونها مكانية يصبح بلا معنى. مع ذلك، يتطلب البرهان النظر إلى نسخة إقليدية من الزمكان، حيث يُعامل البعد الزمني كبعد مكاني، كما سيتم توضيحه لاحقًا.

تشمل تحويلات لورنتز الدورانات ثلاثية الأبعاد والتحويلات الانتقالية . ينقل التحويل الانتقالي الإطار المرجعي إلى إطار مرجعي بسرعة مختلفة، وهو رياضيًا يُشبه الدوران في الزمن. من خلال الاستمرار التحليلي لدوال الارتباط في نظرية الحقل الكمومي، قد يصبح الإحداثي الزمني تخيليًا ، وعندها تتحول التحويلات الانتقالية إلى دورانات. يمتلك "الزمكان" الجديد اتجاهات مكانية فقط، ويُسمى الزمكان الإقليدي .

التناظر التبادلي أو تناظر التبديل

البوزونات هي جسيمات تكون دالتها الموجية متناظرة عند تبادلها، لذا إذا بدلنا الجسيمات، لا تتغير الدالة الموجية. أما الفرميونات فهي جسيمات تكون دالتها الموجية غير متناظرة، لذا عند تبادلها تصبح الدالة الموجية سالبة، مما يعني أن سعة وجود فرميونين متطابقين في الحالة نفسها تساوي صفرًا. هذا هو مبدأ استبعاد باولي : لا يمكن لفرميونين متطابقين أن يشغلا الحالة نفسها. لا ينطبق هذا المبدأ على البوزونات.

في نظرية الحقل الكمومي، تُوصف الحالة أو الدالة الموجية بمؤثرات حقلية تعمل على حالة أساسية تُسمى الفراغ . ولكي تتمكن هذه المؤثرات من إسقاط المكون المتناظر أو غير المتناظر للدالة الموجية المُنشئة، يجب أن تخضع لقانون التبادل المناسب.

∬ψ(x،y)ϕ(x)ϕ(y)دxدy{\displaystyle \iint \psi (x,y)\phi (x)\phi (y)\,dx\,dy}

(معϕ{\displaystyle \phi }مشغل وψ(x،y){\displaystyle \psi (x,y)}دالة عددية ذات قيم مركبة) تُنشئ حالة جسيمين بدالة موجيةψ(x،y){\displaystyle \psi (x,y)}واعتمادًا على خصائص التبادل للحقول، إما أن الأجزاء غير المتناظرة فقط هي المهمة أو الأجزاء المتناظرة.

لنفترض أنx≠y{\displaystyle x\neq y}ويحدث العاملان في نفس الوقت؛ وبشكل عام، قد يكون بينهما فصل مكاني ، كما هو موضح فيما يلي.

إذا كانت الحقول تبادلية ، فهذا يعني أن ما يلي صحيح:

ϕ(x)ϕ(y)=ϕ(y)ϕ(x)،{\displaystyle \phi (x)\phi (y)=\phi (y)\phi (x),}

ثم الجزء المتناظر فقط منψ{\displaystyle \psi }يساهم، بحيثψ(x،y)=ψ(y،x){\displaystyle \psi (x,y)=\psi (y,x)}وسيؤدي هذا المجال إلى توليد جسيمات بوزونية.

من ناحية أخرى، إذا كانت الحقول مضادة للتبادل ، فهذا يعني أنϕ{\displaystyle \phi }يمتلك الخاصية التي

ϕ(x)ϕ(y)=-ϕ(y)ϕ(x)،{\displaystyle \phi (x)\phi (y)=-\phi (y)\phi (x),}

ثم الجزء غير المتناظر فقط منψ{\displaystyle \psi }يساهم، بحيثψ(x،y)=-ψ(y،x){\displaystyle \psi (x,y)=-\psi (y,x)}وستكون الجسيمات فرميونية.

البراهين

لا يمكن تقديم شرح مبسط لنظرية الإحصاء الدوراني على الرغم من سهولة صياغتها. في محاضرات فاينمان في الفيزياء ، قال ريتشارد فاينمان إن هذا ربما يعني أننا لا نملك فهمًا كاملاً للمبدأ الأساسي الذي تقوم عليه. [ 5 ]

نُشرت العديد من البراهين البارزة، مع أنواع مختلفة من القيود والافتراضات. جميعها "براهين سلبية"، أي أنها تُثبت أن حقول اللف المغزلي الصحيحة لا يمكن أن تُؤدي إلى إحصاءات الفرميونات، بينما حقول اللف المغزلي نصف الصحيحة لا يمكن أن تُؤدي إلى إحصاءات البوزونات. [ 4 ] : ​​487

إن البراهين التي تتجنب استخدام أي آلية من آليات نظرية المجال الكمومي النسبية تعاني من عيوب. ويعتمد العديد من هذه البراهين على ادعاء مفاده أن |ψ(α1،α2،α3،...)|2=|P^ψ(α1،α2،α3،...)|2،{\displaystyle |\psi (\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\dots )|^{2}=|{\hat {P}}\psi (\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\dots )|^{2},} حيث المشغلP^{\displaystyle {\hat {P}}}يُبدّل الإحداثيات. ومع ذلك، فإن القيمة الموجودة على الجانب الأيسر تمثل احتمال وجود الجسيم  1 عندر1{\displaystyle r_{1}}، الجسيم  2 فير2{\displaystyle r_{2}}وهكذا دواليك، وبالتالي فهي غير صالحة من الناحية الكمومية بالنسبة للجسيمات غير القابلة للتمييز. [ 6 ] : 567

صاغ ماركوس فيرز ، أحد طلاب فولفغانغ باولي ، أول برهان [ 7 ] عام 1939 ، وأعاد باولي اشتقاقه بطريقة أكثر منهجية في العام التالي. [ 8 ] وفي ملخص لاحق، ذكر باولي ثلاث مسلمات ضمن نظرية الحقل الكمومي النسبية باعتبارها ضرورية لهذه الصيغ من النظرية:

  1. أي حالة تحتوي على جسيمات يكون لها طاقة أعلى من حالة الفراغ .
  2. القياسات المنفصلة مكانيًا لا تؤثر على بعضها البعض (فهي تتبادل).
  3. الاحتمالات الفيزيائية موجبة (مقياس فضاء هيلبرت موجب-محدد).

أغفل تحليلهم تفاعلات الجسيمات الأخرى غير تبادل/مضاد تبادل الحالة. [ 9 ] [ 4 ] : ​​374

في عام 1949، قدم ريتشارد فاينمان نوعًا مختلفًا تمامًا من البراهين [ 10 ] استنادًا إلى استقطاب الفراغ ، والذي انتقده باولي لاحقًا. [ 9 ] [ 4 ] : ​​368. أوضح باولي أن برهان فاينمان اعتمد صراحةً على أول مسلمتين استخدمهما، واستخدم ضمنيًا المسلمة الثالثة من خلال السماح أولًا بالاحتمالات السالبة، ثم رفض نتائج نظرية المجال ذات الاحتمالات الأكبر من واحد.

جاء برهان جوليان شوينجر عام 1950، القائم على ثبات انعكاس الزمن [ 11 ] ، بعد برهان فريدريك بيلينفانت عام 1940، القائم على ثبات اقتران الشحنة، مما أدى إلى ربطه بنظرية CPT التي طورها باولي بشكل أوسع عام 1955. [ 12 ] وقد اتسمت هذه البراهين بصعوبة فهمها. [ 4 ] : ​​393

أدى عمل آرثر وايتمان على وضع بديهيات نظرية الحقل الكمومي إلى نظرية تنص على أن القيمة المتوقعة لحاصل ضرب حقلين،ϕ(x)ϕ(y){\displaystyle \phi (x)\phi (y)}ويمكن مواصلة التحليل ليشمل جميع عمليات الفصل(x-y){\displaystyle (xy)}[ 4 ] : 425 (تتضمن الفرضيتان الأوليان لبراهين حقبة باولي حالة الفراغ والحقول في مواقع منفصلة). سمحت النتيجة الجديدة بتقديم براهين أكثر دقة لنظريات الإحصاء الدوراني بواسطة جيرهارت لودرز وبرونو زومينو [ 13 ] وبيتر بورغوين. [ 4 ] : ​​393 في عام 1957، استنتج ريس جوست نظرية CPT باستخدام نظرية الإحصاء الدوراني، ولم يتطلب برهان بورغوين لنظرية الإحصاء الدوراني في عام 1958 أي قيود على التفاعلات أو على شكل نظريات الحقل. تُعد هذه النتائج من بين أكثر النظريات العملية دقة. [ 14 ] : 529

على الرغم من هذه النجاحات، يقول فاينمان في محاضرته الجامعية عام 1963 التي ناقش فيها العلاقة بين اللف المغزلي والإحصاء: "نعتذر لعدم قدرتنا على تقديم تفسير مبسط لكم". [ 5 ] وقد كرر نوينشفاندر هذا الكلام عام 1994، متسائلاً عما إذا كان هناك أي تقدم، [ 15 ] مما حفز المزيد من البراهين والكتب. [ 4 ] وأشار نشر نوينشفاندر للعلاقة بين اللف المغزلي والإحصاء عام 2013 إلى أن التفسيرات البسيطة لا تزال بعيدة المنال. [ 16 ]

يُعزى أحد الحجج الطوبولوجية البديهية التي تدعم صحة نظرية الإحصاء الدوراني إلى حقيقة أنه عند تمثيل عملية تبادل جسيمين متطابقين لمواقعهما بمخططات الزمكان المناسبة، يمكن أن تكون هذه العملية مكافئة طوبولوجيًا لعملية دوران جسيم واحد من هذا النوع بزاوية 360 درجة. يتصور أحد أشكال هذه الحجة البديهية شريطًا مثبتًا من أحد طرفيه ثم يُلف حلزونيًا بزاوية 360 درجة من الطرف الآخر؛ فعندما يُقرب الطرفان من بعضهما، يتحول الحلزون إلى حلقة. تُكافئ هذه الحلقة طوبولوجيًا مخطط الزمكان لعملية خلق/إفناء البوزيترون والإلكترون، حيث يكون الإلكترون الداخل والإلكترون الخارج جسيمين متطابقين. [ 17 ] [ 18 ]

الاختبارات التجريبية

في عام 1987، اقترح غرينبيرغ وموهاباترا إمكانية وجود انتهاكات طفيفة لنظرية الإحصاء الدوراني. [ 19 ] [ 20 ] وبمساعدة حسابات دقيقة للغاية لحالات ذرة الهيليوم التي تنتهك مبدأ استبعاد باولي ، [ 21 ] بحث ديلاميان، وجيلاسبي، وكيليهر [ 22 ] عن حالة 1s2s 1 S 0 للهيليوم باستخدام مطياف حزمة ذرية. لم يُكلل البحث بالنجاح، حيث بلغ الحد الأعلى 5× 10⁻⁶ .

العلاقة بنظرية تمثيل مجموعة لورنتز

لا تمتلك مجموعة لورنتز تمثيلات وحدوية غير تافهة ذات بُعد محدود. لذا، يبدو من المستحيل إنشاء فضاء هيلبرت تكون فيه جميع الحالات ذات دوران محدود وغير صفري ومعيار موجب وثابت تحت تأثير لورنتز. يتم التغلب على هذه المشكلة بطرق مختلفة تبعًا لإحصائيات دوران الجسيمات.

بالنسبة لحالة الدوران الصحيح، يتم ضبط حالات المعيار السالب (المعروفة باسم "الاستقطاب غير الفيزيائي") على الصفر، مما يجعل استخدام تناظر القياس ضروريًا.

بالنسبة لحالة دوران نصف عدد صحيح، يمكن تجاوز هذه الحجة من خلال وجود إحصاءات فرميونية. [ 23 ]

الجسيمات المركبة

لا تنطبق نظرية الإحصاء الدوراني على الجسيمات الأولية فحسب، بل تنطبق أيضًا على الجسيمات المركبة المُشكَّلة منها، شريطة أن يكون التركيب الداخلي للجسيمات المركبة متطابقًا وأن تظل مترابطة في ظل الشروط المدروسة. يمكن النظر في دالة الموجة متعددة الأجسام للجسيمات المركبة. إذا تم تبادل جميع الجسيمات الأولية المكونة لجسيم مركب واحد مع تلك الموجودة في جسيم مركب آخر في آنٍ واحد، فإن التغير الناتج في إشارة دالة الموجة يتحدد بعدد الفرميونات داخل كل جسيم مركب. في مثل هذه الأنظمة، ينشأ الدوران الكلي للجسيم المركب من الجمع الكمي للزخم الزاوي لمكوناته: إذا كان عدد الفرميونات المكونة زوجيًا، فإن للجسيم المركب دورانًا صحيحًا ويتصرف كبوزون ذي دالة موجة متناظرة؛ وإذا كان العدد فرديًا، فإن الدوران يكون نصف صحيح ويتصرف الجسيم المركب كفيرميون ذي دالة موجة غير متناظرة. [ 24 ] تُعرف هذه النتيجة بنظرية إهرنفست-أوبنهايمر. [ 25 ]

الهادرونات جسيمات دون ذرية مركبة تتكون من كواركات مرتبطة ببعضها البعض بواسطة التفاعل القوي . الكواركات هي فرميونات ذات لف مغزلي يساوي 1/2. تنقسم الهادرونات إلى فئتين رئيسيتين: الباريونات ، التي تتكون من عدد فردي من الكواركات (عادةً ثلاثة)، والميزونات ، التي تتكون من عدد زوجي من الكواركات (عادةً كوارك وكوارك مضاد). الباريونات، مثل البروتونات والنيوترونات ، هي فرميونات بسبب العدد الفردي من الكواركات المكونة لها. أما الميزونات، مثل البيونات ، فهي بوزونات لأنها تحتوي على عدد زوجي من الكواركات. [ 26 ]

يتجلى تأثير الإحصاء الكمومي على الجسيمات المركبة في خصائص الميوعة الفائقة لنظيري الهيليوم، الهيليوم-3 والهيليوم -4 . في الذرات المتعادلة ، يقابل كل بروتون إلكترون واحد، بحيث يكون مجموع عدد البروتونات والإلكترونات زوجيًا دائمًا. لذلك، تتصرف الذرة كفيرميون إذا احتوت على عدد فردي من النيوترونات، وكبوزون إذا كان عدد النيوترونات زوجيًا. يحتوي الهيليوم-3 على نيوترون واحد وهو فيرميون، بينما يحتوي الهيليوم-4 على نيوترونين وهو بوزون. عند درجة حرارة 2.17 كلفن، يخضع الهيليوم-4 لانتقال طوري إلى حالة الميوعة الفائقة التي يمكن فهمها كنوع من مكثفات بوز-أينشتاين. لا تتوفر هذه الآلية مباشرةً للهيليوم-3 الفيرميوني، الذي يبقى سائلًا عاديًا حتى درجات حرارة أقل بكثير. عند درجة حرارة أقل من 2.6 ملي كلفن، يتحول الهيليوم-3 أيضًا إلى حالة الميوعة الفائقة. ويتحقق ذلك بآلية مشابهة للموصلية الفائقة : حيث تتفاعل ذرات الهيليوم-3 أولًا لتكوين أزواج كوبر ، وهي أزواج بوزونية أيضًا، ثم تخضع هذه الأزواج لتكثيف بوز-أينشتاين. [ 27 ] [ 24 ]

على الرغم من أن البوزونات المركبة تُظهر سلوكًا مشابهًا للبوزونات الأولية، إلا أن الطبيعة الفرميونية لمكوناتها تُحدث أحيانًا تأثيرات دقيقة نتيجة لمبدأ استبعاد باولي . هذه التأثيرات تُحد من مدى تقارب البوزونات المركبة، وتكون ذات أهمية خاصة في الأنظمة الكثيفة. ويتم نمذجتها أحيانًا على أنها تفاعلات فعالة بين المركبات. [ 28 ]

الجسيمات شبهية الأنيونات في بعدين

في عام ١٩٨٢، نشر الفيزيائي فرانك ويلكزك بحثًا حول احتمالات وجود جسيمات ذات لف مغزلي كسري، أطلق عليها اسم " أنيونات " لقدرتها على اتخاذ أي لف مغزلي. [ ٢٩ ] وكتب أنه من المتوقع نظريًا ظهورها في الأنظمة منخفضة الأبعاد حيث تقتصر الحركة على أقل من ثلاثة أبعاد مكانية. ووصف ويلكزك إحصائيات لفها المغزلي بأنها "تتوسط باستمرار بين حالتي البوزون والفيرميون المعتادتين". [ ٢٩ ] وقد أصبح هذا التأثير أساسًا لفهم تأثير هول الكمي الكسري . [ ٣٠ ] [ ٣١ ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ ليجيت، أنتوني ج. (2006). السوائل الكمومية: تكثيف بوز واقتران كوبر في أنظمة المادة المكثفة . نصوص الدراسات العليا في أكسفورد. مطبعة جامعة أكسفورد. الصفحات  5، 8-10 . ISBN 978-0-19-171195-4.
  2. ↑ ديراك، بول أدريان موريس (1981-01-01). مبادئ ميكانيكا الكم . مطبعة كلارندون. ص 149. ISBN  9780198520115.
  3. ↑ باولي، فولفغانغ (1980-01-01). المبادئ العامة لميكانيكا الكم . سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 9783540098423.
  4. 1 2 3 4 5 6 7 8 داك، إيان؛ سودارشان، إيناكل تشاندي جورج؛ سودارشان، إي سي جي (1998). باولي ونظرية إحصاءات الدوران (الطبعة الأولى المعاد طباعتها ). سنغافورة: وورلد ساينتيفيك. ISBN  978-981-02-3114-9.
  5. 1 2 فاينمان، ريتشارد ب.؛ روبرت ب. لايتون؛ ماثيو ساندز (1965). محاضرات فاينمان في الفيزياء . المجلد 3. أديسون-ويسلي. ص 4.1. ISBN   978-0-201-02118-9.
  6. ↑ كورسيانو، كاتالينا؛ جيلاسبي، جيه دي؛ هيلبورن، روبرت سي. (2012-07-01). "رسالة مرجعية SS-1: العلاقة بين الدوران والإحصاء" . المجلة الأمريكية للفيزياء . 80 (7): 561-577 . Bibcode : 2012AmJPh..80..561C . doi : 10.1119/1.4704899 . ISSN 0002-9505 . 
  7. ^ ماركوس فيرز (1939). “Über die relativistische Theorie kräftefreier Teilchen mit beliebigem Spin”. هيلفيتيكا فيزيكا اكتا (باللغة الألمانية). 12 (1): 3– 37. بيب كود : 1939AcHPh..12....3F . دوى : 10.5169/الأختام-110930 .
  8. ↑ فولفغانغ باولي (15 أكتوبر 1940). "العلاقة بين اللف المغزلي والإحصاء". مجلة Physical Review . 58 (8): 716–722 . Bibcode : 1940PhRv...58..716P . doi : 10.1103/PhysRev.58.716 .
  9. 1 2 فولفغانغ باولي (1950). "حول العلاقة بين اللف المغزلي والإحصاء" . التقدم في الفيزياء النظرية . 5 (4): 526-543 . Bibcode : 1950PThPh...5..526P . doi : 10.1143/ptp/5.4.526 .
  10. ↑ ريتشارد فاينمان (1961). "نظرية البوزيترونات". الديناميكا الكهربائية الكمية . دار بيسيك بوكس . رقم ISBN 978-0-201-36075-2.{{cite book}}: عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة ) إعادة طبع لمقال فاينمان عام 1949 في مجلة Physical Review.
  11. ↑ جوليان شوينجر (15 يونيو 1951). "النظرية الكمية للحقول 1". مجلة Physical Review . 82 (6): 914-917 . Bibcode : 1951PhRv...82..914S . doi : 10.1103/PhysRev.82.914 . S2CID 121971249 . 
  12. ^ باولي، وولفغانغ (1988). "مبدأ الاستبعاد ومجموعة لورنتز وانعكاس الزمكان والشحنة" . في إنز، تشارلز ب. ضد ماين، كارل (محرران). فولفجانج باولي (في المانيا). فيسبادن: Vieweg+Teubner Verlag. ص 459 – 479. دوى : 10.1007 / 978-3-322-90270-2_41 . رقم ISBN  978-3-322-90271-9.
  13. ↑ لودرز، جيرهارت؛ زومينو، برونو (15 يونيو 1958). "الصلة بين اللف المغزلي والإحصاء" . مجلة Physical Review . 110 (6): 1450-1453 . Bibcode : 1958PhRv..110.1450L . doi : 10.1103/PhysRev.110.1450 . ISSN 0031-899X . 
  14. ↑ بايس، أبراهام (2002). القيد الداخلي: المادة والقوى في العالم المادي (طبعة مُعاد طباعتها ). أكسفورد: مطبعة كلارندون [ua] ISBN  978-0-19-851997-3.
  15. ↑ نوينشفاندر، دوايت إي. (1994-11-01). "السؤال رقم 7. نظرية الإحصاء الدوراني" . المجلة الأمريكية للفيزياء . 62 (11): 972. Bibcode : 1994AmJPh..62..972N . doi : 10.1119/1.17652 . ISSN 0002-9505 . 
  16. ↑ نوينشفاندر، دوايت إي. (28-07-2015). "نظرية الإحصاء الدوراني ودوال توزيع الجسيمات المتطابقة" . الإشعاعات . ص 27. 
  17. ↑ بايز، جون. "الدوران، والإحصاء، ونظرية الاحتمالات الشاملة، وكل ما يتعلق بها" . math.ucr.edu . مؤرشف من الأصل بتاريخ 2026-05-05 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2026-06-25 .
  18. ↑ سيمون، ستيفن هـ. (29-09-2023). "الفصل الثاني: ثابت قوس كوفمان وعلاقته بالفيزياء". الكم الطوبولوجي ( الطبعة الأولى). مطبعة جامعة أكسفورد، أكسفورد. doi : 10.1093/oso/9780198886723.001.0001 . ISBN  978-0-19-888672-3.
  19. ↑ غرينبيرغ، أو دبليو؛ موهاباترا، آر إن (30 نوفمبر 1987). "نظرية الحقل الكمومي المحلي لانتهاك محتمل لمبدأ باولي" . رسائل المراجعة الفيزيائية . 59 (22): 2507-2510 . رمز Bibcode : 1987PhRvL..59.2507G . doi : 10.1103/PhysRevLett.59.2507 . ISSN 0031-9007 . PMID 10035570 .  
  20. ↑ هيلبورن، روبرت سي. (1995-04-01). "إجابة السؤال رقم 7 [ "نظرية الإحصاء الدوراني"، دوايت إي. نوينشفاندر، المجلة الأمريكية للفيزياء 62 (11)، 972 (1994) ] " . المجلة الأمريكية للفيزياء . 63 (4): 298-299 . Bibcode : 1995AmJPh..63..298H . doi : 10.1119/1.17953 . ISSN 0002-9505 .  
  21. ↑ دريك، جي دبليو إف (1989). " التحولات المتوقعة في طاقة الهيليوم "البارونيكي"" . مجلة الفيزياء أ . 39 (2): 897-899 . رمز Bibcode : 1989PhRvA..39..897D . doi : 10.1103/PhysRevA.39.897 . PMID 9901315. S2CID 35775478 .  
  22. ↑ ديلاميان، ك.؛ وآخرون (1995). "البحث عن انتهاكات طفيفة لفرضية التناظر في حالة مثارة للهيليوم". مجلة Physical Review Letters ، 74 (24): 4787-4790 . Bibcode : 1995PhRvL..74.4787D . doi : 10.1103/PhysRevLett.74.4787 . PMID 10058599 .  
  23. ↑ بيسكين، مايكل إي.؛ شرودر، دانيال في. (1995). مقدمة في نظرية الحقل الكمومي . أديسون-ويسلي . ISBN 0-201-50397-2.
  24. 1 2 ليجيت، أ. ج.؛ جافان، ر. (2005-01-01)، "ميكانيكا الكم: الأسس" ، في باساني، فرانكو؛ ليدل، جيرالد ل.؛ وايدر، بيتر (محررون)، موسوعة فيزياء المادة المكثفة ، أكسفورد: إلسيفير، ص 99-108 ، doi : 10.1016/B0-12-369401-9/00616-1 ، ISBN  978-0-12-369401-0تم الاطلاع عليه بتاريخ 13 مارس 2023
  25. ↑ كورسيانو، كاتالينا؛ جيلاسبي، جيه دي؛ هيلبورن، روبرت سي. (2012-07-01). "رسالة مرجعية SS-1: العلاقة بين الدوران والإحصاء" . المجلة الأمريكية للفيزياء . 80 (7): 561-577 . doi : 10.1119/1.4704899 . ISSN 0002-9505 . تاريخ الاسترجاع: 2026-01-20 . 
  26. ↑ أمسلر، سي.؛ وآخرون ( مجموعة بيانات الجسيمات ) (2008). "نموذج الكوارك" (ملف PDF) . رسائل الفيزياء ب . مراجعة فيزياء الجسيمات. 667 (1): 1-6 . Bibcode : 2008PhLB..667....1A . doi : 10.1016/j.physletb.2008.07.018 . hdl : 1854/LU-685594 . 
  27. ↑ ليجيت، أنتوني ج. (2006). السوائل الكمومية: تكثيف بوز واقتران كوبر في أنظمة المادة المكثفة . نصوص الدراسات العليا في أكسفورد. مطبعة جامعة أكسفورد. ص 3-8 . ISBN  978-0-19-171195-4.
  28. ↑ كومبسكو، مونيك؛ كومبسكو، رولاند؛ دوبين، فرانسوا (2017-06-01). "تكثيف بوز-أينشتاين والإكسيتونات غير المباشرة: مراجعة". تقارير عن التقدم في الفيزياء . 80 (6): 066501. Bibcode : 2017RPPh...80f6501C . doi : 10.1088/1361-6633/aa50e3 . ISSN 0034-4885 . PMID 28355164 .  
  29. 1 2 ويلكزك، فرانك (4 أكتوبر 1982). "ميكانيكا الكم للجسيمات ذات اللف المغزلي الكسري" (ملف PDF) . رسائل المراجعة الفيزيائية . 49 (14): 957-959 . Bibcode : 1982PhRvL..49..957W . doi : 10.1103/PhysRevLett.49.957 .
  30. ↑ لافلين، آر بي (1999-07-01). "محاضرة نوبل: التكميم الجزئي" . مراجعات الفيزياء الحديثة . 71 (4): 863-874 . رمز Bibcode : 1999RvMP...71..863L . doi : 10.1103/RevModPhys.71.863 . ISSN 0034-6861 . 
  31. ↑ مورثي، غانباثي؛ شانكار، ر. (2003-10-03). "نظريات هاميلتونية لتأثير هول الكمي الكسري" . مراجعات الفيزياء الحديثة . 75 (4): 1101-1158 . Bibcode : 2003RvMP...75.1101M . doi : 10.1103/RevModPhys.75.1101 . ISSN 0034-6861 . 

للمزيد من القراءة