بديهيات وايتمان

تُوصَف ميكانيكا الكم وفقًا لفون نيومان ؛ وعلى وجه الخصوص، تُعطى الحالات النقية بواسطة الأشعة، أي الفضاءات الفرعية أحادية البعد، لفضاء هيلبرت معقد قابل للفصل . وفيما يلي، يُرمز إلى الجداء القياسي لمتجهي فضاء هيلبرت Ψ و Φ بالرمز Ψ.${\displaystyle \langle \Psi ,\Phi \rangle }$ويُرمز إلى معيار Ψ بـ${\displaystyle \lVert \Psi \rVert }$يمكن تعريف احتمالية الانتقال بين حالتين نقيتين [Ψ] و[Φ] بدلالة متجهات غير صفرية تمثل Ψ وΦ على النحو التالي:

${\displaystyle P{\big ([\Psi ],[\Phi ]{\big )}={\frac {|\langle \Psi ,\Phi \rangle |^{2}}{\lVert \Psi \rVert ^{2}\lVert \Phi \rVert ^{2}}}}$

وهو مستقل عن اختيار المتجهات التمثيلية Ψ و Φ.

تُوصَف نظرية التناظر وفقًا لويغنر. ويعود ذلك إلى نجاح إي. بي. وييغنر في وصف الجسيمات النسبية في بحثه الشهير عام ١٩٣٩؛ انظر تصنيف وييغنر . افترض وييغنر أن احتمالية الانتقال بين الحالات متساوية لجميع المراقبين المرتبطين بتحويل النسبية الخاصة . وبشكل أعم، اعتبر أن عبارة "أن تكون النظرية ثابتة تحت تأثير زمرة G" تُعبَّر عنها بدلالة ثبات احتمالية الانتقال بين أي شعاعين. تفترض هذه العبارة أن الزمرة تؤثر على مجموعة الأشعة، أي على الفضاء الإسقاطي. ليكن ( a , L ) عنصرًا من زمرة بوانكاريه (زمرة لورنتز غير المتجانسة). وبالتالي، فإن a هو متجه لورنتز رباعي حقيقي يمثل تغير أصل الزمكان x ↦ x − a ، حيث x ينتمي إلى فضاء مينكوفسكي M⁴ ^، و L هو تحويل لورنتز ، والذي يمكن تعريفه على أنه تحويل خطي للزمكان رباعي الأبعاد يحافظ على مسافة لورنتز c²t² − x ^⋅ x لكل متجه ( ct , x ). وتكون النظرية ثابتة تحت زمرة بوانكاريه إذا كان لكل شعاع Ψ من فضاء هيلبرت ولكل عنصر من عناصر الزمرة ( ^a , L ) شعاع مُحوَّل Ψ( a , L ) ، ولم يتغير احتمال الانتقال بفعل هذا التحويل.    

${\displaystyle \langle \Psi (a,L),\Phi (a,L)\rangle =\langle \Psi ,\Phi \rangle .}$

تنص نظرية ويغنر على أنه في ظل هذه الشروط، تكون التحويلات على فضاء هيلبرت إما مؤثرات خطية أو مضادة للخطية (وإذا حافظت على المعيار، فهي مؤثرات وحدوية أو مضادة للوحدوية)؛ ويمكن رفع مؤثر التناظر على الفضاء الإسقاطي للأشعة إلى فضاء هيلبرت الأساسي. عند القيام بذلك لكل عنصر من عناصر المجموعة ( a , L )، نحصل على عائلة من المؤثرات الوحدوية أو المضادة للوحدوية U ( a , L ) على فضاء هيلبرت، بحيث يكون الشعاع Ψ المُحوَّل بواسطة ( a , L ) هو نفسه الشعاع الذي يحتوي على U ( a , L )ψ. إذا اقتصرنا على عناصر المجموعة المرتبطة بالعنصر المحايد، فلن تظهر حالة المؤثرات المضادة للوحدوية.    

لنفترض أن ( a , L ) و( b , M ) تحويلان من تحويلات بوانكاريه، ولنرمز إلى حاصل ضربهما في المجموعة بـ ( a , L ) ⋅ ( b , M ) ؛ من التفسير الفيزيائي، نرى أن الشعاع الذي يحتوي على U ( a , L )[ U ( b , M )ψ] يجب (لأي ψ) أن يكون هو الشعاع الذي يحتوي على U (( a , L ) ⋅ ( b , M ))ψ (خاصية التجميع لعملية المجموعة). بالعودة من الأشعة إلى فضاء هيلبرت، قد يختلف هذان المتجهان في الطور (وليس في المعيار، لأننا نختار مؤثرات وحدوية)، والذي يمكن أن يعتمد على عنصري المجموعة ( a , L ) و( b , M )، أي أننا لا نملك تمثيلًا لمجموعة، بل تمثيلًا إسقاطيًا . لا يمكن دائمًا إلغاء هذه الأطوار بإعادة تعريف كل U ( a )، كما هو الحال مع الجسيمات ذات اللف المغزلي 1/2. وقد بيّن ويغنر أن أفضل ما يمكن الحصول عليه لمجموعة بوانكاريه هو      

${\displaystyle U(a,L)U(b,M)=\pm U{\big (}(a,L)\cdot (b,M){\big )},}$

أي أن الطور هو مضاعف لـ${\displaystyle \pi }$بالنسبة للجسيمات ذات اللف المغزلي الصحيح (البيونات، الفوتونات، الجرافيتونات، ...)، يمكن إزالة إشارة ± بتغييرات طورية إضافية، ولكن بالنسبة لتمثيلات اللف المغزلي نصف الفردي، لا يمكننا ذلك، وتتغير الإشارة بشكل غير متصل عند الدوران حول أي محور بزاوية 2π. مع ذلك، يمكننا بناء تمثيل لمجموعة التغطية لمجموعة بوانكاريه ، يُسمى SL(2, C ) غير المتجانس  ؛ يحتوي هذا التمثيل على العناصر ( a , A )، حيث a ، كما في السابق، متجه رباعي، ولكن A الآن مصفوفة مركبة 2 × 2 بمحدد يساوي واحدًا. نرمز إلى المؤثرات الوحدوية التي نحصل عليها بـ U ( a , A )، وهذه تعطينا تمثيلًا متصلًا ووحدويًا وحقيقيًا، حيث تخضع مجموعة U ( a , A ) لقانون المجموعة SL(2, C ) غير المتجانس.      

بسبب تغير الإشارة عند الدوران بزاوية 2π، لا يمكن رصد المؤثرات الهرميتية التي تتحول وفقًا للدوران 1/2، 3/2، إلخ . ويتجلى ذلك في قاعدة الاختيار الفائق أحادي التكافؤ : فالأطوار بين حالات الدوران 0، 1، 2، إلخ، وتلك ذات الدوران 1/2، 3/2، إلخ، غير قابلة للرصد. تُضاف هذه القاعدة إلى عدم إمكانية رصد الطور الكلي لمتجه الحالة. فيما يتعلق بالكميات القابلة للرصد، والحالات | v⟩ ، نحصل على تمثيل U ( a , L ) لمجموعة بوانكاريه على فضاءات فرعية ذات دوران صحيح، و U ( a , A ) لمجموعة SL(2, C ) غير المتجانسة على فضاءات فرعية ذات دوران نصف فردي، والتي تعمل وفقًا للتفسير التالي:   

يُفسَّر التجمع المقابل لـ U ( a , L )| v ⟩ بالنسبة للإحداثيات ${\displaystyle x'=L^{-1}(xa)}$بنفس الطريقة التي يتم بها تفسير مجموعة تتوافق مع | v ⟩ بالنسبة للإحداثيات x ؛ وبالمثل بالنسبة للفضاءات الفرعية الفردية.

مجموعة إزاحات الزمكان تبادلية ، وبالتالي يمكن قطريّة المؤثرات في آنٍ واحد. مولدات هذه المجموعات تعطينا أربعة مؤثرات ذاتية الترافق.${\displaystyle P_{0},P_{j},\ j=1,2,3,}$والتي تتحول تحت المجموعة المتجانسة كمتجه رباعي، يسمى متجه الطاقة والزخم الرباعي .

الجزء الثاني من البديهية الصفرية لوايتمان هو أن التمثيل U ( a , A ) يحقق الشرط الطيفي - وهو أن الطيف المتزامن للطاقة والزخم موجود في المخروط الأمامي: 

${\displaystyle P_{0}\geq 0,\quad P_{0}^{2}-P_{j}P_{j}\geq 0.}$

الجزء الثالث من البديهية هو وجود حالة فريدة، ممثلة بشعاع في فضاء هيلبرت، وهي ثابتة تحت تأثير زمرة بوانكاريه. وتسمى هذه الحالة بالفراغ.

لكل دالة اختبار f ، أي لدالة ذات دعم مضغوط ومشتقات متصلة من أي رتبة، ^{[ 9 ]} توجد مجموعة من المؤثرات${\displaystyle A_{1}(f),\ldots ,A_{n}(f)}$تُعرَّف هذه الحقول، بالإضافة إلى مرافقاتها، على مجموعة فرعية كثيفة من فضاء حالة هيلبرت، تحتوي على الفراغ. الحقول A هي توزيعات معتدلة ذات قيم مؤثرة . يمتد فضاء حالة هيلبرت بواسطة كثيرات حدود الحقل التي تؤثر على الفراغ (شرط الدورية).

تكون الحقول متغيرة تحت تأثير مجموعة بوانكاريه وتتحول وفقًا لتمثيل S لمجموعة لورنتز ، أو SL(2, C ) إذا لم يكن الدوران عددًا صحيحًا: 

${\displaystyle U(a,L)^{\dagger }A(x)U(a,L)=S(L)A{\big (}L^{-1}(xa){\big )}.}$

إذا كانت دعامات حقلين منفصلة بشكل يشبه الفضاء ، فإن الحقلين إما يتبادلان أو يتبادلان عكسيًا.

تُدرس دورية الفراغ وتفرده أحيانًا بشكل منفصل. كما توجد خاصية الاكتمال التقاربي ، وهي أن فضاء حالة هيلبرت يمتد على الفضاءات التقاربية.${\displaystyle H^{\text{in}}}$و${\displaystyle H^{\text{out}}}$، والتي تظهر في مصفوفة التصادم S. الخاصية المهمة الأخرى لنظرية المجال هي فجوة الكتلة ، والتي لا تتطلبها البديهيات - أن طيف الطاقة والزخم يحتوي على فجوة بين الصفر وعدد موجب ما.

في ظل افتراضات تقنية معينة، ثبت أنه يمكن تدوير نظرية الحقل الكمومي الإقليدية باستخدام دوران ويك إلى نظرية حقل كمومي وايتمان، انظر نظرية أوستروالدر-شرادر . تُعد هذه النظرية الأداة الرئيسية لبناء نظريات تفاعلية في البعدين 2 و3 التي تُحقق بديهيات وايتمان.