تحويل لورنتز

يقوم مراقب "ثابت" في الإطار F بتحديد الأحداث باستخدام الإحداثيات t و x و y و z . يتحرك إطار آخر F ′ بسرعة v بالنسبة إلى F ، ويقوم مراقب في هذا الإطار "المتحرك" F ′ بتحديد الأحداث باستخدام الإحداثيات t ′ و x ′ و y ′ و z ′ .

تكون محاور الإحداثيات في كل إطار متوازية ( المحوران x و x ′ متوازيان، والمحوران y و y ′ متوازيان، والمحوران z و z ′ متوازيان)، وتبقى متعامدة، وتكون الحركة النسبية على طول المحورين x و x ′ المتطابقين . عند الزمن t = t ′ = 0 ، تكون نقطة الأصل لكلا نظامي الإحداثيات واحدة، ( x , y , z ) = ( x ′, y ′, z ′) = (0, 0, 0) . بعبارة أخرى، تتطابق الأزمنة والمواقع عند هذه اللحظة. إذا تحققت كل هذه الشروط، يُقال إن نظامي الإحداثيات في التكوين القياسي ، أو متزامنان .

إذا قام مراقب في F بتسجيل حدث t ، x ، y ، z ، فإن مراقبًا في F ′ يسجل نفس الحدث بالإحداثيات ^{[ 15 ].}

حيث v هي السرعة النسبية بين الإطارات في اتجاه المحور x ، و c هي سرعة الضوء ، و $${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$$ ( غاما الصغيرة ) هو عامل لورنتز .

هنا، يُمثل v مُعامل التحويل، وهو قيمة ثابتة عند قيمة تعزيز مُحددة، ولكنه قد يأخذ نطاقًا متصلًا من القيم. في الإعداد المُستخدم هنا، تُشير السرعة النسبية الموجبة v > 0 إلى الحركة على طول الاتجاهات الموجبة للمحور xx ′ ، بينما تُشير السرعة النسبية الصفرية v = 0 إلى انعدام الحركة النسبية، في حين تُشير السرعة النسبية السالبة v < 0 إلى الحركة النسبية على طول الاتجاهات السالبة للمحور xx ′ . لا يُمكن أن تُساوي قيمة السرعة النسبية v أو تتجاوز c ، لذا يُسمح فقط بالسرعات دون سرعة الضوء − c < v < c . النطاق المُقابل لـ γ هو 1 ≤ γ < ∞ .

لا تُعرَّف التحويلات إذا كانت قيمة v خارج هذه الحدود. عند سرعة الضوء ( v = c )، تكون γ لانهائية، وعند سرعات أعلى من سرعة الضوء ( v > c )، تكون γ عددًا مركبًا ، وكلتا الحالتين تجعلان التحويلات غير فيزيائية. إحداثيات المكان والزمان كميات قابلة للقياس، ويجب أن تكون أعدادًا حقيقية.

باعتبارها تحويلاً فعالاً ، يلاحظ المراقب في F ′ أن إحداثيات الحدث قد "تعززت" في الاتجاهات السالبة للمحور xx ′ ، بسبب قيمة − v في التحويلات. وهذا له تأثير مكافئ يتمثل في تعزيز نظام الإحداثيات F ′ في الاتجاهات الموجبة للمحور xx ′ ، بينما لا يتغير الحدث ويتم تمثيله ببساطة في نظام إحداثيات آخر، وهو تحويل سلبي .

يمكن إيجاد العلاقات العكسية ( t ، x ، y ، z بدلالة t ′ ، x ′ ، y ′ ، z ′ ) عن طريق الحل الجبري لمجموعة المعادلات الأصلية. لكن ثمة طريقة أكثر فعالية وهي استخدام المبادئ الفيزيائية. هنا، F ′ هو الإطار "الثابت" بينما F هو الإطار "المتحرك". وفقًا لمبدأ النسبية، لا يوجد إطار مرجعي مميز، لذا يجب أن تأخذ التحويلات من F ′ إلى F نفس شكل التحويلات من F إلى F ′ . الفرق الوحيد هو أن F يتحرك بسرعة -v بالنسبة إلى F ′ (أي أن السرعة النسبية لها نفس المقدار ولكن في اتجاه معاكس). بالتالي ، إذا لاحظ مراقب في F ′ حدثًا t ′ ، x ′ ، y ′ ، z′ ، فإن مراقبًا في F سيلاحظ نفس الحدث بإحداثيات t′، x ′، y′، z ′ .

وتبقى قيمة γ ثابتة. هذه "الحيلة" المتمثلة في عكس اتجاه السرعة النسبية مع الحفاظ على مقدارها، وتبديل المتغيرات المميزة وغير المميزة، تنطبق دائمًا على إيجاد التحويل العكسي لأي دفعة في أي اتجاه. ^{[ 16 ] [ 17 ]}

أحيانًا يكون من الأنسب استخدام β = v / c ( بيتا الصغيرة ) بدلاً من v ، بحيث $${\displaystyle {\begin{aligned}ct'&=\gamma \left(ct-\beta x\right)\,,\\x'&=\gamma \left(x-\beta ct\right)\,,\\\end{aligned}}}$$ مما يُظهر بوضوح أكبر التناظر في التحويل. من النطاقات المسموح بها لـ v وتعريف β ، ينتج أن −1 < β < 1. يُعد استخدام β و γ معيارًا شائعًا في الأدبيات. في حالة الأبعاد المكانية الثلاثة [ ct , x , y , z ] ، حيث يكون التعزيز${\displaystyle \beta }$إذا كان في اتجاه المحور x ، فإن الحالات الذاتية للتحويل هي [1، 1، 0، 0] بقيمة ذاتية${\displaystyle {\sqrt {(1-\beta )/(1+\beta )}}}$، [1، -1، 0، 0] مع القيمة الذاتية${\displaystyle {\sqrt {(1+\beta )/(1-\beta )}}}$، و [0, 0, 1, 0] و [0, 0, 0, 1] ، وهما الأخيرتان بقيمة ذاتية 1.

عندما تصل سرعة التعزيز${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$يكون في اتجاه متجه عشوائي مع متجه التعزيز${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}={\boldsymbol {v}}/c}$، ثم يتم إعطاء التحويل من نظام إحداثيات الزمكان غير المميز إلى نظام إحداثيات مميز بواسطة ^{[ 18 ] [ 19 ]}

$$\begin{bmatrix}ct'{\vphantom {-\gamma \beta _{\text{x}}}}\\x'{\vphantom {1+{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{\text{x}}^{2}}}\\y'{\vphantom {{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{\text{x}}\beta _{\text{y}}}}\\z'{\vphantom {{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{\text{y}}\beta _{\text{z}}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma \beta _{\text{x}}&-\gamma \beta _ {\text{y}}&-\gamma \beta _{\text{z}}\\-\gamma \beta _{\text{x}}&1+{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{\text{x}}^{2}&{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _ {\text{x}}\beta _{\text{y}}&{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{\text{x}}\beta _{\text{z}}\\-\gamma \beta _{\text{y}}&{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{\text{x}}\beta _ {\text{y}}&1+{\frac {\gamma \beta_{\text{y}}^{2}&\frac{\gamma^{2}}{1+\gamma}\beta_{\text{y}}\beta_{\text{z}}\\-\gamma \beta_{\text{z}}&\frac{\gamma^{2}}{1+\gamma}\beta_{\text{x}}\beta_{\text{z}}&\frac{\gamma^{2}}{1+\gamma}\beta_{\text{y}}\beta_{\text{z}}&1+{\frac{\gamma^{2}}{1+\gamma}}\beta_{\text{z}}^{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct{\vphantom {-\gamma \beta _{\text{x}}}}\\x{\vphantom {1+{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{\text{x}}^{2}}}\\y{\vphantom {{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{\text{x}}\beta _{\text{y}}}}\\z{\vphantom {{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{\text{y}}\beta _{\text{z}}}}\end{bmatrix}},}$$

أين يوجد عامل لورنتز${\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-{\boldsymbol {\beta}}^{2}}}}$محدد مصفوفة التحويل هو +1 وأثرها هو${\displaystyle 2(1+\gamma )}$. يُعطى معكوس التحويل بعكس إشارة${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$الكمية${\displaystyle c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$ثابت تحت التحويل: أي${\displaystyle (c^{2}t'^{2}-x'^{2}-y'^{2}-z'^{2})=(c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2})}$.

يمكن أيضًا اشتقاق تحويلات لورنتز بطريقة تُحاكي الدوران الدائري في الفضاء ثلاثي الأبعاد باستخدام الدوال الزائدية . أما بالنسبة للزيادة في اتجاه المحور السيني ، فإن النتائج هي

حيث يُمثل ζ ( زيتا الصغيرة ) مُعاملًا يُسمى السرعة (تُستخدم رموز أخرى عديدة، منها θ و ϕ و φ و η و ψ و ξ ). ونظرًا للتشابه الكبير مع دوران الإحداثيات المكانية في الفضاء ثلاثي الأبعاد في المستويات الديكارتية xy و yz و zx ، يُمكن اعتبار تحويل لورنتز دورانًا زائديًا لإحداثيات الزمكان في المستويات الديكارتية xt و yt و zt في فضاء مينكوفسكي رباعي الأبعاد. يُمثل المُعامل ζ زاوية الدوران الزائدية ، وهي مُماثلة للزاوية العادية للدوران الدائري. يُمكن توضيح هذا التحويل باستخدام مُخطط مينكوفسكي .

تنشأ الدوال الزائدية من الفرق بين مربعي الإحداثيات الزمنية والمكانية في مجال الزمكان، وليس من مجموعهما. ويمكن تصور الدلالة الهندسية للدوال الزائدية بأخذ x = 0 أو ct = 0 في التحويلات. بتربيع النتائج وطرحها، يمكن اشتقاق منحنيات زائدية ذات قيم إحداثيات ثابتة ولكن بتغير ζ ، الذي يحدد خصائص المنحنيات وفقًا للمعادلة. $${\displaystyle \cosh ^{2}\zeta -\sinh ^{2}\zeta =1\,.}$$

وعلى العكس من ذلك، يمكن إنشاء المحورين ct و x لإحداثيات متغيرة ولكن بقيمة ثابتة لـ ζ . التعريف $${\displaystyle \tanh \zeta ={\frac {\sinh \zeta }{\cosh \zeta }}\,,}$$ يُوفر هذا الرابط بين قيمة ثابتة للسرعة وميل محور ct في الزمكان. ومن نتائج هاتين الصيغتين الزائديتين وجود متطابقة تُطابق عامل لورنتز. $${\displaystyle \cosh \zeta ={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\zeta }}}\,.}$$

بمقارنة تحويلات لورنتز من حيث السرعة النسبية والسرعة النسبية، أو باستخدام الصيغ المذكورة أعلاه، تكون العلاقات بين β و γ و ζ هي $${\displaystyle {\begin{align}\beta &=\tanh \zeta \,,\\\gamma &=\cosh \zeta \,,\\\beta \gamma &=\sinh \zeta \,.\end{محاذاة}}}$$

بأخذ معكوس الظل الزائدي نحصل على السرعة$${\displaystyle \zeta =\tanh ^{-1}\beta \,.}$$

بما أن −1 < β < 1 ، فإنه يترتب على ذلك أن −∞ < ζ < ∞ . من العلاقة بين ζ و β ، فإن السرعة الموجبة ζ > 0 تعني الحركة على طول الاتجاهات الموجبة للمحور xx ′ ، والسرعة الصفرية ζ = 0 تعني عدم وجود حركة نسبية، بينما السرعة السالبة ζ < 0 تعني الحركة النسبية على طول الاتجاهات السالبة للمحور xx ′ .

تُحصل التحويلات العكسية عن طريق تبديل الكميات المميزة وغير المميزة لتغيير إطارات الإحداثيات، ونفي السرعة النسبية ζ → − ζ لأن هذا يكافئ نفي السرعة النسبية. لذلك،

يمكن تصور التحويلات العكسية بشكل مماثل من خلال النظر في الحالات التي يكون فيها x ′ = 0 و ct ′ = 0 .

حتى الآن، طُبقت تحويلات لورنتز على حدث واحد . في حالة وجود حدثين، يوجد فاصل مكاني وزمني بينهما. وبناءً على خطية تحويلات لورنتز، يمكن اختيار قيمتين لإحداثيات المكان والزمان، ثم تطبيق تحويلات لورنتز على كل منهما، ثم طرحهما للحصول على تحويلات لورنتز للفروق بينهما. $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta t'&=\gamma \left(\Delta t-{\frac {v\,\Delta x}{c^{2}}}\right)\,,\\\Delta x'&=\gamma \left(\Delta xv\,\Delta t\right)\,,\end{aligned}}}$$ مع علاقات عكسية $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta t&=\gamma \left(\Delta t'+{\frac {v\,\Delta x'}{c^{2}}}\right)\,,\\\Delta x&=\gamma \left(\Delta x'+v\,\Delta t'\right)\,.\end{aligned}}}$$ حيث يشير Δ ( دلتا الكبيرة ) إلى فرق في الكميات؛ على سبيل المثال، Δ x = x ₂ − x ₁ لقيمتين من إحداثيات x ، وهكذا.

تُعد هذه التحويلات على الاختلافات بدلاً من النقاط المكانية أو لحظات الزمن مفيدة لعدد من الأسباب:

• في الحسابات والتجارب، يتم قياس الأطوال بين نقطتين أو فترات زمنية معينة أو تكون ذات أهمية (على سبيل المثال، طول مركبة متحركة، أو المدة الزمنية اللازمة للسفر من مكان إلى آخر).
• يمكن اشتقاق تحويلات السرعة بسهولة عن طريق جعل الفرق صغيرًا للغاية وقسمة المعادلات، وتُكرر العملية لتحويل التسارع.
• إذا لم تتطابق أنظمة الإحداثيات أبدًا (أي ليست في التكوين القياسي)، وإذا كان بإمكان كلا المراقبين الاتفاق على حدث t ₀ , x ₀ , y ₀ , z ₀ في F و t ′ ₀ , x ′ ₀ , y ′ ₀ , z ′ ₀ في F ′ ، فيمكنهم استخدام هذا الحدث كأصل، وتكون فروق إحداثيات الزمكان هي الفروق بين إحداثياتهم وهذا الأصل، على سبيل المثال، Δ x = x − x ₀ , Δ x ′ = x ′ − x ′ ₀ ، إلخ.

من المتطلبات الأساسية لتحويلات لورنتز ثبات سرعة الضوء، وهي حقيقة تُستخدم في اشتقاقها، ومُضمنة في التحويلات نفسها. فإذا كانت معادلة نبضة ضوئية على طول المحور x في المجال F هي x = ct ، فإن تحويلات لورنتز في المجال F′ تُعطي x ′ = ct ′ ، والعكس صحيح، لأي قيمة لـ −c < v < c .

بالنسبة للسرعات النسبية الأقل بكثير من سرعة الضوء، فإن تحويلات لورنتز تختزل إلى تحويل جاليليو : ^{[ 20 ] [ 21 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}t'&\approx t\\x'&\approx x-vt\end{aligned}}}$$ وفقًا لمبدأ التوافق . ويُقال أحيانًا إن الفيزياء غير النسبية هي فيزياء "الفعل اللحظي عن بُعد". ^{[ 22 ]}

ثلاث تنبؤات غير بديهية، ولكنها صحيحة، بشأن التحولات هي:

نسبية التزامن

لنفترض أن حدثين وقعا على طول المحور x في آن واحد ( Δt = 0 ) في F ، ولكن يفصل بينهما إزاحة غير صفرية Δx . عندئذٍ، في F ′ ، نجد أن${\displaystyle \Delta t'=-\gamma {v\,\Delta x}/{c^{2}}}$وبالتالي، لم تعد الأحداث متزامنة وفقًا لمراقب متحرك.

تمدد الزمن

لنفترض وجود ساعة ثابتة في الإطار المرجعي F. إذا تم قياس فاصل زمني عند نفس النقطة في ذلك الإطار، بحيث يكون Δx = 0 ، فإن التحويلات تعطي هذا الفاصل الزمني في F ′ بالعلاقة Δt ′ = γ Δt . وبالعكس، لنفترض وجود ساعة ثابتة في F ′ . إذا تم قياس فاصل زمني عند نفس النقطة في ذلك الإطار، بحيث يكون Δx ′ = 0 ، فإن التحويلات تعطي هذا الفاصل الزمني في F بالعلاقة Δt = γ Δt ′ . في كلتا الحالتين، يقيس كل مراقب الفاصل الزمني بين دقات الساعة المتحركة ليكون أطول بمعامل γ من الفاصل الزمني بين دقات ساعته.

انقباض الطول

لنفترض وجود قضيب ساكن في المجال F محاذٍ للمحور x ، طوله Δx . في المجال F ′ ، يتحرك القضيب بسرعة −v ، لذا يجب قياس طوله بأخذ قياسين متزامنين ( Δt ′ = 0 ) عند طرفيه المتقابلين. في هذه الحالة، يُظهر تحويل لورنتز العكسي أن Δx = γΔx ′ . في المجال F، لم يعد القياسان متزامنين، لكن هذا لا يُؤثر لأن القضيب ساكن في المجال F. بالتالي ، يقيس كل مراقب المسافة بين طرفي قضيب متحرك لتكون أقصر بمعامل 1/ γ من المسافة بين طرفي قضيب مماثل ساكن في إطاره المرجعي. يؤثر انكماش الطول على أي كمية هندسية متعلقة بالأطوال، لذا من منظور مراقب متحرك، ستظهر المساحات والأحجام أيضًا وكأنها تتقلص في اتجاه الحركة.

يُتيح استخدام المتجهات التعبير عن المواضع والسرعات في اتجاهات عشوائية بإيجاز. وتعتمد دفعة واحدة في أي اتجاه على متجه السرعة النسبية الكامل v، الذي لا يمكن أن يساوي مقداره | v | أو يتجاوزه ، بحيث يكون 0 ≤ v < c .

يتغير الزمن والإحداثيات الموازية لاتجاه الحركة النسبية فقط، بينما تبقى الإحداثيات العمودية ثابتة. بناءً على ذلك، قسّم متجه الموضع المكاني r كما هو مُقاس في F ، و r ′ كما هو مُقاس في F ′ ، كلٌ منهما إلى مركبتين عموديتين ( ⊥ ) وموازيتين ( || ) لـ v . $${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{\perp }+\mathbf {r} _{\|}\,,\quad \mathbf {r} '=\mathbf {r} _{\perp }'+\mathbf {r} _{\|}'\,,}$$ ثم تكون التحولات $${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {\mathbf {r} _{\parallel }\cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\\\mathbf {r} _{\|}'&=\gamma (\mathbf {r} _{\|}-\mathbf {v} t)\\\mathbf {r} _{\perp }'&=\mathbf {r} _{\perp }\end{aligned}}}$$ حيث يُمثل · الضرب القياسي . ويحتفظ عامل لورنتز γ بتعريفه عند تطبيق قوة دفع في أي اتجاه، لأنه يعتمد فقط على مقدار السرعة النسبية. كما يستخدم بعض المؤلفين التعريف β = v / c حيث يكون المقدار 0 ≤ β < 1 .

بإدخال متجه وحدة n = v / v = β / β في اتجاه الحركة النسبية، تكون السرعة النسبية v = v n بمقدار v واتجاه n ، ويعطي إسقاط المتجه ورفضه على التوالي $${\displaystyle \mathbf {r} _{\parallel }=(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \,,\quad \mathbf {r} _{\perp }=\mathbf {r} -(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }$$

يؤدي تجميع النتائج إلى الحصول على التحولات الكاملة،

ينطبق الإسقاط والرفض أيضًا على r ′ . وللتحويلات العكسية، يتم تبديل r و r ′ لتبديل الإحداثيات المرصودة، ويتم عكس إشارة السرعة النسبية v → − v (أو ببساطة متجه الوحدة n → − n لأن مقدار v موجب دائمًا) للحصول على

يتميز متجه الوحدة بميزة تبسيط المعادلات في حالة التعزيز الفردي، ويسمح بإعادة إدخال إما v أو β عند الحاجة، كما يمكن الحصول على معلمات السرعة مباشرةً باستبدال β و βγ . إلا أنه غير مناسب للتعزيزات المتعددة.

العلاقة الاتجاهية بين السرعة النسبية والسرعة هي ^{[ 23 ]}$${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}=\beta \mathbf {n} =\mathbf {n} \tanh \zeta \,,}$$ ويمكن تعريف "متجه السرعة" على النحو التالي: $${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}=\zeta \mathbf {n} =\mathbf {n} \tanh ^{-1}\beta \,,}$$ كل منها بمثابة اختصار مفيد في بعض السياقات. مقدار ζ هو القيمة المطلقة لمقياس السرعة المحصور في 0 ≤ ζ < ∞ ، وهو ما يتوافق مع النطاق 0 ≤ β < 1 .

تحديد سرعات الإحداثيات ومعامل لورنتز بواسطة $${\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\,,\quad \mathbf {u} '={\frac {d\mathbf {r} '}{dt'}}\,,\quad \gamma _{\mathbf {v} }={\frac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}}}$$ يؤدي أخذ التفاضلات في إحداثيات وزمن تحويلات المتجهات، ثم قسمة المعادلات، إلى $${\displaystyle \mathbf {u} '={\frac {1}{1-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}}\left[{\frac {\mathbf {u} }{\gamma _{\mathbf {v} }}}-\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {v} }}{\gamma _{\mathbf {v} }+1}}\left(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} \right)\mathbf {v} \right]}$$

تمثل السرعتان u و u ′ سرعة جسم ذي كتلة. ويمكن أن تمثلا أيضًا سرعة إطار مرجعي ثالث (مثلاً F′′ )، وفي هذه الحالة يجب أن تكونا ثابتتين . لنرمز إلى أي من هذين الجسمين بالرمز X. يتحرك X بسرعة u بالنسبة إلى F ، أو بشكل مكافئ بسرعة u ′ بالنسبة إلى F′ ، وبدوره يتحرك F′ بسرعة v بالنسبة إلى F. يمكن الحصول على التحويلات العكسية بطريقة مماثلة، أو كما هو الحال مع إحداثيات الموضع، يتم تبديل u و u ′ ، وتغيير v إلى −v .

يُعد تحويل السرعة مفيدًا في الانحراف النجمي ، وتجربة فيزو ، وتأثير دوبلر النسبي .

يمكن الحصول على تحويلات لورنتز للتسارع بشكل مماثل عن طريق أخذ التفاضلات في متجهات السرعة، وقسمة هذه التفاضلات على التفاضل الزمني.

بشكل عام، إذا أُعطيت أربع كميات _{A و} Z = ( Zx , Zy , Zz ) ونظائرها المعززة لورنتز A′ و Z ′ ₌ ( Z′x _, Z′y , Z′z ₎ ، فإن العلاقة ستكون على النحو التالي _:$${\displaystyle A^{2}-\mathbf {Z} \cdot \mathbf {Z} ={A'}^{2}-\mathbf {Z} '\cdot \mathbf {Z} '}$$ وهذا يعني أن الكميات تتحول تحت تحويلات لورنتز المشابهة لتحويل إحداثيات الزمكان؛ $${\displaystyle {\begin{aligned}A'&=\gamma \left(A-{\frac {v\mathbf {n} \cdot \mathbf {Z} }{c}}\right)\,,\\\mathbf {Z} '&=\mathbf {Z} +(\gamma -1)(\mathbf {Z} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -{\frac {\gamma Av\mathbf {n} }{c}}\,.\end{aligned}}}$$

إن تحليل Z (و Z ′ ) إلى مكونات عمودية وموازية لـ v هو نفسه تمامًا بالنسبة لمتجه الموضع، وكذلك عملية الحصول على التحويلات العكسية (تبديل ( A ، Z ) و ( A ′ ، Z ′) لتبديل الكميات المرصودة، وعكس اتجاه الحركة النسبية عن طريق الاستبدال n ↦ − n ).

تشكل الكميتان ( A و Z ) معًا متجهًا رباعيًا ، حيث يمثل A المكون الزمني، ويمثل Z المكون المكاني. وفيما يلي أمثلة على A و Z :

بالنسبة لجسم معين (مثل جسيم، سائل، مجال، مادة)، إذا كانت A أو Z تُشير إلى خصائص خاصة بالجسم، مثل كثافة الشحنة ، وكثافة الكتلة ، والدوران المغزلي ، وما إلى ذلك، فيمكن تحديد هذه الخصائص في إطار سكون ذلك الجسم. عندئذٍ، تُعطي تحويلات لورنتز الخصائص المقابلة في إطار يتحرك بالنسبة للجسم بسرعة ثابتة. يُخالف هذا بعض المفاهيم المُسلّم بها في الفيزياء غير النسبية. على سبيل المثال، طاقة الجسم E كمية قياسية في الميكانيكا غير النسبية، ولكنها ليست كذلك في الميكانيكا النسبية لأن الطاقة تتغير تحت تأثير تحويلات لورنتز؛ إذ تختلف قيمتها باختلاف الأطر المرجعية العطالية. في إطار سكون الجسم، تكون طاقة سكونه وزخمه صفرًا. أما في إطار مرجعي مُعزز، فتختلف طاقته ويبدو أنه يمتلك زخمًا. وبالمثل، في ميكانيكا الكم غير النسبية، يكون دوران الجسيم متجهًا ثابتًا، بينما في ميكانيكا الكم النسبية، يعتمد الدوران المغزلي s على الحركة النسبية. في إطار سكون الجسيم، يمكن تثبيت متجه الدوران الزائف ليكون دورانه العادي غير النسبي مع كمية زمنية صفرية s _t ، ومع ذلك، فإن المراقب المعزز سيدرك مكونًا زمنيًا غير صفري ودورانًا متغيرًا. ^{[ 24 ]}

ليست كل الكميات ثابتة بالشكل الموضح أعلاه، فعلى سبيل المثال، لا يمتلك الزخم الزاوي المداري L كمية زمنية، وكذلك الحال بالنسبة للمجال الكهربائي E والمجال المغناطيسي B. يُعرَّف الزخم الزاوي بأنه L = r × p ، وفي إطار مرجعي مُعزَّز، يكون الزخم الزاوي المُعدَّل L ′ = r ′ × p ′ . بتطبيق هذا التعريف باستخدام تحويلات الإحداثيات والزخم ^، نحصل على تحويل الزخم الزاوي. يتضح أن L يتحول بكمية متجهة أخرى N = ( E / c² ) r − t p المرتبطة بالتعزيزات، انظر الزخم الزاوي النسبي لمزيد من التفاصيل. بالنسبة للمجالين E و B ، لا يمكن الحصول على التحويلات مباشرةً باستخدام الجبر المتجهي. قوة لورنتز هي تعريف هذين المجالين، وفي F تكون F = q ( E + v × B )، بينما في F′ تكون F ′ = q ( E ′ + v ′ × B ′) . تستخدم طريقة اشتقاق تحويلات المجال الكهرومغناطيسي بطريقة فعالة توضح أيضًا وحدة المجال الكهرومغناطيسي جبر الموترات، كما هو موضح أدناه .

كتابة الإحداثيات في متجهات عمودية ومقياس مينكوفسكي η كمصفوفة مربعة $${\displaystyle X'={\begin{bmatrix}c\,t'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}\,,\quad \eta ={\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\,,\quad X={\begin{bmatrix}c\,t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}}$$ تأخذ الفترة الزمنية للزمكان الشكل ( يشير الرمز T العلوي إلى النقل ) $${\displaystyle X\cdot X=X^{\mathrm {T} }\eta X={X'}^{\mathrm {T} }\eta {X'}}$$ وهو ثابت تحت تحويل لورنتز $${\displaystyle X'=\Lambda X}$$ حيث Λ عبارة عن مصفوفة مربعة يمكن أن تعتمد على المعلمات.

مجموعة جميع تحويلات لورنتز${\displaystyle \Lambda }$يُشار إليه في هذه المقالة بـ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$تشكل هذه المجموعة، بالإضافة إلى ضرب المصفوفات ، زمرةً تُعرف في هذا السياق بزمرة لورنتز . كذلك، فإن التعبير X · X أعلاه هو شكل تربيعي ذو إشارة (3,1) على الزمكان، وزمرة التحويلات التي تُبقي هذا الشكل التربيعي ثابتًا هي الزمرة المتعامدة غير المحددة O(3,1)، وهي زمرة لي . بعبارة أخرى، زمرة لورنتز هي O(3,1). وكما هو موضح في هذه المقالة، فإن أي زمر لي مذكورة هي زمر لي مصفوفية . في هذا السياق، تُعادل عملية التركيب ضرب المصفوفات .

يستنتج من ثبات فاصل الزمكان $${\displaystyle \eta =\Lambda ^{\mathrm {T} }\eta \Lambda }$$ وتحتوي هذه المعادلة المصفوفية على الشروط العامة لتحويل لورنتز لضمان ثبات فاصل الزمكان. وبأخذ محدد المعادلة باستخدام قاعدة الضرب ^{[ ملاحظة 4 ]} ، نحصل مباشرةً على $${\displaystyle \left[\det(\Lambda )\right]^{2}=1\quad \Rightarrow \quad \det(\Lambda )=\pm 1}$$

كتابة مقياس مينكوفسكي كمصفوفة كتلية، وتحويل لورنتز في أكثر أشكاله عمومية، $${\displaystyle \eta ={\begin{bmatrix}-1&0\\0&\mathbf {I} \end{bmatrix}}\,,\quad \Lambda ={\begin{bmatrix}\Gamma &-\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\\-\mathbf {b} &\mathbf {M} \end{bmatrix}}\,,}$$ يُتيح إجراء عمليات ضرب المصفوفات الكتلية الحصول على شروط عامة على Γ و a و b و M لضمان الثبات النسبي. لا يمكن استخلاص الكثير من المعلومات مباشرةً من جميع الشروط، إلا أن إحدى النتائج $${\displaystyle \Gamma ^{2}=1+\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b} }$$ مفيد؛ b ^T b ≥ 0 دائمًا، وبالتالي يترتب على ذلك أن $${\displaystyle \Gamma ^{2}\geq 1\quad \Rightarrow \quad \Gamma \leq -1\,,\quad \Gamma \geq 1}$$

قد تكون المتباينة السالبة غير متوقعة، لأن Γ تضرب إحداثية الزمن، وهذا يؤثر على تناظر الزمن . إذا تحققت المساواة الموجبة، فإن Γ هو عامل لورنتز.

يُوفّر المُحدِّد والمتباينة أربع طرق لتصنيف تحويلات لورنتز ( يُشار إليها اختصارًا بـ LT ). لكل تحويل لورنتز مُحدِّد واحد فقط ومتباينة واحدة فقط. توجد أربع مجموعات تشمل كل زوج مُمكن ناتج عن تقاطعات هذه المجموعات التصنيفية (رمز على شكل حرف n يعني "و").

حيث يشير "+" و "−" إلى علامة المحدد، بينما يشير "↑" لـ ≥ و "↓" لـ ≤ إلى المتباينات.

تنقسم مجموعة لورنتز الكاملة إلى اتحاد (رمز على شكل حرف u بمعنى "أو") لأربع مجموعات منفصلة$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{+}^{\uparrow }\cup {\mathcal {L}}_{-}^{\uparrow }\cup {\mathcal {L}}_{+}^{\downarrow }\cup {\mathcal {L}}_{-}^{\downarrow }}$$

يجب أن تكون الزمرة الجزئية من زمرة ما مغلقة تحت نفس عملية الزمرة (هنا ضرب المصفوفات). بعبارة أخرى، بالنسبة لتحويلين لورنتزيين Λ و L من زمرة جزئية معينة، يجب أن يكون التحويلان المركبان Λ ∈ L و L ∈ Λ في نفس الزمرة الجزئية التي ينتمي إليها Λ و L. لكن هذا ليس هو الحال دائمًا: فتركيب تحويلين لورنتزيين مضادين للتزامن يكون متعامدًا، وتركيب تحويلين لورنتزيين غير مناسبين يكون مناسبًا. بعبارة أخرى، بينما المجموعات${\displaystyle {\mathcal {L}}_{+}^{\uparrow }}$،${\displaystyle {\mathcal {L}}_{+}}$،${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\uparrow }}$، و${\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}={\mathcal {L}}_{+}^{\uparrow }\cup {\mathcal {L}}_{-}^{\downarrow }}$تشكل جميعها مجموعات فرعية، وهي مجموعات تحتوي على تحويلات غير صحيحة و/أو غير متزامنة بدون عدد كافٍ من التحويلات الصحيحة المتزامنة (مثل${\displaystyle {\mathcal {L}}_{+}^{\downarrow }}$،${\displaystyle {\mathcal {L}}_{-}^{\downarrow }}$،${\displaystyle {\mathcal {L}}_{-}^{\uparrow }}$) لا تشكل مجموعات فرعية.

إذا تم قياس متجه رباعي الأبعاد متغاير لورنتز في إطار مرجعي قصوري واحد، فإن النتيجة${\displaystyle X}$، ويعطي القياس نفسه الذي يتم إجراؤه في إطار مرجعي قصوري آخر (بنفس الاتجاه والأصل) النتيجة${\displaystyle X'}$ستكون النتيجتان مرتبطتين بـ $${\displaystyle X'=B(\mathbf {v} )X}$$ حيث مصفوفة التعزيز${\displaystyle B(\mathbf {v} )}$يمثل تحويل لورنتز الخالي من الدوران بين الإطارين غير المُؤشَّر والمُؤشَّر و${\displaystyle \mathbf {v} }$تمثل سرعة الإطار المُؤشَّر كما تُرى من الإطار غير المُؤشَّر. وتُعطى المصفوفة بالصيغة ^{[ 25 ].}$${\displaystyle B(\mathbf {v} )={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma v_{\text{x}}/c&-\gamma v_{\text{y}}/c&-\gamma v_{\text{z}}/c\\-\gamma v_{\text{x}}/c&1+(\gamma -1){\dfrac {v_{\text{x}}^{2}}{v^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {v_{\text{x}}v_{\text{y}}}{v^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {v_{\text{x}}v_{\text{z}}}{v^{2}}}\\-\gamma v_{\text{y}}/c&(\gamma -1){\dfrac {v_{\text{y}}v_{\text{x}}}{v^{2}}}&1+(\gamma -1){\dfrac {v_{\text{y}}^{2}}{v^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {v_{\text{y}}v_{\text{z}}}{v^{2}}}\\-\gamma v_{\text{z}}/c&(\gamma -1){\dfrac {v_{\text{z}}v_{\text{x}}}{v^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {v_{\text{z}}v_{\text{y}}}{v^{2}}}&1+(\gamma -1){\dfrac {v_{\text{z}}^{2}}{v^{2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma {\vec {\beta }}^{\text{T}}\\-\gamma {\vec {\beta }}&I+(\gamma -1){\dfrac {{\vec {\beta }}{\vec {\beta }}^{\text{T}}}{\beta ^{2}}}\end{bmatrix}},}$$

أين${\textstyle v={\sqrt {v_{\text{x}}^{2}+v_{\text{y}}^{2}+v_{\text{z}}^{2}}}}$هي مقدار السرعة و${\textstyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{v^{2}}/{c^{2}}}}}}$يمثل عامل لورنتز. تمثل هذه الصيغة تحويلاً سلبياً، إذ تصف كيفية تغير إحداثيات الكمية المقاسة من الإطار غير المميز إلى الإطار المميز. أما التحويل الفعال فيُعطى بالصيغة التالية:${\displaystyle B(-\mathbf {v} )}$.

إذا تم تعزيز إطار F ′ بسرعة u بالنسبة للإطار F ، وتم تعزيز إطار آخر F′′ بسرعة v بالنسبة لـ F ′ ، فإن التعزيزات المنفصلة هي $${\displaystyle X''=B(\mathbf {v} )X'\,,\quad X'=B(\mathbf {u} )X}$$ ويربط تركيب الموجتين المعززتين الإحداثيات في F ′′ و F , $${\displaystyle X''=B(\mathbf {v} )B(\mathbf {u} )X\,.}$$ تُطبَّق التحويلات المتتالية على اليسار. إذا كان u و v على استقامة واحدة (متوازيين أو متعاكسين على طول نفس خط الحركة النسبية)، فإن مصفوفات التعزيز تتبادل : B ( v ) B ( u ) = B ( u ) B ( v ) . هذا التحويل المركب هو في الواقع تعزيز آخر، B ( w ) ، حيث يكون w على استقامة واحدة مع u و v .

إذا لم تكن u و v على استقامة واحدة، بل في اتجاهين مختلفين، يصبح الوضع أكثر تعقيدًا. لا تتبادل تحويلات لورنتز على طول الاتجاهات المختلفة: B ( v ) B ( u ) و B ( u ) B ( v ) غير متساويتين. على الرغم من أن كلًا من هذه التركيبات ليس تحويلًا منفردًا، إلا أن كل تركيب يظل تحويل لورنتز لأنه يحافظ على فاصل الزمكان. يتضح أن تركيب أي تحويلين من تحويلات لورنتز يكافئ تحويلًا متبوعًا أو مسبوقًا بدوران على الإحداثيات المكانية، على شكل R ( ρ ) B ( w ) أو B ( w ) R ( ρ ) . w و w هما سرعتان مركبتان ، بينما ρ و ρ هما معاملا الدوران (مثل متغيرات المحور والزاوية ، وزوايا أويلر ، وما إلى ذلك). الدوران في شكل مصفوفة كتلية هو ببساطة $${\displaystyle \quad R({\boldsymbol {\rho }})={\begin{bmatrix}1&0\\0&\mathbf {R} ({\boldsymbol {\rho }})\end{bmatrix}}\,,}$$ حيث R ( ρ ) هي مصفوفة دوران 3×3 ، تُدير أي متجه ثلاثي الأبعاد في اتجاه واحد (تحويل فعّال)، أو ما يُكافئ ذلك، إطار الإحداثيات في الاتجاه المعاكس (تحويل غير فعّال). ليس من السهل ربط w و ρ (أو w و ρ ) بمعاملات التعزيز الأصلية u و v . في تركيب التعزيزات، تُسمى مصفوفة R دوران ويغنر ، وتُنتج ترنح توماس . تُقدم هذه المقالات الصيغ الصريحة لمصفوفات التحويل المركبة، بما في ذلك تعابير w و ρ و w و ρ .

في هذه المقالة، يُستخدم تمثيل المحور والزاوية لـ ρ . يدور الدوران حول محور في اتجاه متجه الوحدة e ، بزاوية θ (موجبة عكس اتجاه عقارب الساعة، وسالبة مع اتجاه عقارب الساعة، وفقًا لقاعدة اليد اليمنى ). "متجه المحور والزاوية" $${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=\theta \mathbf {e} }$$ سيُستخدم كاختصار مفيد.

تُعدّ الدورانات المكانية وحدها تحويلات لورنتز، لأنها تُبقي فاصل الزمكان ثابتًا. ومثل التحويلات المعززة، لا تتبادل الدورانات المتتالية حول محاور مختلفة. وعلى عكس التحويلات المعززة، فإن تركيب أي دورانين يُكافئ دورانًا واحدًا. ومن أوجه التشابه والاختلاف الأخرى بين مصفوفات التحويلات المعززة والدوران ما يلي:

• المعكوسات : B ( v ) ⁻¹ = B (− v ) (حركة نسبية في الاتجاه المعاكس)، و R ( θ ) ⁻¹ = R (− θ ) (دوران في الاتجاه المعاكس حول نفس المحور)
• تحويل الهوية لعدم وجود حركة/دوران نسبي: B ( 0 ) = R ( 0 ) = I
• المحدد الوحدوي : det( B ) = det( R ) = +1 . هذه الخاصية تجعلها تحويلات صحيحة.
• تناظر المصفوفة : B متناظرة (تساوي المنقول )، بينما R غير متناظرة ولكنها متعامدة (المنقول يساوي المعكوس ، R ^T = R ⁻¹ ).

يشمل تحويل لورنتز العام Λ( v , θ ) كلاً من التعزيز والدوران، وهو مصفوفة غير متناظرة. ومن الحالات الخاصة، Λ( 0 , θ ) = R ( θ ) و Λ( v , 0 ) = B ( v ) . يصعب كتابة الصيغة الصريحة لتحويل لورنتز العام، ولن نوردها هنا. مع ذلك، سنقدم أدناه صيغًا مغلقة لمصفوفات التحويل باستخدام حجج نظرية الزمر. سيكون من الأسهل استخدام معلمات السرعة للتعزيزات، وفي هذه الحالة نكتب Λ( ζ , θ ) و B ( ζ ) .

تشمل تحويلات لورنتز أيضًا انعكاس التكافؤ$${\displaystyle P={\begin{bmatrix}1&0\\0&-\mathbf {I} \end{bmatrix}}}$$ وهو ما ينفي جميع الإحداثيات المكانية فقط، وانعكاس الزمن$${\displaystyle T={\begin{bmatrix}-1&0\\0&\mathbf {I} \end{bmatrix}}}$$ وهذا ينفي إحداثية الزمن فقط، لأن هذه التحويلات تُبقي فاصل الزمكان ثابتًا. هنا، I هي مصفوفة الوحدة 3 × 3. هاتان المصفوفتان متناظرتان، وهما معكوساهما (انظر الانعكاس (الرياضيات) )، ولكل منهما محدد يساوي -1. هذه الخاصية الأخيرة تجعلهما تحويلات غير صحيحة.

إذا كان Λ تحويل لورنتز متعامد صحيح، فإن T Λ يكون غير صحيح مضاد للتزامن، و P Λ يكون غير صحيح متعامد، و TP Λ = PT Λ يكون صحيحًا مضادًا للتزامن.

لم يتم الأخذ بعين الاعتبار تناظرين آخرين للزمكان. ولكي يكون فاصل الزمكان ثابتًا، يمكن إثبات ^{[ 26 ]} أنه من الضروري والكافي أن يكون تحويل الإحداثيات على الشكل التالي: $${\displaystyle X'=\Lambda X+C}$$ حيث C عمود ثابت يحتوي على الإزاحات في الزمان والمكان. إذا كانت C ≠ 0، فهذا تحويل لورنتز غير متجانس أو تحويل بوانكاريه . ^{[ 27 ] [ 28 ]} إذا كانت C = 0، فهذا تحويل لورنتز متجانس . لن نتناول تحويلات بوانكاريه بالتفصيل في هذه المقالة.

كتابة التحويل المصفوفي العام للإحداثيات على شكل معادلة مصفوفية $${\displaystyle {\begin{bmatrix}{x'}^{0}\\{x'}^{1}\\{x'}^{2}\\{x'}^{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\Lambda ^{0}}_{0}&{\Lambda ^{0}}_{1}&{\Lambda ^{0}}_{2}&{\Lambda ^{0}}_{3}{\vphantom {{x'}^{0}}}\\{\Lambda ^{1}}_{0}&{\Lambda ^{1}}_{1}&{\Lambda ^{1}}_{2}&{\Lambda ^{1}}_{3}{\vphantom {{x'}^{0}}}\\{\Lambda ^{2}}_{0}&{\Lambda \begin{bmatrix}x^{0}{\vphantom {{x'}^{0}}}\\x^{1}{\vphantom {{x'}^{0}}}\\{\Lambda^{3}}_{0}&{\Lambda^{3}}_{1}&{\Lambda^{3}}_{2}&{\Lambda^{3}}_{3}{\vphantom {{x'}^{0}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x^{0}{\vphantom {{x'}^{0}}}\\x^{1}{\vphantom {{x'}^{0}}}\\x^{2}{\vphantom {{x'}^{0}}}\\x^{3}{\vphantom {{x'}^{0}}}\end{bmatrix}}}$$ يُتيح هذا تحويل الكميات الفيزيائية الأخرى التي لا يمكن التعبير عنها كمتجهات رباعية؛ على سبيل المثال، تعريف الموترات أو السبينورات من أي رتبة في الزمكان رباعي الأبعاد. في تدوين مؤشر الموتر المقابل ، يكون تعبير المصفوفة أعلاه كما يلي: $${\displaystyle {x'}^{\nu }={\Lambda ^{\nu }}_{\mu }x^{\mu },}$$

حيث تشير المؤشرات السفلية والعلوية إلى المكونات المتغيرة والمتغايرة على التوالي، ^{[ 29 ]} ويتم تطبيق اصطلاح الجمع . من المتعارف عليه استخدام المؤشرات اليونانية التي تأخذ القيمة 0 للمكونات الزمنية، و1 و2 و3 للمكونات المكانية، بينما تأخذ المؤشرات اللاتينية القيم 1 و2 و3 للمكونات المكانية (العكس في حالة لاندو وليفشيتز). لاحظ أن المؤشر الأول (يقرأ من اليسار إلى اليمين) يُقابل في تدوين المصفوفة مؤشر الصف . أما المؤشر الثاني فيُقابل مؤشر العمود.

مصفوفة التحويل عامة لجميع المتجهات الرباعية ، وليس فقط لإحداثيات الزمكان رباعية الأبعاد. إذا كان A أي متجه رباعي، فإنه في تدوين فهرس الموتر$${\displaystyle {A'}^{\nu }={\Lambda ^{\nu }}_{\mu }A^{\mu }\,.}$$

أو يكتب المرء$${\displaystyle A^{\nu '}={\Lambda ^{\nu '}}_{\mu }A^{\mu }\,.}$$حيث تشير الفهارس المميزة إلى فهارس A في الإطار المميز. بالنسبة لكائن عام مكون من n عنصر، يمكن كتابة$${\displaystyle {X'}^{\alpha }={\Pi (\Lambda )^{\alpha }}_{\beta }X^{\beta }\,,}$$حيث Π هو التمثيل المناسب لمجموعة لورنتز ، وهي مصفوفة من الرتبة n × n لكل Λ . في هذه الحالة، لا ينبغي اعتبار المؤشرات مؤشرات للزمكان (تُسمى أحيانًا مؤشرات لورنتز)، وتتراوح قيمها من 1 إلى n . على سبيل المثال، إذا كان X عبارة عن سبينور ديراك ، فإن المؤشرات تُسمى مؤشرات ديراك .

توجد أيضًا كميات متجهة ذات مؤشرات متغيرة. ويتم الحصول عليها عمومًا من العناصر المقابلة لها ذات المؤشرات المتغيرة عكسيًا عن طريق عملية خفض المؤشر ؛ على سبيل المثال، $${\displaystyle x_{\nu }=\eta _{\mu \nu }x^{\mu },}$$ حيث η هو موتر القياس . (توفر المقالة المرفقة أيضًا مزيدًا من المعلومات حول ماهية عملية رفع وخفض المؤشرات رياضيًا). يُعطى معكوس هذا التحويل بواسطة $${\displaystyle x^{\mu }=\eta ^{\mu \nu }x_{\nu },}$$حيث أن η ^μν ، عند النظر إليها كمصفوفات، هي معكوس η _μν . وكما يحدث، فإن η ^μν = η _μν . ويشار إلى هذا برفع الدليل . لتحويل متجه متغاير A _μ ، ارفع دليله أولاً، ثم حوّله وفقًا للقاعدة نفسها المتبعة في تحويل المتجهات المتغايرة 4 ، ثم اخفض الدليل أخيرًا؛ $${\displaystyle {A'}_{\nu }=\eta _{\rho \nu }{\Lambda ^{\rho }}_{\sigma }\eta ^{\mu \sigma }A_{\mu }.}$$

لكن$${\displaystyle \eta _{\rho \nu }{\Lambda ^{\rho }}_{\sigma }\eta ^{\mu \sigma}={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mu }}_{\nu },}$$

أي أنها المكون ( μ , ν ) لتحويل لورنتز العكسي . ويُعرَّف (كمصطلح اصطلاحي) على النحو التالي: $${\displaystyle {\Lambda _{\nu }}^{\mu }\equiv {\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mu }}_{\nu },}$$ ويجوز في هذه الصيغة كتابة $${\displaystyle {A'}_{\nu }={\Lambda _{\nu }}^{\mu }A_{\mu }.}$$

والآن لننتقل إلى تفصيل دقيق. إن الملخص الضمني على الجانب الأيمن من $${\displaystyle {A'}_{\nu}={\Lambda _{\nu }}^{\mu }A_{\mu }={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mu }}_ {\nu }A_{\mu }}$$ يتم تطبيق العملية على فهرس صف في المصفوفة التي تمثل Λ ⁻¹ . وبالتالي، من حيث المصفوفات، يجب اعتبار هذا التحويل بمثابة منقولة معكوسة لـ Λ تؤثر على متجه العمود A _μ . أي، باستخدام تدوين المصفوفات البحت، $${\displaystyle A'=\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mathrm {T} }A.}$$

هذا يعني تحديدًا أن المتجهات المتغيرة (التي تُعتبر مصفوفات عمودية) تتحول وفقًا للتمثيل الثنائي للتمثيل القياسي لمجموعة لورنتز. ويمكن تعميم هذا المفهوم ليشمل التمثيلات العامة، ببساطة استبدل Λ بـ Π(Λ) .

إذا كان A و B مؤثرين خطيين على الفضاءات المتجهة U و V ، فإنه يمكن تعريف مؤثر خطي A ⊗ B على حاصل الضرب الموتري لـ U و V ، ويرمز له بـ U ⊗ V وفقًا لـ ^{[ 30 ].}

يتضح من هذا مباشرةً أنه إذا كان u و v متجهين رباعيين في V ، فإن u ⊗ v ∈ T ₂ V ≡ V ⊗ V يتحول كما يلي

تستخدم الخطوة الثانية خاصية الخطية الثنائية لضرب الموتر، وتقوم الخطوة الأخيرة بتعريف موتر ثنائي على شكل مكون، أو بالأحرى، تقوم ببساطة بإعادة تسمية الموتر u ⊗ v .

تُعمم هذه الملاحظات بطريقة واضحة لتشمل المزيد من العوامل، وباستخدام حقيقة أن الموتر العام على فضاء متجهي V يمكن كتابته كمجموع معامل (مكون!) مضروبًا في حاصل ضرب الموترات لمتجهات الأساس ومتجهات الأساس المرافقة، نصل إلى قانون التحويل لأي كمية موترية T. وهو معطى بواسطة ^{[ 31 ]}