نصف قطر الاستقرار

في الرياضيات ، نصف قطر استقرار كائن (نظام، دالة ، مصفوفة ، مُعامل ) عند نقطة اسمية معينة هو نصف قطر أكبر كرة مركزها تلك النقطة، بحيث تحقق جميع عناصرها شروط استقرار محددة مسبقًا. ويمكن توضيح هذا المفهوم البديهي كما يلي:

أين${\displaystyle {\hat {p}}}$يشير إلى النقطة الاسمية، ${\displaystyle P}$يشير إلى فضاء جميع القيم الممكنة للكائن${\displaystyle p}$والمنطقة المظللة،${\displaystyle P(s)}$تمثل هذه المجموعة النقاط التي تحقق شروط الاستقرار. نصف قطر الدائرة الزرقاء، الموضحة باللون الأحمر، هو نصف قطر الاستقرار.

يختلف التعريف الرسمي لهذا المفهوم باختلاف مجال التطبيق. ويُعدّ التعريف المجرد التالي مفيدًا للغاية ^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle {\hat {\rho }}({\hat {p}}):=\max \ \{\rho \geq 0:p\in P(s),\forall p\in B(\rho ,{\hat {p}})\}}$

أين${\displaystyle B(\rho ,{\hat {p}})}$يرمز إلى كرة مغلقة نصف قطرها${\displaystyle \rho }$في${\displaystyle P}$مركزها في${\displaystyle {\hat {p}}}$.

يبدو أن هذا المفهوم قد طُوِّر في أوائل الستينيات. ^{[ 3 ] [ 4 ]} وفي الثمانينيات، شاع استخدامه في نظرية التحكم ^{[ 5 ]} والتحسين. ^{[ 6 ]} ويُستخدم على نطاق واسع كنموذج للمتانة المحلية ضد الاضطرابات الصغيرة في قيمة اسمية معينة للهدف محل الاهتمام.

لقد تم إثبات ^{[ 2 ]} أن نموذج نصف قطر الاستقرار هو حالة من نموذج والد ماكسيمين . أي،

${\displaystyle \max \ \{\rho \geq 0:p\in P(s),\forall p\in B(\rho ,{\hat {p}})\}\equiv \max _{\rho \geq 0}\min _{p\in B(\rho ,{\hat {p}})}f(\rho ,p)}$

أين

${\displaystyle f(\rho ,p)=\left\{{\begin{array}{cc}\rho &,\ p\in P(s)\\-\infty &,\ p\notin P(s)\end{array}}\right.}$

العقوبة الكبيرة (${\displaystyle -\infty }$) هو جهاز لإجبار${\displaystyle \max }$يجب على اللاعب عدم تغيير القيمة الاسمية خارج نطاق استقرار النظام. وهذا مؤشر على أن نموذج الاستقرار هو نموذج للاستقرار/المتانة المحلية، وليس نموذجًا عالميًا.

نظرية اتخاذ القرار في ظل فجوة المعلومات هي نظرية حديثة غير احتمالية لاتخاذ القرار. يُزعم أنها تختلف جذريًا عن جميع النظريات الحالية لاتخاذ القرار في ظل عدم اليقين. ولكن ثبت ^{[ 2 ]} أن نموذج متانتها، أي

${\displaystyle {\hat {\alpha }}(q,{\tilde {u}}):=\max \ \{\alpha \geq 0:r_{c}\leq R(q,u),\forall u\in U(\alpha ,{\tilde {u}})\}}$

هو في الواقع نموذج نصف قطر الاستقرار الذي يتميز بشرط استقرار بسيط على النحو التالي${\displaystyle r_{c}\leq R(q,u)}$أين${\displaystyle q}$يشير إلى القرار قيد النظر، ${\displaystyle u}$يشير إلى المعلمة محل الاهتمام، ${\displaystyle {\tilde {u}}}$يشير إلى تقدير القيمة الحقيقية لـ${\displaystyle u}$و${\displaystyle U(\alpha ,{\tilde {u}})}$يرمز إلى كرة نصف قطرها${\displaystyle \alpha }$مركزها في${\displaystyle {\tilde {u}}}$.

بما أن نماذج نصف قطر الاستقرار مصممة للتعامل مع الاضطرابات الصغيرة في القيمة الاسمية للمعامل، فإن نموذج متانة فجوة المعلومات يقيس المتانة المحلية للقرارات في جوار التقدير.${\displaystyle {\tilde {u}}}$.

يجادل سنيدوفيتش ^{[ 2 ]} بأن هذه النظرية غير مناسبة لهذا السبب لمعالجة عدم اليقين الشديد الذي يتميز بتقدير ضعيف ومساحة واسعة من عدم اليقين.

توجد حالات يكون فيها تعريف نصف قطر الاستقرار مختلفًا بعض الشيء أكثر ملاءمة. على سبيل المثال، في العديد من تطبيقات نظرية التحكم، يُعرَّف نصف قطر الاستقرار بأنه حجم أصغر اضطراب مُزعزع للاستقرار في القيمة الاسمية للمعامل محل الاهتمام. ^{[ 7 ]} والصورة كالتالي:

بصورة أكثر رسمية،

${\displaystyle {\hat {\rho }}(q):=\min _{p\notin P(s)}dist(p,{\hat {p}})}$

أين${\displaystyle dist(p,{\hat {p}})}$يشير إلى مسافة${\displaystyle p\in P}$من${\displaystyle {\hat {p}}}$.

نصف قطر استقرار دالة متصلة f (في فضاء دالي F ) بالنسبة إلى مجال استقرار مفتوح D هو المسافة بين f ومجموعة الدوال غير المستقرة (بالنسبة إلى D ). نقول إن دالة ما مستقرة بالنسبة إلى D إذا كان طيفها يقع ضمن D. هنا، يُعرَّف مفهوم الطيف على أساس كل حالة على حدة، كما هو موضح أدناه.

• كثير الحدود المستقر
• نموذج والد ماكسيمين