متعددة الحدود المستقرة

في سياق متعددة الحدود المميزة لمعادلة تفاضلية أو معادلة فرقية ، يُقال إن متعددة الحدود مستقرة إذا تحقق أحد الشرطين التاليين:

• جميع جذورها تقع في النصف الأيسر المفتوح من المستوى ، أو
• تكمن جميع جذورها في القرص المفتوح .

يُوفر الشرط الأول الاستقرار للأنظمة الخطية ذات الزمن المستمر ، بينما يتعلق الشرط الثاني باستقرار الأنظمة الخطية ذات الزمن المتقطع . يُطلق على متعددة الحدود التي تتمتع بالخاصية الأولى اسم متعددة حدود مستقرة وفقًا لمعيار هورويتز، بينما تُسمى متعددة الحدود التي تتمتع بالخاصية الثانية متعددة حدود مستقرة وفقًا لمعيار شور. تظهر متعددات الحدود المستقرة في نظرية التحكم وفي النظرية الرياضية للمعادلات التفاضلية والفرق. يُقال إن النظام الخطي الثابت زمنيًا (انظر نظرية الأنظمة الخطية الثابتة زمنيًا) مستقر وفقًا لمعيار BIBO إذا كان كل مدخل محدود يُنتج مخرجًا محدودًا. يكون النظام الخطي مستقرًا وفقًا لمعيار BIBO إذا كانت متعددة حدوده المميزة مستقرة. يجب أن يكون المقام مستقرًا وفقًا لمعيار هورويتز إذا كان النظام في زمن مستمر، ومستقرًا وفقًا لمعيار شور إذا كان في زمن متقطع. عمليًا، يُحدد الاستقرار بتطبيق أي من معايير الاستقرار المتعددة .

• توفر نظرية راوث -هرويتز خوارزمية لتحديد ما إذا كانت متعددة الحدود المعطاة مستقرة هورويتز، والتي يتم تنفيذها في اختبارات راوث-هرويتز وليينارد -شيبارت .
• لاختبار ما إذا كانت متعددة الحدود المعطاة P (من الدرجة d ) مستقرة وفقًا لمعيار شور، يكفي تطبيق هذه النظرية على متعددة الحدود المحولة.

${\displaystyle Q(z)=(z-1)^{d}P\left({{z+1} \over {z-1}}\right)}$

تم الحصول عليها بعد تحويل موبيوس${\displaystyle z\mapsto {{z+1} \over {z-1}}}$والذي يرسم النصف الأيسر من المستوى إلى قرص الوحدة المفتوح: يكون P مستقرًا وفقًا لشور إذا وفقط إذا كان Q مستقرًا وفقًا لهورويتز و${\displaystyle P(1)\neq 0}$بالنسبة لكثيرات الحدود ذات الدرجة الأعلى، يمكن تجنب الحسابات الإضافية المتضمنة في هذا التعيين عن طريق اختبار استقرار شور بواسطة اختبار شور-كون، أو اختبار جوري ، أو اختبار بيستريتز .

• الشرط الضروري: أن يكون لكثير الحدود المستقر من نوع هورويتز (مع معاملات حقيقية ) معاملات من نفس الإشارة (إما كلها موجبة أو كلها سالبة).
• الشرط الكافي: متعددة الحدود${\displaystyle f(z)=a_{0}+a_{1}z+\cdots +a_{n}z^{n}}$بمعاملات (حقيقية) بحيث

${\displaystyle a_{n}>a_{n-1}>\cdots >a_{0}>0,}$

شور مستقر.

• قاعدة الضرب: يكون كثير الحدود f و g مستقرين (من نفس النوع) إذا وفقط إذا كان حاصل ضربهما fg مستقرًا.
• جداء هادامارد: جداء هادامارد (معاملات) لكثيرتي حدود مستقرتين وفقًا لمعيار هورويتز هو أيضًا جداء مستقر وفقًا لمعيار هورويتز. ^{[ 1 ]}

• ${\displaystyle 4z^{3}+3z^{2}+2z+1}$يُعتبر شور مستقرًا لأنه يفي بالشرط الكافي؛
• ${\displaystyle z^{10}}$هي مستقرة شور (لأن جميع جذورها تساوي 0) لكنها لا تفي بالشرط الكافي؛
• ${\displaystyle z^{2}-z-2}$ليس مستقرًا وفقًا لمعيار هورويتز (جذوره هي -1 و 2) لأنه ينتهك الشرط الضروري؛
• ${\displaystyle z^{2}+3z+2}$مستقر وفقًا لمعيار هورويتز (جذوره هي -1 و -2).
• متعددة الحدود${\displaystyle ض^{4}+ض^{3}+ض^{2}+ض+1}$(بمعاملات موجبة) ليست مستقرة وفقًا لمعيار هورويتز ولا مستقرة وفقًا لمعيار شور. جذورها هي الجذور الخمسة الأولية الأربعة للوحدة

${\displaystyle z_{k}=\cos \left({{2\pi k} \over 5}\right)+i\sin \left({{2\pi k} \over 5}\right),\,k=1,\ldots ,4\,.}$

لاحظ هنا أن

${\displaystyle \cos({{2\pi }/5})={{{\sqrt {5}}-1} \over 4}>0.}$

تُعدّ هذه الحالة "حالةً حديةً" لاستقرار شور لأن جذورها تقع على دائرة الوحدة . كما يُبيّن المثال أن الشروط الضرورية (الإيجابية) المذكورة أعلاه لاستقرار هورويتز غير كافية.

وكما أن كثيرات الحدود المستقرة ضرورية لتقييم استقرار الأنظمة الموصوفة بكثيرات الحدود، فإن مصفوفات الاستقرار تلعب دورًا حيويًا في تقييم استقرار الأنظمة الممثلة بالمصفوفات .

• منطقة خاريتونوف
• معيار الاستقرار
• نصف قطر الاستقرار

• صفحة ماث وورلد