الخطأ المعياري

لنفترض عينة مستقلة إحصائياً من${\displaystyle n}$الملاحظات${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$يتم أخذها من مجتمع إحصائي بانحراف معياري قدره${\displaystyle \sigma }$(الانحراف المعياري للمجتمع الإحصائي). القيمة المتوسطة المحسوبة من العينة،${\displaystyle {\bar {x}}}$، سيكون له خطأ معياري مرتبط بالمتوسط ،${\displaystyle {\sigma }_{\bar {x}}}$، كما هو موضح في: ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle {\sigma }_{\bar {x}}={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}.}$$

عمليًا، هذا يوضح لنا أنه عند محاولة تقدير قيمة متوسط ​​المجتمع، بسبب العامل${\displaystyle 1/{\sqrt {n}}}$إن تقليل الخطأ في التقدير بمعامل اثنين يتطلب الحصول على أربعة أضعاف عدد الملاحظات في العينة؛ أما تقليله بمعامل عشرة فيتطلب مائة ضعف عدد الملاحظات.

الانحراف المعياري${\displaystyle \sigma }$نادرًا ما تكون نسبة السكان الذين يتم أخذ عينة منهم معروفة. لذلك، عادةً ما يتم تقدير الخطأ المعياري للمتوسط ​​عن طريق استبدال${\displaystyle \sigma }$مع الانحراف المعياري للعينة${\displaystyle \sigma _{x}}$بدلاً من: $${\displaystyle {\sigma }_{\bar {x}}\ \approx {\frac {\sigma _{x}}{\sqrt {n}}}.}$$

بما أن هذا مجرد تقدير للخطأ المعياري الحقيقي، فمن الشائع رؤية رموز أخرى هنا مثل: $${\displaystyle {\widehat {\sigma }}_{\bar {x}}:={\frac {\sigma _{x}}{\sqrt {n}}}\qquad {\text{ or }}\qquad {s}_{\bar {x}}\$$ :={\frac {s}{\sqrt {n}}}.}

يحدث مصدر شائع للالتباس عند عدم التمييز بوضوح بين:

• الانحراف المعياري للمجتمع (${\displaystyle \sigma }$)
• الانحراف المعياري للعينة (${\displaystyle \sigma _{x}}$)
• الانحراف المعياري لمتوسط ​​العينة نفسه (${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}}$(وهو الخطأ المعياري)، و
• مُقدِّر الانحراف المعياري لمتوسط ​​العينة (${\displaystyle {\widehat {\sigma }}_{\bar {x}}}$، وهي الكمية الأكثر حسابًا، وتسمى أيضًا بشكل عام الخطأ المعياري ).

يمكن اشتقاق الخطأ المعياري للمتوسط ​​من تباين مجموع المتغيرات العشوائية المستقلة، ^{[ 6 ]} بالنظر إلى تعريف التباين وبعض خصائصه . إذا${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$هو مثال على${\displaystyle n}$ملاحظات مستقلة من مجتمع ذي متوسط${\displaystyle x}$والانحراف المعياري${\displaystyle \sigma }$ثم يمكننا تعريف المجموع$${\displaystyle T=(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}),}$$والذي سيختلف بسبب صيغة بيناميه

$${\displaystyle \operatorname {Var} (T)=\operatorname {Var} (x_{1})+\operatorname {Var} (x_{2})+\cdots +\operatorname {Var} (x_{n})=n\sigma ^{2}.}$$

متوسط ​​هذه القياسات${\displaystyle {\bar {x}}}$يُعطى (متوسط ​​العينة) بواسطة$${\displaystyle {\bar {x}}=T/n.}$$تباين المتوسط ​​هو

$${\displaystyle \operatorname {Var} ({\bar {x}})=\operatorname {Var} \left({\frac {T}{n}}\right)={\frac {1}{n^{2}}}\operatorname {Var} (T)={\frac {1}{n^{2}}}n\sigma ^{2}={\frac {\sigma ^{2}}{n}},}$$

حيث يُستخدم انتشار التباين في المعادلة الثانية. الخطأ المعياري، بحسب التعريف، هو الانحراف المعياري لـ${\displaystyle {\bar {x}}}$وهو الجذر التربيعي للتباين:

$${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}={\sqrt {\frac {\sigma ^{2}}{n}}}={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}.}$$

بمعنى آخر، إذا كان هناك عدد كبير من الملاحظات لكل عينة (${\textstyle n}$وهي مرتفعة مقارنة بتباين السكان${\textstyle \sigma }$ثم المتوسط ​​المحسوب لكل عينة${\textstyle {\bar {x}}}$من المتوقع أن يكون قريبًا من متوسط ​​السكان${\displaystyle x}$.

بالنسبة للمتغيرات العشوائية المترابطة، يجب حساب تباين العينة وفقًا لنظرية النهاية المركزية لسلسلة ماركوف .

توجد حالات يتم فيها أخذ عينة دون معرفة مسبقة بعدد المشاهدات المقبولة وفقًا لمعيار معين. في مثل هذه الحالات، يكون حجم العينة${\displaystyle N}$هو متغير عشوائي يضاف تباينه إلى تباين${\displaystyle X}$بحيث،$${\displaystyle \operatorname {Var} (T)=\operatorname {E} (N)\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (N){\big (}\operatorname {E} (X){\big )}^{2}}$$^{[ 7 ]} وهو ما يتبع منقانون التباين الكلي.

لو${\displaystyle N}$إذا كان يتبع توزيع بواسون ، فإن${\displaystyle \operatorname {E} (N)=\operatorname {Var} (N)}$مع المُقدِّر${\displaystyle n=N}$وبالتالي فإن مقدر${\displaystyle \operatorname {Var} (T)}$يصبح${\displaystyle nS_{X}^{2}+n{\bar {X}}^{2}}$، مما يؤدي إلى الصيغة التالية للخطأ المعياري: $${\displaystyle \operatorname {Standard~Error} ({\bar {X}})={\sqrt {\frac {S_{X}^{2}+{\bar {X}}^{2}}{n}}}}$$ (لأن الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي للتباين).

في الأدبيات العلمية والتقنية، غالبًا ما تُلخَّص البيانات التجريبية إما باستخدام المتوسط ​​والانحراف المعياري لبيانات العينة، أو المتوسط ​​مع الخطأ المعياري. وهذا غالبًا ما يُؤدي إلى التباس حول إمكانية استبدال هذه المصطلحات. مع ذلك، يُعدّ المتوسط ​​والانحراف المعياري من الإحصاءات الوصفية ، بينما يصف الخطأ المعياري للمتوسط ​​عملية أخذ العينات العشوائية. يُعبّر الانحراف المعياري لبيانات العينة عن التباين في القياسات، بينما يُقدّم الخطأ المعياري للمتوسط ​​بيانًا احتماليًا حول كيفية توفير حجم العينة حدًا أفضل لتقديرات متوسط ​​المجتمع، في ضوء نظرية النهاية المركزية. ^{[ 8 ]}

ببساطة، يُعد الخطأ المعياري لمتوسط ​​العينة تقديرًا لمدى بُعد متوسط ​​العينة عن متوسط ​​المجتمع، بينما يُمثل الانحراف المعياري للعينة مدى اختلاف الأفراد داخل العينة عن متوسطها. ^{[ 9 ]} إذا كان الانحراف المعياري للمجتمع محدودًا، فإن الخطأ المعياري لمتوسط ​​العينة سيقترب من الصفر مع ازدياد حجم العينة، لأن تقدير متوسط ​​المجتمع سيتحسن، بينما سيقترب الانحراف المعياري للعينة من الانحراف المعياري للمجتمع مع ازدياد حجم العينة.

تفترض الصيغة المذكورة أعلاه لحساب الخطأ المعياري أن حجم المجتمع الإحصائي غير محدود. ومع ذلك، تُستخدم هذه الصيغة غالبًا مع المجتمعات الإحصائية المحدودة عندما يرغب الباحثون في قياس العملية التي أدت إلى نشوء هذا المجتمع المحدود (وهذا ما يُسمى بالدراسة التحليلية ). ورغم أن الصيغة المذكورة أعلاه ليست دقيقة تمامًا عندما يكون حجم المجتمع الإحصائي محدودًا، إلا أن الفرق بين صيغتيها في حالة المجتمع المحدود وغير المحدود سيكون ضئيلًا عندما تكون نسبة العينة صغيرة (مثل دراسة نسبة صغيرة من مجتمع إحصائي محدود). في هذه الحالة، غالبًا ما لا يتم تصحيح الخطأ المعياري بناءً على محدودية حجم المجتمع الإحصائي، بل يُعاملونه كمجتمع إحصائي "غير محدود تقريبًا".

إذا كان الهدف هو قياس مجتمع إحصائي محدود قائم لا يتغير بمرور الوقت، فمن الضروري مراعاة حجم هذا المجتمع (وهو ما يُعرف بالدراسة الإحصائية الشاملة ). عندما تكون نسبة العينة (والتي يُشار إليها غالبًا بـ f ) كبيرة (حوالي 5% أو أكثر) في الدراسة الإحصائية الشاملة ، يجب تصحيح تقدير الخطأ المعياري بضربه في " تصحيح المجتمع الإحصائي المحدود " (المعروف أيضًا باسم: FPC ): ^{[ 10 ] [ 11 ]}$${\displaystyle \operatorname {FPC} ={\sqrt {\frac {N-n}{N-1}}}}$$ والتي، بالنسبة لقيم N الكبيرة : $${\displaystyle \operatorname {FPC} \approx {\sqrt {1-{\frac {n}{N}}}}={\sqrt {1-f}}}$$ لتفسير الدقة الإضافية المكتسبة من خلال أخذ عينات قريبة من نسبة أكبر من السكان. ويتمثل تأثير FPC في أن الخطأ يصبح صفراً عندما يكون حجم العينة n مساوياً لحجم السكان N.

يحدث هذا في منهجية المسح عند أخذ العينات بدون إرجاع . أما في حالة أخذ العينات مع الإرجاع، فلا ينطبق مبدأ التحيز العائلي.

إذا لم تكن قيم الكمية المقاسة A مستقلة إحصائياً ولكن تم الحصول عليها من مواقع معروفة في فضاء المعلمات x ، فيمكن الحصول على تقدير غير متحيز للخطأ المعياري الحقيقي للمتوسط ​​(في الواقع تصحيح لجزء الانحراف المعياري) عن طريق ضرب الخطأ المعياري المحسوب للعينة في العامل f :   $${\displaystyle f={\sqrt {\frac {1+\rho }{1-\rho }}},}$$ حيث يُمثل معامل انحياز العينة ρ تقدير برايس-وينستين الشائع الاستخدام لمعامل الارتباط الذاتي (قيمة بين -1 و+1) لجميع أزواج نقاط العينة. هذه الصيغة التقريبية مناسبة لأحجام العينات المتوسطة إلى الكبيرة؛ ويُقدم المرجع الصيغ الدقيقة لأي حجم عينة، ويمكن تطبيقها على السلاسل الزمنية ذات الارتباط الذاتي العالي، مثل أسعار أسهم وول ستريت. علاوة على ذلك، تعمل هذه الصيغة مع قيم ρ الموجبة والسالبة على حد سواء. ^{[ 12 ]} انظر أيضًا التقدير غير المتحيز للانحراف المعياري لمزيد من التفاصيل.