حجة سرقة الاستراتيجية

في نظرية الألعاب التوافقية ، تُعدّ حجة سرقة الاستراتيجية حجة عامة تُبيّن، في العديد من ألعاب اللاعبين ، أن اللاعب الثاني لا يملك استراتيجية مضمونة للفوز . تنطبق هذه الحجة على أي لعبة متناظرة (أي لعبة يمتلك فيها كلا اللاعبين نفس مجموعة الحركات المتاحة بنفس النتائج، بحيث يستطيع اللاعب الأول "استخدام" استراتيجية اللاعب الثاني) حيث لا تُشكّل الحركة الإضافية أي عائق. ^{[ 1 ]} من الخصائص الأساسية لحجة سرقة الاستراتيجية أنها تُثبت أن اللاعب الأول يستطيع الفوز (أو ربما التعادل) دون أن يُنشئ فعليًا مثل هذه الاستراتيجية. لذا، على الرغم من أنها قد تُثبت وجود استراتيجية رابحة، إلا أن البرهان لا يُقدّم أي معلومات حول ماهية تلك الاستراتيجية.

تعتمد الحجة على الوصول إلى تناقض . يُفترض وجود استراتيجية رابحة لدى اللاعب الثاني، الذي يستخدمها. ولكن، باختصار، بعد قيام اللاعب الأول بحركة أولى عشوائية - والتي لا تُعدّ، وفقًا للشروط المذكورة أعلاه، عيبًا - قد يلعب هو الآخر وفقًا لهذه الاستراتيجية الرابحة. والنتيجة هي ضمان فوز كلا اللاعبين، وهو أمرٌ غير منطقي، وبالتالي يُناقض افتراض وجود مثل هذه الاستراتيجية.

ابتكر جون ناش أسلوب سرقة الاستراتيجيات في أربعينيات القرن العشرين لإثبات أن لعبة الهيكس تُحسم دائمًا لصالح اللاعب الأول، إذ لا مجال للتعادل فيها. ^{[ 2 ]} مع ذلك، لم ينشر ناش هذه الطريقة، وينسب جوزيف بيك الفضل في نشرها لأول مرة إلى ألفريد دبليو. هيلز وروبرت آي. جويت، في بحثهما عام 1963 حول لعبة إكس-أو، حيث أثبتا أيضًا نظرية هيلز-جويت . ^{[ 2 ] [ 3 ]} ومن الأمثلة الأخرى على الألعاب التي ينطبق عليها هذا الأسلوب ألعاب m و n و k ، مثل لعبة غوموكو . في لعبة تشومب، يُظهر أسلوب سرقة الاستراتيجيات أن اللاعب الأول يمتلك استراتيجية رابحة على أي رقعة مستطيلة (باستثناء رقعة 1×1). وفي لعبة سيلفر كوينيدج ، استُخدم أسلوب سرقة الاستراتيجيات لإثبات أن اللاعب الأول يمكنه الفوز في مواقع معينة تُسمى "المواقع النهائية". ^{[ 4 ]} في جميع هذه الأمثلة، لا يكشف البرهان شيئًا عن الاستراتيجية الفعلية.

يمكن استخدام حجة سرقة الاستراتيجية على سبيل المثال في لعبة إكس-أو ، مع لوحة وصفوف فائزة بأي حجم. ^{[ 2 ] [ 3 ]} لنفترض أن اللاعب الثاني (P2) يستخدم استراتيجية (S) تضمن الفوز. يضع اللاعب الأول (P1) علامة (X) في موضع عشوائي. يرد P2 بوضع علامة (O) وفقًا للاستراتيجية (S) . ولكن إذا تجاهل P1 علامة (X) العشوائية الأولى ، فسيكون في نفس وضع P2 في حركته الأولى: قطعة واحدة للخصم على اللوحة. لذلك، يمكن لـ P1 القيام بحركة وفقًا للاستراتيجية (S) - أي ما لم تتطلب الاستراتيجية (S) وضع علامة ( X) أخرى مكان العلامة (X) المتجاهلة . ولكن في هذه الحالة، يمكن لـ P1 ببساطة وضع علامة ( X) في موضع عشوائي آخر على اللوحة، والنتيجة النهائية هي أن إحدى علامتي (X) ستكون في الموضع المطلوب من الاستراتيجية (S) ، بينما ستكون الأخرى في موضع عشوائي، لتصبح هي القطعة المتجاهلة الجديدة، مما يُبقي الوضع كما هو. بالاستمرار على هذا المنوال، يُفترض أن S سيُحقق وضعًا رابحًا (مع تجاهل X إضافي لا يُؤثر). ولكن حينها يكون P2 قد خسر، مما يُناقض الافتراض بأن P2 كان لديه استراتيجية مضمونة للفوز. لذا، لا توجد مثل هذه الاستراتيجية الرابحة لـ P2، وتكون لعبة إكس-أو إما فوزًا إجباريًا لـ P1 أو تعادلًا. (يُظهر تحليل إضافي أنها في الواقع تعادل).

ينطبق الدليل نفسه على أي لعبة استراتيجية قوية .

فيليدور، 1777

	أ	ب	ج	د	هـ	و	ز	ح
8									8
7									7
6									6
5									5
4									4
3									3
2									2
1									1
	أ	ب	ج	د	هـ	و	ز	ح

الأسود في وضعية zugzwang، حيث يجب عليهم تحريك رخهم بعيدًا عن ملكهم.

توجد فئة من وضعيات الشطرنج تُسمى "زوغزوانغ" ، حيث يُفضّل اللاعب المُلزم بالتحريك "التنازل" إذا سُمح له بذلك. ولهذا السبب، لا يُمكن تطبيق حجة سرقة الاستراتيجية على الشطرنج. ^{[ 5 ]} ليس من المعروف حاليًا ما إذا كان بإمكان الأبيض أو الأسود فرض الفوز باللعب الأمثل، أو ما إذا كان بإمكان كلا اللاعبين فرض التعادل. ومع ذلك، يعتبر جميع دارسي الشطرنج تقريبًا أن نقلة الأبيض الأولى تُشكّل ميزة، ويفوز الأبيض في أغلب الأحيان على الأسود في المباريات رفيعة المستوى.

إذا عُدّلت القواعد للسماح للاعبين بالتمرير، فإن تناظر الوضعية الابتدائية يُتيح استخدام حجة سرقة الاستراتيجية لإثبات أن اللاعب الأول لديه على الأقل فرصة للتعادل، كما وصفها كلود شانون لأول مرة : إذا كان لدى اللاعب الأول حركة رابحة في الوضعية الابتدائية، فليلعبها، وإلا فليمرر. في دور اللاعب الثاني، إذا لم يكن لدى اللاعب الأول أي حركة رابحة سابقًا، فلن يكون لدى اللاعب الثاني أي حركة رابحة الآن. لذلك، يمكن للاعب الثاني في أفضل الأحوال أن يتعادل، ويمكن للاعب الأول على الأقل أن يتعادل، وبالتالي فإن اللعبة المثالية تُسفر عن فوز اللاعب الأول أو تعادله. ^{[ 6 ]}

في لعبة غو ، يُسمح بالتنازل عن الدور. عندما يكون وضع البداية متناظرًا (لوحة فارغة، لا يملك أي من اللاعبين نقاطًا)، فهذا يعني أن اللاعب الأول يستطيع سرقة استراتيجية الفوز الخاصة باللاعب الثاني بمجرد التنازل عن الدور الأول. مع ذلك، منذ ثلاثينيات القرن العشرين، ^{[ 7 ]} يُمنح اللاعب الثاني عادةً بعض نقاط التعويض ، مما يجعل وضع البداية غير متناظر، وبالتالي لا يُعتدّ بحجة سرقة الاستراتيجية.

إحدى الاستراتيجيات الأساسية في اللعبة هي " اللعبة المتطابقة "، حيث يقوم اللاعب الثاني بحركات معاكسة قطريًا لحركات خصمه. يمكن التغلب على هذه الاستراتيجية باستخدام أساليب التدرج ، أو المواجهات المباشرة ، أو بالنجاح في السيطرة على النقطة المركزية للوحة.

تُظهر حجة سرقة الاستراتيجية أن اللاعب الثاني لا يمكنه الفوز، وذلك باستنتاج تناقض من أي استراتيجية فوز افتراضية له. تُستخدم هذه الحجة عادةً في الألعاب التي لا يمكن فيها التعادل، استنادًا إلى قانون الوسط المرفوع . مع ذلك، فهي لا تُقدم استراتيجية صريحة للاعب الأول، ولذلك تُوصف بأنها غير بنّاءة. ^{[ 5 ]} وهذا يثير التساؤل حول كيفية حساب استراتيجية الفوز فعليًا.

في الألعاب ذات عدد محدود من المواقع المتاحة، مثل لعبة "تشومب" ، يمكن إيجاد استراتيجية رابحة من خلال البحث الشامل. ^{[ 8 ]} ومع ذلك، قد يكون هذا غير عملي إذا كان عدد المواقع كبيرًا.

في عام 2019، أثبت جريج بودوين وأوفر جروسمان أن مشكلة إيجاد استراتيجية رابحة هي مشكلة صعبة من نوع PSPACE في نوعين من الألعاب التي تم فيها استخدام حجج سرقة الاستراتيجية: لعبة المجموعة الجزئية الدنيا ولعبة الصانع-الصانع المتناظرة . ^{[ 9 ]}