عامل دون المستوى الطبيعي

كل مؤثر طبيعي هو مؤثر شبه طبيعي بحكم التعريف، لكن العكس ليس صحيحًا بشكل عام. يمكن الحصول على فئة بسيطة من الأمثلة بتخفيف خصائص المؤثرات الوحدوية . المؤثر الوحدوي هو تحويل متساوي القياس ذو مدى كثيف . لنفترض الآن تحويلًا متساوي القياس A الذي لا يكون مداه كثيفًا بالضرورة. مثال ملموس على ذلك هو الإزاحة أحادية الجانب ، وهي ليست طبيعية. لكن A شبه طبيعي، ويمكن إثبات ذلك صراحةً. لنُعرّف مؤثرًا U على

${\displaystyle H\oplus H}$

بواسطة

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}A&I-AA^{*}\\0&-A^{*}\end{bmatrix}}.}$

تُظهر الحسابات المباشرة أن U وحدوي، وبالتالي فهو امتداد طبيعي لـ A. يُطلق على المؤثر U اسم التمدد الوحدوي للتماثل A.

يُقال عن المؤثر A أنه شبه طبيعي إذا كان A يتبادل مع A*A . ^{[ 2 ]} وبالتالي، فإن المؤثر الطبيعي هو شبه طبيعي؛ والعكس غير صحيح. ويُقدم مثال مضاد، كما ذُكر أعلاه، وهو الإزاحة أحادية الجانب. لذلك، فإن عائلة المؤثرات الطبيعية هي مجموعة جزئية فعلية من كلٍّ من المؤثرات شبه الطبيعية والمؤثرات دون الطبيعية. والسؤال الطبيعي الذي يطرح نفسه هو: ما العلاقة بين المؤثرات شبه الطبيعية والمؤثرات دون الطبيعية؟

سنُبين أن المؤثر شبه الطبيعي هو بالضرورة مؤثر دون طبيعي، ولكن ليس العكس. بالتالي، فإن المؤثرات الطبيعية هي فئة فرعية حقيقية من المؤثرات شبه الطبيعية، والتي بدورها تندرج ضمن المؤثرات دون الطبيعية. ولإثبات أن المؤثر شبه الطبيعي هو مؤثر دون طبيعي، تذكر الخاصية التالية للمؤثرات شبه الطبيعية:

حقيقة: يكون المؤثر المحدود A شبه طبيعي إذا وفقط إذا كان في تحليله القطبي A = UP ، يتبادل كل من التماثل الجزئي U والمؤثر الموجب P. ^{[ 3 ]}

بفرض وجود فضاء شبه طبيعي A ، فإن الفكرة هي بناء تمددات للفضاءين U و P بطريقة مناسبة بحيث يكون كل شيء تبادليًا. لنفترض مؤقتًا أن U عبارة عن تماثل قياسي. ولتكن V هي التمدد الوحدوي للفضاء U.

${\displaystyle V={\begin{bmatrix}U&I-UU^{*}\\0&-U^{*}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}U&D_{U^{*}}\\0&-U^{*}\end{bmatrix}}.}$

يُعرِّف

${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}P&0\\0&P\end{bmatrix}}.}$

من الواضح أن المؤثر N = VQ هو امتداد للمؤثر A. وسنُبين أنه امتداد طبيعي من خلال الحساب المباشر. وحدة V تعني

${\displaystyle N^{*}N=QV^{*}VQ=Q^{2}={\begin{bmatrix}P^{2}&0\\0&P^{2}\end{bmatrix}}.}$

على الجانب الآخر،

${\displaystyle NN^{*}={\begin{bmatrix}UP^{2}U^{*}+D_{U^{*}}P^{2}D_{U^{*}}&-D_{U^{*}}P^{2}U\\-U^{*}P^{2}D_{U^{*}}&U^{*}P^{2}U\end{bmatrix}}.}$

بما أن UP = PU و P مصفوفة ذاتية الترافق، فإن U*P = PU* و D _U* P = D _U* P. وبمقارنة المدخلات، يتضح أن N مصفوفة طبيعية. وهذا يثبت أن شبه الطبيعية تستلزم شبه الطبيعية.

كمثال مضاد يُظهر أن العكس ليس صحيحًا، لننظر مجددًا إلى الإزاحة أحادية الجانب A. يبقى المؤثر B = A + s لبعض القيم العددية s دون المستوى الطبيعي. ولكن إذا كان B شبه طبيعي، فإن حسابًا بسيطًا يُظهر أن A*A = AA* ، وهو تناقض.

بالنظر إلى مؤثر شبه طبيعي A ، فإن امتداده الطبيعي B ليس فريدًا. على سبيل المثال، ليكن ^{A هو الإزاحة أحادية الجانب على l²} ( N ) . أحد الامتدادات الطبيعية هو الإزاحة ثنائية الجانب B على l² ⁽ Z ) المعرفة بـ

${\displaystyle B(\ldots ,a_{-1},{{\hat {a}}_{0}},a_{1},\ldots )=(\ldots ,{{\hat {a}}_{-1}},a_{0},a_{1},\ldots ),}$

حيث يشير الرمز ˆ إلى الموضع الصفري. يمكن التعبير عن B بدلالة مصفوفة المؤثرات.

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}A&I-AA^{*}\\0&A^{*}\end{bmatrix}}.}$

يُعطى امتداد طبيعي آخر بواسطة التمدد الوحدوي B' لـ A المحدد أعلاه:

${\displaystyle B'={\begin{bmatrix}A&I-AA^{*}\\0&-A^{*}\end{bmatrix}}}$

والذي يتم وصف فعله بواسطة

${\displaystyle B'(\ldots ,a_{-2},a_{-1},{{\hat {a}}_{0}},a_{1},a_{2},\ldots )=(\ldots ,-a_{-2},{{\hat {a}}_{-1}},a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ).}$

لذا، يهتم المرء بالامتداد الطبيعي الذي يُعد، بمعنى ما، الأصغر. بتعبير أدق، يُقال إن المؤثر الطبيعي B الذي يعمل على فضاء هيلبرت K هو امتداد أدنى لمؤثر شبه طبيعي A إذا كان K' ⊂ K فضاءً جزئيًا مُختزلًا من B و H ⊂ K' ، فإن K' = K. (الفضاء الجزئي هو فضاء جزئي مُختزل من B إذا كان ثابتًا تحت كل من B و B* ). ^{[ 4 ]}

_{يمكن إثبات أنه إذا كان} المؤثران B1 و B2 امتدادين أدنى على K1 و _{K2 على} التوالي ، فإنه يوجد مؤثر _وحدوي

${\displaystyle U:K_{1}\rightarrow K_{2}.}$

كما أن العلاقة المتشابكة التالية قائمة:

${\displaystyle UB_{1}=B_{2}U.\,}$

يمكن إثبات ذلك بطريقة بناءة. لنفترض المجموعة S التي تتكون من متجهات بالشكل التالي:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(B_{1}^{*})^{i}h_{i}=h_{0}+B_{1}^{*}h_{1}+(B_{1}^{*})^{2}h_{2}+\cdots +(B_{1}^{*})^{n}h_{n}\quad {\text{where}}\quad h_{i}\in H.}$

ليكن K' ⊂ K ₁ الفضاء الجزئي الذي يمثل إغلاق الفضاء الخطي الممتد من S. بحسب التعريف، فإن K' ثابت تحت تأثير B ₁ * ويحتوي على H. إن خاصية الانتظام لـ B ₁ وافتراض أن H ثابت تحت تأثير B ₁ يستلزمان أن K' ثابت تحت تأثير B _1. بالتالي، K' = K _1. يمكن تحديد فضاء هيلبرت K ₂ بنفس الطريقة تمامًا. الآن، نُعرّف المؤثر U كما يلي:

${\displaystyle U\sum _{i=0}^{n}(B_{1}^{*})^{i}h_{i}=\sum _{i=0}^{n}(B_{2}^{*})^{i}h_{i}}$

لأن

${\displaystyle \left\langle \sum _{i=0}^{n}(B_{1}^{*})^{i}h_{i},\sum _{j=0}^{n}(B_{1}^{*})^{j}h_{j}\right\rangle =\sum _{ij}\langle h_{i},(B_{1})^{i}(B_{1}^{*})^{j}h_{j}\rangle =\sum _{ij}\langle (B_{2})^{j}h_{i},(B_{2})^{i}h_{j}\rangle =\left\langle \sum _{i=0}^{n}(B_{2}^{*})^{i}h_{i},\sum _{j=0}^{n}(B_{2}^{*})^{j}h_{j}\right\rangle ,}$

، المؤثر U وحدوي. كما تُظهر الحسابات المباشرة ( يلزم هنا افتراض أن كلاً من _B1 و B2 امتدادان لـ A ) _.

${\displaystyle {\text{if }}g=\sum _{i=0}^{n}(B_{1}^{*})^{i}h_{i},}$

${\displaystyle {\text{then }}UB_{1}g=B_{2}Ug=\sum _{i=0}^{n}(B_{2}^{*})^{i}Ah_{i}.}$

عندما لا يُفترض أن B ₁ و B ₂ هما الحد الأدنى، فإن نفس الحساب يوضح أن الادعاء أعلاه صحيح حرفيًا مع كون U عبارة عن تماثل جزئي .