مجموعة كثيفة

في علم الطوبولوجيا والمجالات ذات الصلة في الرياضيات ، يُقال إن مجموعة جزئية A من فضاء طوبولوجي X كثيفة في X إذا كانت كل نقطة من X إما تنتمي إلى A أو تكون "قريبة" بشكل تعسفي من عناصر A - على سبيل المثال، الأعداد النسبية هي مجموعة جزئية كثيفة من الأعداد الحقيقية لأن كل عدد حقيقي إما أن يكون عددًا نسبيًا أو أن يكون له عدد نسبي قريب منه بشكل تعسفي (انظر التقريب الديوفانتي ). رسميًا،${\displaystyle A}$كثيف في${\displaystyle X}$إذا كانت أصغر مجموعة فرعية مغلقة من${\displaystyle X}$يحتوي على${\displaystyle A}$يكون${\displaystyle X}$نفسه. ^{[ 1 ]}

الكثافة الفضاء الطوبولوجي${\displaystyle X}$هو أقل عدد من العناصر في مجموعة فرعية كثيفة من${\displaystyle X.}$

مجموعة فرعية${\displaystyle A}$فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$يقال إنهمجموعة فرعية كثيفة من${\displaystyle X}$إذا تحققت أي من الشروط المكافئة التالية:

1. أصغر مجموعة فرعية مغلقة من${\displaystyle X}$يحتوي على${\displaystyle A}$يكون${\displaystyle X}$نفسها.
2. إغلاق​​${\displaystyle A}$في${\displaystyle X}$يساوي${\displaystyle X.}$إنه،${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A=X.}$
3. الجزء الداخلي من مكمل​${\displaystyle A}$فارغ. أي،${\displaystyle \operatorname {int} _{X}(X\setminus A)=\varnothing .}$
4. كل نقطة في${\displaystyle X}$إما ينتمي إلى${\displaystyle A}$أو هي نقطة حدية لـ${\displaystyle A.}$
5. لكل${\displaystyle x\in X,}$كل حي${\displaystyle U}$ل${\displaystyle x}$يتقاطع${\displaystyle A;}$إنه،${\displaystyle U\cap A\neq \varnothing .}$
6. ${\displaystyle A}$يتقاطع مع كل مجموعة فرعية مفتوحة غير فارغة من${\displaystyle X.}$

وإذا${\displaystyle {\mathcal {B}}}$هي أساس المجموعات المفتوحة للطوبولوجيا على${\displaystyle X}$ثم يمكن توسيع هذه القائمة لتشمل:

7. لكل${\displaystyle x\in X,}$كل الأحياء الأساسية${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ل${\displaystyle x}$يتقاطع${\displaystyle A.}$
8. ${\displaystyle A}$يتقاطع مع كل عنصر غير فارغ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}.}$

الأعداد الحقيقية ذات الطوبولوجيا المعتادة تحتوي على الأعداد النسبية كمجموعة جزئية كثيفة قابلة للعد ، مما يدل على أن عدد عناصر أي مجموعة جزئية كثيفة في فضاء طوبولوجي قد يكون أصغر تمامًا من عدد عناصر الفضاء نفسه. الأعداد غير النسبية هي مجموعة جزئية كثيفة أخرى، مما يدل على أن الفضاء الطوبولوجي قد يحتوي على عدة مجموعات جزئية كثيفة منفصلة (على وجه الخصوص، قد تكون مجموعتان جزئيتان كثيفتان مكملتين لبعضهما البعض)، ولا يشترط أن يكون لهما نفس عدد العناصر. ولعل الأمر الأكثر إثارة للدهشة هو أن كلًا من الأعداد النسبية وغير النسبية تحتوي على عناصر داخلية فارغة، مما يدل على أن المجموعات الكثيفة لا يشترط أن تحتوي على أي مجموعة مفتوحة غير فارغة. تقاطع مجموعتين جزئيتين مفتوحتين كثيفتين في فضاء طوبولوجي هو أيضًا مجموعة جزئية كثيفة ومفتوحة. ^{[ البرهان 1 ]} المجموعة الفارغة هي مجموعة جزئية كثيفة من نفسها. ولكن كل مجموعة جزئية كثيفة في فضاء غير فارغ يجب أن تكون أيضًا غير فارغة.

بحسب نظرية تقريب فايرشتراس ، فإن أي دالة متصلة ذات قيم مركبة معرفة على فترة مغلقة${\displaystyle [a,b]}$يمكن تقريبها بشكل منتظم ودقيق قدر الإمكان باستخدام دالة متعددة الحدود . بعبارة أخرى، تكون الدوال متعددة الحدود كثيفة في الفضاء.${\displaystyle C[a,b]}$من الدوال المركبة المستمرة على الفترة${\displaystyle [a,b],}$مجهز بالمعيار الأعلى .

كل فضاء متري كثيف في اكتماله .

كل فضاء طوبولوجي هو مجموعة جزئية كثيفة من نفسه. بالنسبة لمجموعة${\displaystyle X}$بفضل الطوبولوجيا المنفصلة ، ​​فإن الفضاء بأكمله هو المجموعة الجزئية الكثيفة الوحيدة. كل مجموعة جزئية غير فارغة من مجموعة${\displaystyle X}$إن كل طوبولوجيا مجهزة بالطوبولوجيا التافهة تكون كثيفة، وكل طوبولوجيا تكون فيها كل مجموعة فرعية غير فارغة كثيفة يجب أن تكون تافهة.

الكثافة خاصية متعدية : بالنظر إلى ثلاث مجموعات جزئية${\displaystyle A,B}$و${\displaystyle C}$فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$مع${\displaystyle A\subseteq B\subseteq C\subseteq X}$بحيث${\displaystyle A}$كثيف في${\displaystyle B}$و${\displaystyle B}$كثيف في${\displaystyle C}$(في طوبولوجيا الفضاء الفرعي المعني ) ثم${\displaystyle A}$كما أنها كثيفة في${\displaystyle C.}$

صورة مجموعة جزئية كثيفة تحت دالة متصلة شاملة هي أيضاً مجموعة جزئية كثيفة. كثافة الفضاء الطوبولوجي (أصغر عدد من عناصر مجموعاته الجزئية الكثيفة) هي ثابت طوبولوجي .

الفضاء الطوبولوجي الذي يحتوي على مجموعة فرعية كثيفة متصلة يكون متصلاً بالضرورة في حد ذاته.

تُحدد الدوال المتصلة في فضاءات هاوسدورف من خلال قيمها على المجموعات الجزئية الكثيفة: إذا كانت دالتان متصلتان${\displaystyle f,g:X\to Y}$إلى مساحة هاوسدورف${\displaystyle Y}$الاتفاق على مجموعة فرعية كثيفة من${\displaystyle X}$ثم يتفقون على كل شيء${\displaystyle X.}$

بالنسبة للفضاءات المترية، توجد فضاءات شاملة، يمكن تضمين جميع الفضاءات ذات الكثافة المعطاة فيها : فضاء متري ذو كثافة${\displaystyle \alpha }$متساوي القياس بالنسبة لفضاء جزئي من${\displaystyle C\left([0,1]^{\alpha },\mathbb {R} \right),}$فضاء الدوال الحقيقية المتصلة على حاصل ضرب${\displaystyle \alpha }$نسخ من الفترة الزمنية للوحدة . ^{[ 2 ]}

نقطة${\displaystyle x}$من مجموعة جزئية${\displaystyle A}$فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$تُسمى نقطة حدية لـ${\displaystyle A}$(في${\displaystyle X}$) إذا كان كل حي من${\displaystyle x}$كما يحتوي على نقطة من${\displaystyle A}$بخلاف${\displaystyle x}$نفسها، ونقطة معزولة من${\displaystyle A}$وإلا. يُقال إن المجموعة الجزئية التي لا تحتوي على نقاط معزولة كثيفة في ذاتها .

مجموعة فرعية${\displaystyle A}$فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$يُطلق عليه اسم الكثافة غير المحدودة (في${\displaystyle X}$) إذا لم يكن هناك حي في${\displaystyle X}$على أي${\displaystyle A}$كثيفة. وبصورة مكافئة، تكون مجموعة جزئية من فضاء طوبولوجي غير كثيفة في أي مكان إذا وفقط إذا كان باطن إغلاقها فارغًا. باطن متممة مجموعة غير كثيفة في أي مكان يكون دائمًا كثيفًا. متممة مجموعة مغلقة غير كثيفة في أي مكان هي مجموعة مفتوحة كثيفة. بالنظر إلى فضاء طوبولوجي${\displaystyle X,}$مجموعة فرعية${\displaystyle A}$ل${\displaystyle X}$يمكن التعبير عن ذلك كاتحاد لعدد لا يُحصى من المجموعات الفرعية غير الكثيفة في أي مكان من${\displaystyle X}$يُطلق عليها اسم "ضئيلة" . الأعداد النسبية، على الرغم من كونها كثيفة في الأعداد الحقيقية، إلا أنها ضئيلة كمجموعة جزئية من الأعداد الحقيقية.

يُطلق على الفضاء الطوبولوجي الذي يحتوي على مجموعة جزئية كثيفة قابلة للعد اسم الفضاء القابل للفصل . ويُسمى الفضاء الطوبولوجي فضاء باير إذا وفقط إذا كان تقاطع عدد قابل للعد من المجموعات المفتوحة الكثيفة كثيفًا دائمًا. ويُطلق على الفضاء الطوبولوجي اسم الفضاء القابل للحل إذا كان اتحاد مجموعتين جزئيتين كثيفتين منفصلتين. وبشكل أعم، يُطلق على الفضاء الطوبولوجي اسم الفضاء القابل للحل من النوع κ، حيث κ عدد أصلي ، إذا كان يحتوي على κ مجموعة كثيفة منفصلة مثنى مثنى.

تضمين فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$تُسمى المجموعة الجزئية الكثيفة من الفضاء المضغوط تكثيفًا لـ${\displaystyle X.}$

مؤثر خطي بين فضاءات متجهة طوبولوجية${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$يُقال إنها معرفة بشكل كثيف إذا كان مجالها مجموعة فرعية كثيفة من${\displaystyle X}$وإذا كان نطاقها محصوراً ضمن${\displaystyle Y.}$انظر أيضًا: التمديد الخطي المتصل .

فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$تكون المجموعة فائقة الاتصال إذا وفقط إذا كانت كل مجموعة مفتوحة غير فارغة كثيفة في${\displaystyle X.}$تكون الفضاءات الطوبولوجية شبه قصوى إذا وفقط إذا كانت كل مجموعة فرعية كثيفة مفتوحة.

لو${\displaystyle \left(X,d_{X}\right)}$إذا كان فضاءً متريًا، فإن مجموعة جزئية غير فارغة${\displaystyle Y}$يقال إنه${\displaystyle \varepsilon }$كثيف إذا $${\displaystyle \forall x\in X,\;\exists y\in Y{\text{ such that }}d_{X}(x,y)\leq \varepsilon .}$$

يمكن للمرء بعد ذلك أن يثبت ذلك${\displaystyle D}$كثيف في${\displaystyle \left(X,d_{X}\right)}$إذا وفقط إذا كانت كثيفة من النوع ε لكل${\displaystyle \varepsilon >0.}$

• نظرية بلومبرغ – أي دالة حقيقية على R تقبل قيدًا مستمرًا على مجموعة جزئية كثيفة من R 
• الترتيب الكثيف – نوع من أنواع ترتيب المجموعة 
• كثيف (نظرية الشبكة)

البراهين