عامل الوحدة

في التحليل الوظيفي ، المؤثر الوحدوي هو مؤثر شامل ومحدود على فضاء هيلبرت يحافظ على الجداء الداخلي . ومن الأمثلة غير التافهة عليه الدوران والانعكاس ومؤثر فورييه . تعمم المؤثرات الوحدوية المصفوفات الوحدوية . عادةً ما تُعتبر المؤثرات الوحدوية مؤثرة على فضاء هيلبرت، ولكن المفهوم نفسه يُستخدم لتعريف مفهوم التشاكل بين فضاءات هيلبرت.

التعريف 1. المؤثر الوحدوي هو مؤثر خطي محدود U  : H → H على فضاء هيلبرت H يحقق U * U = UU * = I ، حيث U * هو المؤثر المرافق لـ U ، و I  : H → H هو مؤثر الوحدة .

يُعرّف الشرط الأضعف U * U = I تماثلًا قياسيًا . أما الشرط الأضعف الآخر، UU * = I ، فيُعرّف تماثلًا قياسيًا مشتركًا . بالتالي، فإن المؤثر الوحدوي هو مؤثر خطي محدود يكون تماثلًا قياسيًا وتماثلًا قياسيًا مشتركًا في آنٍ واحد، ^{[ 1 ]} أو، بصورة مكافئة، تماثلًا قياسيًا شاملًا . ^{[ 2 ]}

التعريف المكافئ هو التالي:

التعريف 2. المؤثر الوحدوي هو مؤثر خطي محدود U  : H → H على فضاء هيلبرت H الذي تتحقق فيه الشروط التالية:

• U دالة شاملة ، و
• يحافظ U على الجداء الداخلي لفضاء هيلبرت، H. بعبارة أخرى، بالنسبة لجميع المتجهات x و y في H لدينا:

  ${\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle _{H}=\langle x,y\rangle _{H}.}$

يُمكن فهم مفهوم التشاكل في فئة فضاءات هيلبرت إذا سُمح باختلاف المجال والمدى في هذا التعريف. تحافظ التشاكلات على متتاليات كوشي ؛ وبالتالي، تُحفظ خاصية اكتمال فضاءات هيلبرت ^{[ 3 ].}

التعريف التالي، الذي يبدو أضعف، هو أيضاً مكافئ:

التعريف 3. المؤثر الوحدوي هو مؤثر خطي محدود U  : H → H على فضاء هيلبرت H الذي تتحقق فيه الشروط التالية:

• نطاق U كثيف في H ، و
• يحافظ U على الجداء الداخلي لفضاء هيلبرت، H. بعبارة أخرى، بالنسبة لجميع المتجهات x و y في H لدينا:

  ${\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle _{H}=\langle x,y\rangle _{H}.}$

لإثبات تكافؤ التعريفين 1 و3، لاحظ أن احتفاظ U بالضرب الداخلي يعني أن U عبارة عن تماثل قياسي (وبالتالي، ^مؤثر خطي محدود ). ولأن U له مدى كثيف ، فإن له معكوسًا محدودًا U⁻¹ . من الواضح أن ^U⁻¹ = U * .

وبالتالي، فإن المؤثرات الوحدوية هي مجرد تشاكلات ذاتية لفضاءات هيلبرت، أي أنها تحافظ على بنية الفضاء الذي تعمل عليه (بنية الفضاء المتجهي، والجداء الداخلي، وبالتالي الطوبولوجيا ). ويُشار أحيانًا إلى مجموعة جميع المؤثرات الوحدوية من فضاء هيلبرت معين H إلى نفسه باسم مجموعة هيلبرت لـ H ، ويُرمز لها بـ Hilb( H ) أو U ( H ) .

• دالة التطابق هي بشكل بديهي عامل وحدوي.
• تُعدّ الدورانات في الفضاء الإقليدي ذي ^البعد R² أبسط مثال غير بديهي للمؤثرات الوحدوية. لا تُغيّر الدورانات طول المتجه أو الزاوية بين متجهين. يمكن توسيع هذا المثال ليشمل الفضاء الإقليدي ذي البعد ^R³ . وفي أبعاد أعلى، يمكن تعميمه ليشمل دوران جيفنز .
• انعكاسات، مثل تحول هاوسهولدر .
• ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}}$مضروبة في مصفوفة هادامارد .
• بشكل عام، أي مؤثر في فضاء هيلبرت يعمل عن طريق تبديل أساس متعامد هو مؤثر وحدوي. في الحالة ذات الأبعاد المحدودة، تكون هذه المؤثرات هي مصفوفات التبديل .
• في فضاء المتجهات C للأعداد المركبة ، يُعدّ الضرب بعدد قيمته المطلقة 1 ، أي عدد على الصورة e ^iθ حيث θ ∈ R ، مؤثرًا وحدويًا. يُشار إلى θ بالطور، ويُشار إلى هذا الضرب بالضرب بالطور. لاحظ أن قيمة θ بتردد 2π لا تؤثر على نتيجة الضرب، وبالتالي فإن المؤثرات الوحدوية المستقلة على C تُعطى بمعامل دائرة. تُسمى المجموعة المناظرة، والتي تُمثل الدائرة كمجموعة، U(1) .
• يُعدّ مُؤثر فورييه مُؤثراً وحدوياً، أي المُؤثر الذي يُجري تحويل فورييه (مع التطبيع المناسب). وهذا ما يُستنتج من نظرية بارسيفال .
• البوابات المنطقية الكمومية هي مؤثرات وحدوية. ليست كل البوابات هيرميتية .
• بشكلٍ أعم، تُعدّ المصفوفات الوحدوية تحديدًا المؤثرات الوحدوية على فضاءات هيلبرت ذات الأبعاد المحدودة ، لذا فإن مفهوم المؤثر الوحدوي هو تعميم لمفهوم المصفوفة الوحدوية. أما المصفوفات المتعامدة فهي حالة خاصة من المصفوفات الوحدوية حيث تكون جميع عناصرها حقيقية. ^{[ 4 ]} وهي المؤثرات الوحدوية على Rⁿ ^.
• الإزاحة الثنائية على فضاء التسلسل ℓ ² المفهرس بالأعداد الصحيحة هي إزاحة وحدوية.
• الإزاحة أحادية الجانب (الإزاحة إلى اليمين) هي إزاحة متساوية القياس؛ ومرافقها (الإزاحة إلى اليسار) هي إزاحة متساوية القياس.
• تُستخدم المؤثرات الوحدوية في التمثيلات الوحدوية .
• العنصر الوحدوي هو تعميم للمؤثر الوحدوي. في الجبر الوحدوي ، يُسمى العنصر U في الجبر عنصرًا وحدويًا إذا كان U * U = UU * = I ، حيث I هو العنصر المحايد الضربي . ^{[ 5 ]}
• أي تركيبة مما سبق.

يمكن حذف شرط الخطية في تعريف المؤثر الوحدوي دون تغيير المعنى لأنه يمكن اشتقاقه من الخطية والتحديد الإيجابي للضرب القياسي :

${\displaystyle {\begin{aligned}\|\lambda U(x)-U(\lambda x)\|^{2}&=\langle \lambda U(x)-U(\lambda x),\lambda U(x)-U(\lambda x)\rangle \\[5pt]&=\|\lambda U(x)\|^{2}+\|U(\lambda) x)\|^{2}-\langle U(\lambda x),\lambda U(x)\rangle -\langle \lambda U(x),U(\lambda x)\rangle \\[5pt]&=|\lambda |^{2}\|U(x)\|^{2}+\|U(\lambda x)\|^{2}-{\overline {\lambda }}\langle U(\lambda x),U(x)\rangle -\lambda \langle U(x),U(\lambda x)\rangle \\[5pt]&=|\lambda |^{2}\|x\|^{2}+\|\lambda x\|^{2}-{\overline {\lambda }}\langle \lambda x,x\rangle -\lambda \langle x,\lambda x\rangle \\[5pt]&=0\end{محاذاة}}}$

وبالمثل نحصل

${\displaystyle \|U(x+y)-(Ux+Uy)\|=0.}$

• يقع طيف المؤثر الوحدوي U على دائرة الوحدة . أي أنه لأي عدد مركب λ في الطيف، يكون | λ | = 1. ويمكن اعتبار ذلك نتيجة لنظرية الطيف للمؤثرات العادية . وبحسب النظرية، فإن U مكافئ وحدويًا للضرب بدالة f قابلة للقياس بوريل على L² ( μ ) ، لبعض فضاءات القياس المحدودة ( ^X , μ ) . الآن ، UU * = 1 يستلزم | f ( x )| ^² = 1 ، μ -ae. وهذا يُبين أن المدى الأساسي لـ f ، وبالتالي طيف U ، يقع على دائرة الوحدة.
• تكون التحويلة الخطية وحدوية إذا كانت شاملة ومتساوية القياس. (استخدم متطابقة الاستقطاب لإظهار شرط "فقط إذا").

• مضاد للوحدة – خريطة مضادة للخطية تقابلية بين فضاءين هيلبرت معقدين. صفحات تعرض أوصافًا موجزة لأهداف إعادة التوجيه. 
• قوس متعرج
• بوابة المنطق الكمومي – الدائرة الأساسية في الحوسبة الكمومية 
• المصفوفة الوحدوية – مصفوفة مركبة يكون منقولها المرافق مساوياً لمعكوسها 
• التحويل الوحدوي – التشكل الداخلي الذي يحافظ على الضرب الداخلي 

• كونواي، جيه بي (1990). دورة في التحليل الوظيفي . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد  96. دار نشر سبرينغر . ISBN 0-387-97245-5.

• دوران، روبرت س . بلفي، فيكتور أ. (1986). خصائص C*-الجبر: نظريات جلفاند-نايمارك . نيويورك: مارسيل ديكر. رقم ISBN 0-8247-7569-4.

• هالموس، بول (1982). كتاب مسائل في فضاء هيلبرت . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد  19 (  الطبعة الثانية). دار نشر سبرينغر. ISBN 978-0387906850.

• لانغ، سيرج (1972). المشعبات التفاضلية . ريدينغ، ماساتشوستس - لندن - دون ميلز، أونتاريو: شركة أديسون-ويسلي للنشر. ISBN 978-0387961132.

• رومان، ستيفن (2008)، الجبر الخطي المتقدم ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات (  الطبعة الثالثة)، سبرينغر، ISBN 978-0-387-72828-5