كاردينال فائق الصغر

في نظرية المجموعات ، يُعد العدد الكاردينالي فائق التراص نوعًا من الأعداد الكاردينالية الكبيرة التي قدمها سولوفاي ورينهارت بشكل مستقل. ^{[ 1 ]} وهي تُظهر مجموعة متنوعة من خصائص الانعكاس.

لو${\displaystyle \lambda }$أي عدد ترتيبي ،${\displaystyle \kappa }$يكون${\displaystyle \lambda }$-supercompact تعني وجود تضمين أولي${\displaystyle j}$من الكون${\displaystyle V}$إلى نموذج داخلي متعدٍ${\displaystyle M}$مع نقطة حرجة${\displaystyle \kappa }$،${\displaystyle j(\kappa )>\lambda }$و

${\displaystyle {}^{\lambda }M\subseteq M\,.}$

إنه،${\displaystyle M}$يحتوي على كل ما فيه${\displaystyle \lambda }$-التسلسلات. ثم${\displaystyle \kappa }$يعني مصطلح "صغير الحجم" أنه${\displaystyle \lambda }$-مضغوط للغاية لجميع الترتيبية${\displaystyle \lambda }$.

أو بدلاً من ذلك، عدد أصلي غير معدود${\displaystyle \kappa }$تكون فائقة الصغر إذا كان لكل${\displaystyle A}$بحيث${\displaystyle \vert A\vert \geq \kappa }$يوجد مقياس طبيعي على${\displaystyle [A]^{<\kappa }}$، بالمعنى التالي.

${\displaystyle [A]^{<\kappa }}$يُعرَّف على النحو التالي:

${\displaystyle [A]^{<\kappa }:=\{x\subseteq A\mid \vert x\vert <\kappa \}}$.

مرشح فائق${\displaystyle U}$زيادة${\displaystyle [A]^{<\kappa }}$لا بأس بذلك.${\displaystyle \kappa }$-مكتمل و${\displaystyle \{x\in [A]^{<\kappa }\mid a\in x\}\in U}$لكل${\displaystyle a\in A}$مقياس طبيعي على${\displaystyle [A]^{<\kappa }}$هو مرشح فائق الدقة${\displaystyle U}$زيادة${\displaystyle [A]^{<\kappa }}$مع الخاصية الإضافية التي تتمثل في أن كل وظيفة${\displaystyle f:[A]^{<\kappa }\to A}$بحيث${\displaystyle \{x\in [A]^{<\kappa }|f(x)\in x\}\in U}$ثابت على مجموعة في${\displaystyle U}$هنا "ثابت على مجموعة في${\displaystyle U}$"يعني أن هناك${\displaystyle a\in A}$بحيث${\displaystyle \{x\in [A]^{<\kappa }|f(x)=a\}\in U}$.

تتمتع الأعداد الأساسية فائقة التراص بخصائص انعكاسية. إذا وُجد عدد أساسي ذو خاصية معينة (مثلاً عدد أساسي ضخم من الرتبة 3 ) يشهد عليه هيكل ذو رتبة محدودة فوق عدد أساسي فائق التراص،${\displaystyle \kappa }$إذاً، يوجد عدد أصلي بهذه الخاصية أدناه${\displaystyle \kappa }$على سبيل المثال، إذا${\displaystyle \kappa }$تكون فائقة التراص، وتسري فرضية الاستمرارية المعممة (GCH) أدناه${\displaystyle \kappa }$ثم يصح ذلك في كل مكان لأن هناك تقابلًا بين مجموعة القوى لـ${\displaystyle \nu }$وكاردينال على الأقل${\displaystyle \nu ^{++}}$سيكون شاهداً من رتبة محدودة على فشل شركة GCH في${\displaystyle \nu }$لذا سيتعين أن يكون موجودًا في الأسفل أيضًا${\displaystyle \nu }$.

يُعد إيجاد نموذج داخلي معياري للأعداد الأساسية فائقة الصغر أحد المشاكل الرئيسية لنظرية النموذج الداخلي .

أقل كاردينال فائق الصغر هو الأقل${\displaystyle \kappa }$بحيث يكون لكل هيكل${\displaystyle (M,R_{1},\ldots ,R_{n})}$مع عدد عناصر المجال${\displaystyle \vert M\vert \geq \kappa }$ولكل${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$جملة${\displaystyle \phi }$بحيث${\displaystyle (M,R_{1},\ldots ,R_{n})\vDash \phi }$توجد بنية فرعية${\displaystyle (M',R_{1}\vert M,\ldots ,R_{n}\vert M)}$بنطاق أصغر (أي${\displaystyle \vert M'\vert <\vert M\vert }$) الذي يرضي${\displaystyle \phi }$[ ^{2 ]​}

تتمتع خاصية التراص الفائق بتوصيف توافقي مشابه لخاصية كونها غير قابلة للتعبير عنها . ليكن${\displaystyle P_{\kappa }(A)}$لتكن مجموعة جميع المجموعات الجزئية غير الفارغة من${\displaystyle A}$التي لها عددية${\displaystyle <\kappa }$. كاردينال${\displaystyle \kappa }$تكون مضغوطة للغاية إذا وفقط إذا كان ذلك لكل مجموعة${\displaystyle A}$(بمعنى آخر كل عدد رئيسي)${\displaystyle \alpha }$) لكل دالة${\displaystyle f:P_{\kappa }(A)\to P_{\kappa }(A)}$، لو${\displaystyle f(X)\subseteq X}$للجميع${\displaystyle X\in P_{\kappa }(A)}$ثم هناك بعض${\displaystyle B\subseteq A}$بحيث${\displaystyle \{X\mid f(X)=B\cap X\}}$ثابت (في \(P_\kappa(A)\)). ^{[ 3 ]}

حصل ماغيدور على صيغة معدلة لخاصية الشجرة التي تنطبق على عدد أصلي غير قابل للوصول إذا وفقط إذا كان فائق التراص. ^{[ 4 ]}

• عدم التدمير
• كاردينال قوي ومدمج
• قائمة الخصائص الأساسية الكبيرة