النموذج الداخلي

في نظرية المجموعات ، وهي فرع من المنطق الرياضي ، فإن النموذج الداخلي ^{[ 1 ]} لنظرية T هو بنية فرعية لنموذج M لنظرية مجموعة يكون نموذجًا لـ T ويحتوي على جميع الترتيبات لـ M.

ليكن L = ⟨∈⟩ لغة نظرية المجموعات. ولتكن S نظرية مجموعات معينة، على سبيل المثال بديهيات ZFC ، ولتكن T (ربما هي نفسها S ) نظرية في L أيضًا.

إذا كان M نموذجًا لـ S، و N بنية L بحيث

1. N هي بنية فرعية ^من M ، أي أن تفسير ∈ في _N هو ∈ M ∩ _N 2
2. N هو نموذج لـ T
3. مجال N هو فئة متعدية من M
4. تحتوي N على جميع الأعداد الترتيبية في M

ثم نقول إن N هو نموذج داخلي لـ T (في M ). ^{[ 2 ]} عادةً ما يساوي T (أو يشمل) S ، بحيث يكون N نموذجًا لـ S "داخل " النموذج M لـ S.

إذا تحققت الشروط 1 و2 فقط، يُطلق على N اسم نموذج قياسي لـ T (في M )، ونموذج فرعي قياسي لـ T إذا كانت ( S = T و) N مجموعة في M. يُطلق على النموذج N لـ T في M اسم نموذج متعدٍ عندما يكون قياسيًا ويتحقق الشرط 3. إذا لم يُفترض وجود بديهية الأساس (أي، ليس في S )، فإن هذه المفاهيم الثلاثة تُعطى شرطًا إضافيًا وهو أن يكون N مؤسسًا جيدًا . وبالتالي، فإن النماذج الداخلية تكون متعدية، والنماذج المتعدية تكون قياسية، والنماذج القياسية تكون مؤسسة جيدًا.

إن افتراض وجود نموذج فرعي معياري لنظرية ZFC (في كون معين) أقوى من افتراض وجود نموذج عام. في الواقع، إذا وُجد نموذج فرعي معياري، فإنه يوجد نموذج فرعي معياري أصغر يُسمى النموذج الأدنى، وهو مُضمن في جميع النماذج الفرعية المعيارية. لا يحتوي النموذج الأدنى على أي نموذج فرعي معياري (لأنه أدنى)، ولكنه (بافتراض اتساق نظرية ZFC) يحتوي على نموذج ما لنظرية ZFC وفقًا لنظرية غودل للاكتمال . هذا النموذج بالضرورة غير مؤسس جيدًا، وإلا لكان انهيار موستوفسكي الخاص به نموذجًا فرعيًا معياريًا. (هو غير مؤسس جيدًا كعلاقة في الكون، على الرغم من أنه يُحقق بديهية التأسيس، لذا فهو مؤسس جيدًا "داخليًا". كون النموذج مؤسسًا جيدًا ليس خاصية مطلقة. ^{[ 3 ]} ) على وجه الخصوص، يوجد في النموذج الأدنى نموذج لنظرية ZFC، ولكن لا يوجد نموذج فرعي معياري لها.

عادةً، عند الحديث عن النماذج الداخلية لنظرية ما، فإن النظرية التي يتم مناقشتها هي ZFC أو أحد امتداداتها (مثل ZFC  +  " يوجد عدد أصلي قابل للقياس "). وعندما لا تُذكر أي نظرية، يُفترض عادةً أن النموذج قيد النقاش هو نموذج داخلي لـ ZFC. مع ذلك، ليس من النادر الحديث عن النماذج الداخلية لنظريات فرعية من ZFC (مثل ZF أو KP ) أيضًا.

أثبت كورت غودل أن أي نموذج لـ ZF له نموذج داخلي أصغر لـ ZF، وهو الكون القابل للبناء ، وهو أيضًا نموذج داخلي لـ ZFC  + GCH . 

يوجد فرع من نظرية المجموعات يُسمى نظرية النموذج الداخلي ، وهو يدرس طرق بناء أصغر النماذج الداخلية للنظريات التي تُوسّع نظرية  ZF. وقد أدت نظرية النموذج الداخلي إلى اكتشاف قوة الاتساق الدقيقة للعديد من الخصائص المهمة في نظرية المجموعات.