رقم ترتيبي

تحتوي هذه المقالة على العديد من المشكلات. يُرجى المساعدة في تحسينها أو مناقشة هذه المشكلات على صفحة المناقشة . ( تعرف على كيفية ومتى يمكنك إزالة هذه الرسائل ) تحتاج هذه المقالة إلى مصادر إضافية للتحقق .الرجاء المساعدة في تحسين هذه المقالة عن طريق إضافة الاستشهادات إلى مصادر موثوقة . قد يتم الطعن في المواد غير الموثقة وإزالتها. ابحث عن المصادر:  "العدد الترتيبي" - الأخبار  · الصحف  · الكتب  · العلماء  · JSTOR ( أغسطس 2022 )( تعرف على كيفية ومتى يمكنك إزالة هذه الرسالة ) تتضمن هذه المقالة قائمة مراجع عامة ، لكنها تفتقر إلى الاستشهادات المضمنة الكافية .يرجى المساعدة في تحسين هذه المقالة من خلال تقديم اقتباسات أكثر دقة. ( أغسطس 2022 )( تعرف على كيفية ومتى يمكنك إزالة هذه الرسالة ) ( تعرف على كيفية ومتى يمكنك إزالة هذه الرسالة )

في نظرية المجموعات ، العدد الترتيبي ، أو الترتيبي ، هو تعميم للأرقام الترتيبية (الأول، والثاني، والترتيب n ، وما إلى ذلك) بهدف توسيع العد إلى مجموعات لا نهائية . ^[1]

يمكن ترقيم مجموعة منتهية من خلال تسمية كل عنصر على التوالي بأقل عدد طبيعي لم يتم استخدامه مسبقًا. لتوسيع هذه العملية لتشمل مجموعات لا نهائية مختلفة ، يتم تعريف الأعداد الترتيبية بشكل أكثر عمومية باستخدام متغيرات الحروف اليونانية المرتبة خطيًا والتي تتضمن الأعداد الطبيعية ولها الخاصية التي مفادها أن كل مجموعة من الأعداد الترتيبية تحتوي على أقل عنصر أو "أصغر عنصر" (وهذا ضروري لإعطاء معنى لـ "أقل عنصر غير مستخدم"). ^[2] يسمح لنا هذا التعريف الأكثر عمومية بتعريف العدد الترتيبي (أوميغا) ليكون أصغر عنصر أكبر من كل عدد طبيعي، إلى جانب الأعداد الترتيبية ⁠ ⁠ ، ⁠ ⁠ ، وما إلى ذلك، والتي تكون أكبر من ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega +1}$${\displaystyle \omega +2}$${\displaystyle \omega }$

الترتيب الخطي بحيث تحتوي كل مجموعة جزئية غير فارغة على عنصر أصغر يسمى ترتيبًا جيدًا . تشير بديهية الاختيار إلى أن كل مجموعة يمكن أن تكون مرتبة جيدًا، وفي حالة وجود مجموعتين مرتبتين جيدًا، تكون إحداهما متماثلة مع جزء أولي من الأخرى. لذا فإن الأعداد الترتيبية موجودة وهي فريدة بشكل أساسي.

تختلف الأعداد الترتيبية عن الأعداد الأساسية ، التي تقيس حجم المجموعات. وعلى الرغم من أن التمييز بين الأعداد الترتيبية والأعداد الأساسية ليس واضحًا دائمًا في المجموعات المحدودة (يمكن للمرء أن ينتقل من واحدة إلى أخرى بمجرد عد العلامات)، إلا أنها مختلفة جدًا في الحالة اللانهائية، حيث يمكن أن تتوافق الأعداد الترتيبية اللانهائية المختلفة مع المجموعات التي لها نفس العدد الأساسي. ومثل الأنواع الأخرى من الأرقام، يمكن جمع الأعداد الترتيبية وضربها ورفعها إلى أس ، على الرغم من أن أيًا من هذه العمليات ليست تبديلية .

تم تقديم الترتيبات بواسطة جورج كانتور في عام 1883 ^[3] لاستيعاب المتتاليات اللانهائية وتصنيف المجموعات المشتقة ، والتي كان قد قدمها سابقًا في عام 1872 أثناء دراسة تفرد المتسلسلة المثلثية . ^[4]

يمكن استخدام العدد الطبيعي (الذي يتضمن في هذا السياق الرقم 0 ) لغرضين: لوصف حجم المجموعة ، أو لوصف موضع عنصر في تسلسل. عندما يقتصر الأمر على مجموعات محدودة، يتطابق هذان المفهومان، لأن جميع الرتب الخطية للمجموعة المحدودة متماثلة .

عند التعامل مع المجموعات اللانهائية، مع ذلك، يجب التمييز بين مفهوم الحجم، الذي يؤدي إلى الأعداد الأساسية ، ومفهوم الموضع، الذي يؤدي إلى الأعداد الترتيبية الموصوفة هنا. وذلك لأنه في حين أن أي مجموعة لها حجم واحد فقط (عددها الأساسي )، فهناك العديد من الترتيبات الجيدة غير المتماثلة لأي مجموعة لا نهائية، كما هو موضح أدناه.

في حين أن مفهوم العدد الأساسي مرتبط بمجموعة ليس لها بنية معينة عليها، فإن الترتيبات مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بالنوع الخاص من المجموعات التي تسمى بالترتيب الجيد . المجموعة المرتبة جيدًا هي مجموعة مرتبة تمامًا حيث تحتوي كل مجموعة فرعية غير فارغة على عنصر أصغر (المجموعة المرتبة تمامًا هي مجموعة مرتبة بحيث يكون أحد العنصرين المميزين أقل من الآخر). على نحو مكافئ، بافتراض بديهية الاختيار التابع ، فهي مجموعة مرتبة تمامًا بدون أي تسلسل تناقصي لا نهائي - على الرغم من أنه قد يكون هناك تسلسلات متزايدة لا نهائية. يمكن استخدام الترتيبات لوصف عناصر أي مجموعة مرتبة جيدًا (أصغر عنصر يتم تسميته 0، والعنصر الذي يليه 1، والعنصر التالي 2، "وهكذا")، وقياس "طول" المجموعة بأكملها بأصغر ترتيب ليس تسمية لعنصر من المجموعة. يسمى هذا "الطول" نوع ترتيب المجموعة.

يتم تعريف أي ترتيب من خلال مجموعة الترتيبات التي تسبقه. في الواقع، فإن التعريف الأكثر شيوعًا للترتيبات يحدد كل ترتيب كمجموعة الترتيبات التي تسبقه. على سبيل المثال، يتم تحديد الترتيب 42 عمومًا كمجموعة {0، 1، 2، ...، 41}. وعلى العكس من ذلك، فإن أي مجموعة S من الترتيبات التي تكون مغلقة لأسفل - بمعنى أنه بالنسبة لأي ترتيب α في S وأي ترتيب β < α، يكون β أيضًا في S - تكون (أو يمكن تحديدها) ترتيبية.

يسمح هذا التعريف للأعداد الترتيبية من حيث المجموعات بالأعداد الترتيبية اللانهائية. أصغر ترتيب لانهائي هو ⁠ ⁠${\displaystyle \omega }$ ، والذي يمكن تحديده بمجموعة الأعداد الطبيعية (بحيث يسبق الترتيب المرتبط بكل عدد طبيعي ). في الواقع، مجموعة الأعداد الطبيعية منظمة جيدًا - مثل أي مجموعة من الأعداد الترتيبية - وبما أنها مغلقة لأسفل، فيمكن تحديدها بالترتيب المرتبط بها. ${\displaystyle \omega }$

ربما يمكن تكوين حدس أوضح للأعداد الترتيبية من خلال فحص القليل منها أولاً: كما ذكر أعلاه، تبدأ بالأعداد الطبيعية، 0، 1، 2، 3، 4، 5، ... بعد كل الأعداد الطبيعية يأتي أول ترتيب لانهائي، ω، وبعد ذلك يأتي ω+1، ω+2، ω+3، وهكذا. (سيتم تعريف ما يعنيه الجمع بالضبط لاحقًا: فقط اعتبرها أسماء.) بعد كل هذا يأتي ω·2 (وهو ω+ω)، ω·2+1، ω·2+2، وهكذا، ثم ω·3، ثم لاحقًا ω·4. الآن يجب أن يكون لمجموعة الأعداد الترتيبية المتكونة بهذه الطريقة (ω· m + n ، حيث m و n أعداد طبيعية) ترتيب مرتبط بها: وهو ω ² . فيما بعد، سيكون هناك ω ³ ، ثم ω ⁴ ، وهكذا، وω ^ω ، ثم ω ^{ω ω} ، ثم لاحقًا ω ^{ω ω ω} ، وحتى لاحقًا ε ₀ ( إبسيلون صفر ) (لإعطاء بعض الأمثلة على الأعداد الترتيبية الصغيرة القابلة للعد نسبيًا). يمكن الاستمرار في هذا إلى ما لا نهاية (كما هو الحال في كل مرة يقول فيها المرء "وهكذا" عند تعداد الأعداد الترتيبية، فإنه يحدد ترتيبًا أكبر). أصغر ترتيب غير قابل للعد هو مجموعة جميع الأعداد الترتيبية القابلة للعد، والتي يتم التعبير عنها على أنها ω ₁ أو ⁠ ⁠${\displaystyle \Omega }$ . ^[5]

في مجموعة مرتبة جيدًا ، تحتوي كل مجموعة فرعية غير فارغة على أصغر عنصر مميز. وبالنظر إلى بديهية الاختيار التابع ، فإن هذا يعادل القول بأن المجموعة مرتبة تمامًا ولا يوجد تسلسل تناقصي لانهائي (يكون الأخير أسهل في التصور). في الممارسة العملية، تبرر أهمية الترتيب الجيد إمكانية تطبيق الاستدلال التجاوزي ، والذي يقول، في الأساس، أن أي خاصية تنتقل من أسلاف عنصر إلى ذلك العنصر نفسه يجب أن تكون صحيحة لجميع العناصر (للمجموعة المرتبة جيدًا المعطاة). إذا كان من الممكن ترتيب حالات الحساب (برنامج كمبيوتر أو لعبة) جيدًا - بحيث تتبع كل خطوة خطوة "أدنى" - فإن الحساب سينتهي.

من غير المناسب التمييز بين مجموعتين جيدتي الترتيب إذا كانتا تختلفان فقط في "تسمية عناصرهما"، أو بشكل أكثر رسمية: إذا كان من الممكن إقران عناصر المجموعة الأولى بعناصر المجموعة الثانية بحيث إذا كان أحد العناصر أصغر من الآخر في المجموعة الأولى، فإن شريك العنصر الأول يكون أصغر من شريك العنصر الثاني في المجموعة الثانية، والعكس صحيح. يُطلق على مثل هذا التطابق الفردي اسم تماثل الترتيب ، ويقال إن المجموعتين جيدتي الترتيب متماثلتان ترتيبيًا أو متشابهتان (مع فهم أن هذه علاقة تكافؤ ).

رسميًا، إذا تم تعريف ترتيب جزئي ≤ على المجموعة S ، وتم تعريف ترتيب جزئي ≤' على المجموعة S' ، فإن المجموعات الجزئية ( S ، ≤) و( S' ، ≤') تكون متماثلة الترتيب إذا كان هناك تطابق f يحافظ على الترتيب. أي، f ( a ) ≤' f ( b ) إذا وفقط إذا كان a ≤ b . بشرط وجود تماثل ترتيب بين مجموعتين جيدتي الترتيب، فإن تماثل الترتيب يكون فريدًا: وهذا يجعل من المبرر تمامًا اعتبار المجموعتين متطابقتين بشكل أساسي، والبحث عن ممثل "قانوني" لنوع التماثل (الفئة). هذا هو بالضبط ما توفره الترتيبات، كما توفر أيضًا تسمية قانونية لعناصر أي مجموعة جيدة الترتيب. كل مجموعة جيدة الترتيب ( S ، <) تكون متماثلة الترتيب لمجموعة الترتيبات الأقل من رقم ترتيبي محدد واحد تحت ترتيبها الطبيعي. هذه المجموعة الأساسية هي نوع الترتيب ( S ،<).

في الأساس، يُقصد بالترتيب أن يُعرَّف بأنه فئة متماثلة من المجموعات المرتبة جيدًا: أي كفئة تكافؤ لعلاقة التكافؤ "المتماثلة من حيث الترتيب". ومع ذلك، هناك صعوبة فنية تكمن في حقيقة أن فئة التكافؤ كبيرة جدًا بحيث لا يمكن اعتبارها مجموعة وفقًا للصيغة المعتادة لنظرية المجموعات وفقًا لنظرية زيرميلو-فرانكل (ZF). لكن هذه ليست صعوبة خطيرة. يمكن القول إن الترتيب هو نوع الترتيب لأي مجموعة في الفئة.

التعريف الأصلي للأعداد الترتيبية، الموجود على سبيل المثال في كتاب Principia Mathematica ، يعرّف نوع الترتيب للترتيب الجيد بأنه مجموعة جميع الترتيبات الجيدة المشابهة (متماثلة الترتيب) لذلك الترتيب الجيد: بعبارة أخرى، فإن العدد الترتيبي هو في الحقيقة فئة تكافؤ للمجموعات الجيدة الترتيب. يجب التخلي عن هذا التعريف في ZF والأنظمة ذات الصلة لنظرية المجموعة البديهية لأن فئات التكافؤ هذه كبيرة جدًا بحيث لا تشكل مجموعة. ومع ذلك، لا يزال من الممكن استخدام هذا التعريف في نظرية النوع وفي نظرية المجموعة البديهية لكواين New Foundations والأنظمة ذات الصلة (حيث يوفر حلاً بديلاً مفاجئًا إلى حد ما لمفارقة بورالي-فورتي لأكبر ترتيب).

أول عدة ترتيبات فون نيومان

0	=	{}	=	∅
1	=	{0}	=	{∅}
2	=	{0,1}	=	{∅،{∅}}
3	=	{0,1,2}	=	{∅،{∅}،{∅،{∅}}}
4	=	{0,1,2,3}	=	{∅,{∅},{∅,{∅}},{∅,{∅},{∅,{∅}}}}

بدلاً من تعريف الترتيب باعتباره فئة تكافؤ للمجموعات المرتبة جيدًا، سيتم تعريفه كمجموعة مرتبة جيدًا معينة تمثل الفئة (بشكل قانوني). وبالتالي، سيكون الرقم الترتيبي عبارة عن مجموعة مرتبة جيدًا؛ وستكون كل مجموعة مرتبة جيدًا متماثلة الترتيب لرقم ترتيبي واحد بالضبط.

لكل مجموعة مرتبة جيدًا T ، يتم تحديد تماثل ترتيبي بين T ومجموعة جميع المجموعات الفرعية لـ T التي لها الشكل المرتب حسب التضمين. هذا يحفز التعريف القياسي، الذي اقترحه جون فون نيومان في سن التاسعة عشرة، والذي يسمى الآن تعريف ترتيبات فون نيومان : "كل ترتيب هو المجموعة المرتبة جيدًا لجميع الترتيبات الأصغر". بالرموز، ⁠ ⁠ . ^{[6] [7]} رسميًا: ${\displaystyle a\mapsto T_{<a}}$${\displaystyle T_{<a}:=\{x\in T\mid x<a\}}$${\displaystyle \lambda =[0,\lambda )}$

تكون المجموعة S ترتيبية إذا وفقط إذا كانت S منظمة بشكل جيد تمامًا فيما يتعلق بعضوية المجموعة وكان كل عنصر من عناصر S أيضًا مجموعة جزئية من S.

وبالتالي، فإن الأعداد الطبيعية هي أعداد ترتيبية وفقًا لهذا التعريف. على سبيل المثال، 2 هو عنصر من 4 = {0, 1, 2, 3}، و2 يساوي {0, 1} وبالتالي فهو مجموعة جزئية من {0, 1, 2, 3} .

يمكن إثبات ذلك من خلال الاستقراء الفوقي أن كل مجموعة مرتبة جيدًا متماثلة الترتيب تمامًا مع أحد هذه الترتيبات، أي أن هناك دالة ثنائية تحافظ على الترتيب بينهما.

علاوة على ذلك، فإن عناصر كل ترتيب هي ترتيبات بحد ذاتها. إذا كان لدينا ترتيبان S و T ، فإن S هو عنصر من T إذا وفقط إذا كانت S مجموعة فرعية مناسبة من T. علاوة على ذلك، إما أن تكون S عنصرًا من T ، أو أن تكون T عنصرًا من S ، أو أنهما متساويان. لذا فإن كل مجموعة من الترتيبات مرتبة تمامًا . علاوة على ذلك، فإن كل مجموعة من الترتيبات مرتبة جيدًا. وهذا يعمم حقيقة أن كل مجموعة من الأعداد الطبيعية مرتبة جيدًا.

وبالتالي، فإن كل ترتيب S هو مجموعة تحتوي على عناصر الترتيبات الأصغر من S على وجه التحديد . على سبيل المثال، تحتوي كل مجموعة من الترتيبات على حد أعلى ، وهو الترتيب الذي يتم الحصول عليه عن طريق أخذ اتحاد جميع الترتيبات في المجموعة. يوجد هذا الاتحاد بغض النظر عن حجم المجموعة، وفقًا لمبدأ الاتحاد .

إن فئة جميع الأعداد الترتيبية ليست مجموعة. وإذا كانت مجموعة، فيمكن للمرء أن يُظهِر أنها ترتيبية وبالتالي فهي عضو في نفسها، وهو ما يتناقض مع ترتيبها الصارم حسب العضوية. هذه هي مفارقة بورالي-فورتي . تُسمى فئة جميع الأعداد الترتيبية بشكل مختلف "Ord" أو "ON" أو "∞".

يكون الترتيب منتهيًا إذا وفقط إذا كان الترتيب المعاكس مرتبًا جيدًا أيضًا، وهي الحالة إذا وفقط إذا كان لكل من مجموعاته الفرعية غير الفارغة حد أقصى .

هناك صيغ حديثة أخرى لتعريف الترتيب. على سبيل المثال، بافتراض بديهية الانتظام ، فإن ما يلي متكافئ لمجموعة x :

• x هو ترتيبي (فون نيومان)،
• x هي مجموعة متعدية ، وعضوية المجموعة ثلاثية التفرع على x ،
• x هي مجموعة متعدية مرتبة بالكامل من خلال تضمين المجموعة،
• x هي مجموعة متعدية من المجموعات المتعدية.

لا يمكن استخدام هذه التعريفات في نظريات المجموعات غير المستندة إلى أسس متينة . في نظريات المجموعات التي تحتوي على عناصر أولية ، يجب التأكد من أن التعريف يستبعد ظهور العناصر الأولية في الأعداد الترتيبية.

إذا كان α أي ترتيبي و X مجموعة، فإن المتتالية المفهرسة بـα لعناصر X هي دالة من α إلى X. هذا المفهوم، المتتالية غير المحدودة (إذا كانت α غير منتهية) أو المتتالية المفهرسة ترتيبيًا ، هو تعميم لمفهوم المتتالية . يتوافق المتتالي العادي مع الحالة α = ω، بينما يتوافق α المحدود مع مجموعة ، والمعروفة أيضًا باسم السلسلة .

ينطبق الاستقراء اللانهائي على أي مجموعة مرتبة جيدًا ، ولكنه مهم للغاية فيما يتعلق بالترتيبات لدرجة أنه يستحق إعادة صياغته هنا.

أية خاصية تنتقل من مجموعة الأعداد الترتيبية الأصغر من العدد الترتيبي α المعطى إلى α نفسها، تكون صحيحة بالنسبة لجميع الأعداد الترتيبية.

هذا يعني أنه إذا كانت P (α) صحيحة كلما كانت P (β) صحيحة لجميع β < α ، فإن P (α) تكون صحيحة لجميع α . أو، بشكل أكثر عملية: لإثبات خاصية P لجميع الترتيبات α، يمكن للمرء أن يفترض أنها معروفة بالفعل لجميع β < α الأصغر .

يمكن استخدام الاستقراء فوق المحدود ليس فقط لإثبات الأشياء، بل وأيضًا لتعريفها. يُقال عادةً إن مثل هذا التعريف يتم عن طريق التكرار فوق المحدود - يستخدم إثبات أن النتيجة محددة جيدًا الاستقراء فوق المحدود. دع F تشير إلى دالة (فئة) F ليتم تعريفها على الترتيبات. الفكرة الآن هي أنه عند تعريف F (α) لترتيب α غير محدد، يمكن للمرء أن يفترض أن F (β) مُعرفة بالفعل لجميع β < α وبالتالي إعطاء صيغة لـ F (α) من حيث هذه F (β). يتبع ذلك من خلال الاستقراء فوق المحدود أن هناك دالة واحدة فقط تلبي صيغة التكرار حتى α بما في ذلك.

فيما يلي مثال للتعريف بالتكرار اللانهائي على الترتيبات (سيتم تقديم المزيد لاحقًا): عرف الدالة F بجعل F (α) أصغر ترتيب غير موجود في المجموعة { F (β) | β < α} ، أي المجموعة المكونة من جميع F (β) لـ β < α . يفترض هذا التعريف أن F (β) معروفة في عملية تعريف F ذاتها ؛ هذه الدائرة المفرغة الظاهرة هي بالضبط ما يسمح به التعريف بالتكرار اللانهائي. في الواقع ، فإن F (0) منطقي لأنه لا يوجد ترتيب β < 0 ، والمجموعة { F (β) | β < 0} فارغة. لذا فإن F (0) تساوي 0 (أصغر ترتيب على الإطلاق). الآن بعد أن أصبح F (0) معروفًا، فإن التعريف المطبق على F (1) يصبح منطقيًا (إنه أصغر ترتيب ليس في المجموعة المفردة { F (0)} = {0} )، وهكذا (وإلا فإن وما إلى ذلك هو بالضبط الاستدلال فوق المحدود). اتضح أن هذا المثال ليس مثيرًا للغاية، حيث يمكن إثبات أن F (α) = α لجميع الترتيبات α، وهو ما يمكن إظهاره بدقة من خلال الاستدلال فوق المحدود.

أي ترتيب غير صفري له عنصر الحد الأدنى، وهو الصفر. وقد يكون له عنصر الحد الأقصى وقد لا يكون له. على سبيل المثال، 42 له حد أقصى 41 وω+6 له حد أقصى ω+5. من ناحية أخرى، ω ليس له حد أقصى لأنه لا يوجد أكبر عدد طبيعي. إذا كان للترتيب حد أقصى α، فإنه يكون الترتيب التالي بعد α، ويسمى ترتيبًا خليفة ، أي خليفة α، مكتوبًا α+1. في تعريف فون نيومان للترتيبات، يكون خليفة α هو لأن عناصره هي عناصر α وα نفسها. ^[6]${\displaystyle \alpha \cup \{\alpha \}}$

يُطلق على الترتيب غير الصفري الذي لا يكون خليفةً ترتيبًا محدودًا . أحد مبررات هذا المصطلح هو أن الترتيب الحدي هو الحد بالمعنى الطوبولوجي لجميع الترتيبات الأصغر (تحت طوبولوجيا الترتيب ).

عندما تكون متتالية مفهرسة ترتيبيًا، مفهرسة بواسطة حد والمتتالية متزايدة ، أي كلما تم تعريف حدها على أنه الحد الأعلى الأصغر للمجموعة ، أي أصغر ترتيب (يوجد دائمًا) أكبر من أي حد في المتتالية. بهذا المعنى، فإن الترتيب الحدي هو حد جميع الترتيبات الأصغر (المفهرسة بنفسها). وبعبارة أكثر مباشرة، فهو الحد الأعلى لمجموعة الترتيبات الأصغر. ${\displaystyle \langle \alpha _{\iota }|\iota <\gamma \rangle }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \alpha _{\iota }<\alpha _{\rho }}$${\displaystyle \iota <\rho ,}$${\displaystyle \{\alpha _{\iota }|\iota <\gamma \},}$

طريقة أخرى لتحديد الترتيب الحدي هي أن نقول أن α هو ترتيب حدي إذا وفقط إذا:

يوجد ترتيب أقل من α، وكلما كان ζ ترتيبًا أقل من α، فإنه يوجد ترتيب ξ بحيث ζ < ξ < α.

لذا بالترتيب التالي:

0، 1، 2، ...، ω، ω+1

ω هو ترتيب محدود لأنه لأي ترتيب أصغر (في هذا المثال، عدد طبيعي) يوجد ترتيب آخر (عدد طبيعي) أكبر منه، ولكن لا يزال أقل من ω.

وبالتالي، فإن كل ترتيب هو إما صفر، أو خليفة (لسلف محدد جيدًا)، أو حد. هذا التمييز مهم، لأن العديد من التعريفات بالتكرار فوق المحدود تعتمد عليه. في كثير من الأحيان، عند تعريف دالة F بالتكرار فوق المحدود على جميع الترتيبات، يتم تعريف F (0)، و F (α+1) على افتراض أن F (α) مُعرفة، وبعد ذلك، بالنسبة للترتيبات النهائية δ، يتم تعريف F (δ) على أنها حد F (β) لجميع β<δ (إما بمعنى الحدود الترتيبية، كما تم شرحه سابقًا، أو لبعض المفاهيم الأخرى للحدود إذا لم تأخذ F قيمًا ترتيبية). وبالتالي، فإن الخطوة المثيرة للاهتمام في التعريف هي خطوة الخليفة، وليس الترتيبات النهائية. تسمى مثل هذه الدوال (خاصة بالنسبة لـ F غير المتناقصة والتي تأخذ قيمًا ترتيبية) متصلة. الجمع الترتيبي، الضرب والأس هي عمليات مستمرة كوظائف لحجتيها الثانية (ولكن يمكن تعريفها بشكل غير متكرر).

أي مجموعة مرتبة جيدًا تشبه (متماثلة الترتيب) عددًا ترتيبيًا فريدًا ؛ بعبارة أخرى، يمكن فهرسة عناصرها بشكل متزايد بواسطة الأعداد الترتيبية الأقل من ⁠ ⁠ . ينطبق هذا، على وجه الخصوص، على أي مجموعة من الأعداد الترتيبية: أي مجموعة من الأعداد الترتيبية مفهرسة بشكل طبيعي بواسطة الأعداد الترتيبية الأقل من بعض ⁠ ⁠ . وينطبق الشيء نفسه، مع تعديل طفيف، على فئات الأعداد الترتيبية (مجموعة من الأعداد الترتيبية، ربما تكون كبيرة جدًا لتكوين مجموعة، ومحددة ببعض الخصائص): يمكن فهرسة أي فئة من الأعداد الترتيبية بواسطة الأعداد الترتيبية (وعندما تكون الفئة غير محدودة في فئة جميع الأعداد الترتيبية، فإن هذا يضعها في تطابق طبقي مع فئة جميع الأعداد الترتيبية). لذا يمكن التحدث بحرية عن العنصر - في الفئة (مع الاتفاقية بأن "0" هو الأصغر، و"1" هو الأصغر التالي، وهكذا). رسميًا، يتم التعريف عن طريق الاستقراء اللانهائي: يتم تعريف العنصر - للفئة (بشرط أن يكون قد تم تعريفه بالفعل لجميع )، على أنه أصغر عنصر أكبر من العنصر - لجميع ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \beta <\gamma }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta <\gamma }$

يمكن تطبيق هذا، على سبيل المثال، على فئة الأعداد الترتيبية النهائية: الترتيب -، الذي يكون إما حدًا أو صفرًا هو (انظر الحساب الترتيبي لتعريف ضرب الأعداد الترتيبية). وبالمثل، يمكن للمرء أن يفكر في الأعداد الترتيبية غير القابلة للتحلل جمعيًا (بمعنى ترتيب غير صفري ليس مجموع ترتيبين أصغر تمامًا): الترتيب - غير القابل للتحلل جمعيًا مفهرس على أنه ⁠ ⁠ . غالبًا ما تكون تقنية فهرسة فئات الأعداد الترتيبية مفيدة في سياق النقاط الثابتة: على سبيل المثال، الترتيب - مثل الذي يُكتب ⁠ ⁠ . تسمى هذه " أعداد إبسيلون ". ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \omega \cdot \gamma }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \omega ^{\gamma }}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \omega ^{\alpha }=\alpha }$${\displaystyle \varepsilon _{\gamma }}$

يقال أن فئة من الأعداد الترتيبية غير محدودة ، أو مشتركة ، عندما يُعطى أي ترتيب ⁠ ⁠ ، يوجد في بحيث (عندها يجب أن تكون الفئة فئة مناسبة، أي لا يمكن أن تكون مجموعة). يقال أنها مغلقة عندما يكون حد تسلسل الأعداد الترتيبية في الفئة موجودًا مرة أخرى في الفئة: أو، على نحو مكافئ، عندما تكون دالة الفهرسة (الفئة-) متصلة بمعنى أنه بالنسبة لترتيب حدي، ( الترتيب -th في الفئة) هو حد الكل لـ ؛ هذا أيضًا مثل كونها مغلقة، بالمعنى الطوبولوجي ، لطوبولوجيا الترتيب (لتجنب الحديث عن الطوبولوجيا في الفئات المناسبة، يمكن للمرء أن يطالب بأن يكون تقاطع الفئة مع أي ترتيب معين مغلقًا لطوبولوجيا الترتيب على هذا الترتيب، وهذا مكافئ مرة أخرى). ${\displaystyle C}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle C}$${\displaystyle \alpha <\beta }$${\displaystyle F}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle F(\delta )}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle F(\gamma )}$${\displaystyle \gamma <\delta }$

تكتسب فئات الأعداد الترتيبية المغلقة وغير المحدودة أهمية خاصة ، والتي تسمى أحيانًا بالمجموعات . على سبيل المثال، فئة جميع الأعداد الترتيبية المحدودة مغلقة وغير محدودة: وهذا يترجم حقيقة وجود دائمًا ترتيب محدود أكبر من ترتيب معين، وأن حد الأعداد الترتيبية المحدودة هو ترتيب محدود (حقيقة محظوظة إذا كان المصطلح منطقيًا على الإطلاق!). فئة الأعداد الترتيبية غير القابلة للتحلل بشكل إضافي، أو فئة الأعداد الترتيبية، أو فئة الأعداد الأساسية، كلها مغلقة وغير محدودة؛ ومع ذلك، فإن مجموعة الأعداد الأساسية المنتظمة غير محدودة ولكنها ليست مغلقة، وأي مجموعة محدودة من الأعداد الترتيبية مغلقة ولكنها ليست غير محدودة. ${\displaystyle \varepsilon _{\cdot }}$

تكون الفئة ثابتة إذا كان بها تقاطع غير فارغ مع كل فئة مغلقة غير محدودة. تكون جميع الفئات العليا للفئات المغلقة غير المحدودة ثابتة، والفئات الثابتة غير محدودة، ولكن توجد فئات ثابتة ليست مغلقة وفئات ثابتة ليس لها فئة فرعية مغلقة غير محدودة (مثل فئة جميع الترتيبات المحدودة ذات النهاية المشتركة القابلة للعد). نظرًا لأن تقاطع فئتين مغلقتين غير محدودتين مغلق وغير محدود، فإن تقاطع فئة ثابتة وفئة مغلقة غير محدودة يكون ثابتًا. ولكن قد يكون تقاطع فئتين ثابتتين فارغًا، على سبيل المثال فئة الترتيبات ذات النهاية المشتركة ω مع فئة الترتيبات ذات النهاية المشتركة غير القابلة للعد.

بدلاً من صياغة هذه التعريفات لفئات (صحيحة) من الأعداد الترتيبية، يمكن للمرء صياغتها لمجموعات من الأعداد الترتيبية أسفل ترتيب معين : يُقال إن مجموعة جزئية من ترتيب حدي غير محدودة (أو مشتركة) تحت بشرط أن يكون أي ترتيب أقل من أقل من بعض الترتيبات في المجموعة. وبشكل عام، يمكن للمرء أن يطلق على مجموعة جزئية من أي ترتيب مشترك في بشرط أن يكون كل ترتيب أقل من أقل من أو يساوي بعض الترتيبات في المجموعة. يُقال إن المجموعة الجزئية مغلقة تحت بشرط أن تكون مغلقة لطوبولوجيا الترتيب في ⁠ ⁠ ، أي أن حد الأعداد الترتيبية في المجموعة إما أن يكون في المجموعة أو يساوي نفسه. ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$

هناك ثلاث عمليات شائعة على الأعداد الترتيبية: الجمع والضرب والرفع إلى الأس. يمكن تعريف كل منها بطريقتين مختلفتين بشكل أساسي: إما عن طريق إنشاء مجموعة واضحة منظمة تمثل العملية أو باستخدام التكرار فوق المحدود. يوفر الشكل الطبيعي لكانتور طريقة موحدة لكتابة الأعداد الترتيبية. فهو يمثل بشكل فريد كل عدد ترتيبي كمجموع منتهٍ للقوى الترتيبية لـ ω. ومع ذلك، لا يمكن أن يشكل هذا أساسًا لترميز ترتيبي عالمي بسبب التمثيلات المرجعية الذاتية مثل ε ₀ = ω ^{ε ₀} .

الأعداد الترتيبية هي فئة فرعية من فئة الأعداد السريالية ، والعمليات الحسابية "الطبيعية" للأعداد السريالية هي طريقة بديلة لدمج الأعداد الترتيبية حسابيًا. وهي تحتفظ بالقدرة على التبديل على حساب الاستمرارية.

يمكن أيضًا دمج الأعداد الترتيبية، والتي يتم تفسيرها على أنها nimbers ، وهي متغير من أشكال الأعداد في نظرية الألعاب، من خلال العمليات الحسابية nimber. هذه العمليات تبادلية ولكن التقييد بالأعداد الطبيعية لا يكون عمومًا هو نفسه الجمع العادي للأعداد الطبيعية.

يرتبط كل ترتيب بعدد أساسي واحد ، وهو عدده الأساسي. إذا كان هناك تطابق بين ترتيبين (على سبيل المثال ω = 1 + ω و ω + 1 > ω )، فإنهما يرتبطان بنفس العدد الأساسي. أي مجموعة مرتبة جيدًا لها عدد ترتيبي كنوع ترتيب لها نفس عدد هذا العدد الترتيبي. يُطلق على أقل عدد ترتيبي مرتبط بعدد أساسي معين العدد الترتيبي الأولي لذلك العدد الأساسي. كل عدد ترتيبي منتهٍ (عدد طبيعي) أولي، ولا يرتبط أي عدد ترتيبي آخر بعدده الأساسي. لكن معظم الترتيبات اللانهائية ليست أولية، حيث يرتبط العديد من الترتيبات اللانهائية بنفس العدد الأساسي. بديهية الاختيار تعادل العبارة القائلة بأن كل مجموعة يمكن أن تكون مرتبة جيدًا، أي أن كل عدد أساسي له عدد ترتيبي أولي. في النظريات التي تعتمد على بديهية الاختيار، يكون للعدد الأساسي لأي مجموعة عدد ترتيبي أولي، ويمكن استخدام تعيين فون نيومان للعدد الأساسي كتمثيل للعدد الأساسي. (ومع ذلك، يجب أن نكون حريصين على التمييز بين الحساب الأساسي والحساب الترتيبي). في نظريات المجموعات التي لا تعتمد على بديهية الاختيار، يمكن تمثيل العدد الأساسي بمجموعة المجموعات التي يكون عدد أعضائها الأساسي ذا رتبة دنيا (انظر خدعة سكوت ).

إحدى المشكلات المتعلقة بحيلة سكوت هي أنها تحدد العدد الأساسي بـ ⁠ ⁠ ، والذي في بعض الصياغات هو العدد الترتيبي ⁠ ⁠ . قد يكون من الواضح تطبيق تعيين فون نيومان للعدد الأساسي على الحالات المحدودة واستخدام خدعة سكوت للمجموعات التي لا نهائية أو التي لا تقبل الترتيبات الجيدة. لاحظ أن الحساب الأساسي والترتيبي يتفقان للأعداد المحدودة. ${\displaystyle 0}$${\displaystyle \{\emptyset \}}$${\displaystyle 1}$

الترتيب الأولي اللانهائي α-th يُكتب ⁠ ⁠${\displaystyle \omega _{\alpha }}$ ، وهو دائمًا ترتيب محدود. ويُكتب عدده ⁠ ⁠${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ . على سبيل المثال، عدد ω ₀ = ω هو ⁠ ⁠${\displaystyle \aleph _{0}}$ ، وهو أيضًا عدد ω ² أو ε ₀ (كلها ترتيبات قابلة للعد). لذا يمكن تحديد ω بـ ⁠ ⁠${\displaystyle \aleph _{0}}$ ، باستثناء أن الترميز يُستخدم عند كتابة الأعداد الأساسية، وω عند كتابة الأعداد الترتيبية (هذا مهم لأنه، على سبيل المثال، = بينما ). أيضًا، هو أصغر ترتيب غير قابل للعد (للتأكد من وجوده، ضع في اعتبارك مجموعة فئات التكافؤ للترتيبات الجيدة للأعداد الطبيعية: كل ترتيب جيد من هذا القبيل يحدد ترتيبًا قابلًا للعد، وهو نوع الترتيب لتلك المجموعة)، هو أصغر ترتيب تكون عدديته أكبر من ⁠ ⁠ ، وهكذا، وهو حد للأعداد الطبيعية n (أي حد للأعداد الأساسية هو عدد أساسي، لذا فإن هذا الحد هو بالفعل أول عدد أساسي بعد كل ). ${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle \aleph _{0}^{2}}$${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle \omega ^{2}>\omega }$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \omega _{\omega }}$${\displaystyle \omega _{n}}$${\displaystyle \omega _{n}}$

إن الترتيب النهائي للعدد الترتيبي هو أصغر ترتيب يكون من نوع الترتيب لمجموعة فرعية من الترتيب النهائي لـ ⁠ ⁠ . لاحظ أن عددًا من المؤلفين يعرِّف الترتيب النهائي أو يستخدمه فقط للترتيبات المحدودة. إن الترتيب النهائي لمجموعة من الترتيبات أو أي مجموعة أخرى جيدة الترتيب هو الترتيب النهائي لنوع الترتيب لتلك المجموعة. ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \alpha }$

وبالتالي، بالنسبة لترتيب حدي، يوجد تسلسل متزايد بدقة مفهرس مع حد ⁠ ⁠ . على سبيل المثال، تكون النهاية المشتركة لـ ω ² هي ω، لأن التسلسل ω· m (حيث يتراوح m على الأعداد الطبيعية) يميل إلى ω ² ؛ ولكن بشكل عام، فإن أي ترتيب حدي قابل للعد له نهاية مشتركة ω. قد يكون للترتيب الحدي غير القابل للعد إما نهاية مشتركة ω كما هو الحال أو نهاية مشتركة غير قابلة للعد. ${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \omega _{\omega }}$

إن النهاية المشتركة للعدد 0 هي 0. والنهاية المشتركة لأي ترتيب لاحق هي 1. والنهاية المشتركة لأي ترتيب نهائي هي على الأقل ⁠ ⁠${\displaystyle \omega }$ .

يُطلق على الترتيب الذي يساوي نتيجته النهائية اسم منتظم وهو دائمًا ترتيب أولي. أي حد للترتيبات المنتظمة هو حد للترتيبات الأولية وبالتالي يكون أوليًا أيضًا حتى لو لم يكن منتظمًا، وهو ما لا يكون عليه عادةً. إذا كانت بديهية الاختيار، فإن يكون منتظمًا لكل α. في هذه الحالة ، تكون الترتيبات 0 و1 و⁠ ⁠ و⁠ ⁠ و⁠ منتظمة، بينما 2 و3 و⁠ ⁠ و⁉ ω _·2 هي ترتيبات أولية غير منتظمة. ${\displaystyle \omega _{\alpha +1}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$${\displaystyle \omega _{\omega }}$

إن التزامن النهائي لأي ترتيب α هو ترتيب منتظم، أي أن التزامن النهائي للتزامن النهائي لـ α هو نفس التزامن النهائي لـ α . لذا فإن عملية التزامن النهائي هي عملية أيديمبوتية .

كما ذكر أعلاه (انظر الشكل الطبيعي لكانتور )، الترتيب ε ₀ هو الأصغر الذي يرضي المعادلة ⁠ ⁠${\displaystyle \omega ^{\alpha }=\alpha }$ ، لذا فهو حد المتتالية 0، 1، ⁠ ⁠${\displaystyle \omega }$ ، ⁠ ⁠${\displaystyle \omega ^{\omega }}$ ، ⁠ ⁠${\displaystyle \omega ^{\omega ^{\omega }}}$ ، إلخ. يمكن تعريف العديد من الترتيبات على هذا النحو كنقط ثابتة لوظائف ترتيبية معينة (الترتيب -th مثل الذي يسمى ⁠ ⁠ ، ثم يمكن للمرء أن يستمر في محاولة العثور على الترتيب -th مثل ⁠ ⁠ ، "وهكذا"، ولكن كل الدقة تكمن في "وهكذا"). يمكن للمرء أن يحاول القيام بذلك بشكل منهجي، ولكن بغض النظر عن النظام المستخدم لتعريف الترتيبات وإنشائها، يوجد دائمًا ترتيب يقع فوق جميع الترتيبات التي أنشأها النظام. ربما يكون الترتيب الأكثر أهمية الذي يحد من نظام البناء بهذه الطريقة هو ترتيب تشيرش-كلين ( على الرغم من أن الاسم يشير إلى أن هذا الترتيب قابل للعد)، وهو أصغر ترتيب لا يمكن تمثيله بأي حال من الأحوال بواسطة دالة قابلة للحساب (يمكن جعل هذا الأمر صارمًا بالطبع). يمكن تعريف ترتيبات كبيرة إلى حد كبير أدناه ، ومع ذلك، والتي تقيس "قوة نظرية الإثبات" لأنظمة رسمية معينة (على سبيل المثال، تقيس قوة حساب بيانو ). يمكن أيضًا تعريف ترتيبات كبيرة قابلة للعد مثل الترتيبات القابلة للعد والمقبولة أعلى ترتيب تشيرش-كلين، والتي تهم أجزاء مختلفة من المنطق. ^{[ بحاجة لمصدر ]}${\displaystyle \iota }$${\displaystyle \omega ^{\alpha }=\alpha }$${\displaystyle \varepsilon _{\iota }}$${\displaystyle \iota }$${\displaystyle \varepsilon _{\alpha }=\alpha }$${\displaystyle \omega _{1}^{\mathrm {CK} }}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{1}^{\mathrm {CK} }}$${\displaystyle \varepsilon _{0}}$

يمكن تحويل أي عدد ترتيبي إلى فضاء طوبولوجي عن طريق منحه طوبولوجيا الترتيب ؛ تكون هذه الطوبولوجيا منفصلة إذا وفقط إذا كان العدد الترتيبي عددًا أساسيًا قابلًا للعد، أي على الأكثر ω. تكون مجموعة جزئية من ω + 1 مفتوحة في طوبولوجيا الترتيب إذا وفقط إذا كانت منتهية أو لا تحتوي على ω كعنصر.

راجع قسم الطوبولوجيا والترتيبات في مقالة "طوبولوجيا الترتيب".

الأعداد الترتيبية غير المنتهية، والتي ظهرت لأول مرة في عام 1883، ^[8] نشأت في عمل كانتور مع المجموعات المشتقة . إذا كانت P مجموعة من الأعداد الحقيقية، فإن المجموعة المشتقة P ′ هي مجموعة نقاط النهاية لـ P. في عام 1872، أنشأ كانتور المجموعات P ^{( n )} من خلال تطبيق عملية المجموعة المشتقة n مرة على P. في عام 1880، أشار إلى أن هذه المجموعات تشكل المتتالية P' ⊇ ··· ⊇ P ^{( n )} ⊇ P ^{( n + 1)} ⊇ ···، واستمر في عملية الاشتقاق من خلال تعريف P ^(∞) على أنها تقاطع هذه المجموعات. ثم كرر عملية المجموعة المشتقة والتقاطعات لتوسيع تسلسل مجموعاته إلى ما لا نهاية: P ^(∞) ⊇ P ^{(∞ + 1)} ⊇ P ^{(∞ + 2)} ⊇ ··· ⊇ P ^(2∞) ⊇ ··· ⊇ P ^{(∞ 2 )} ⊇ ···. ^[9] الحروف العلوية التي تحتوي على ∞ هي مجرد مؤشرات محددة من خلال عملية الاشتقاق. ^[10]

استخدم كانتور هذه المجموعات في النظريات:

تم إثبات هذه النظريات بتقسيم P ′ إلى مجموعات منفصلة في أزواج : P ′ = ( P ′ \ P ⁽²⁾ ) ∪ ( P ⁽²⁾ \ P ⁽³⁾ ) ∪ ··· ∪ ( P ^(∞) \ P ^{(∞ + 1)} ) ∪ ··· ∪ P ^{( α )} . بالنسبة إلى β < α : بما أن P ^{( β + 1)} تحتوي على نقاط نهاية P ^{( β )} ، فإن المجموعات P ^{( β )} \ P ^{( β + 1)} ليس لها نقاط نهاية. وبالتالي، فهي مجموعات منفصلة ، ​​وبالتالي فهي قابلة للعد. إثبات النظرية الأولى: إذا كانت P ^{( α )} = ∅ لبعض الفهارس α ، فإن P ′ هو الاتحاد القابل للعد للمجموعات القابلة للعد. وبالتالي، فإن P ′ قابلة للعد. ^[11]

تتطلب النظرية الثانية إثبات وجود α بحيث يكون P ^{( α )} = ∅ . لإثبات ذلك، اعتبر كانتور مجموعة جميع α التي لها أسلاف قابلة للعد. لتحديد هذه المجموعة، حدد الأعداد الترتيبية غير المحدودة وحول المؤشرات اللانهائية إلى ترتيبية عن طريق استبدال ∞ بـ ω ، وهو أول عدد ترتيبي غير محدود. أطلق كانتور على مجموعة الأعداد الترتيبية المحدودة فئة الأعداد الأولى . فئة الأعداد الثانية هي مجموعة الأعداد الترتيبية التي تشكل أسلافها مجموعة لا نهائية قابلة للعد. مجموعة جميع α التي لها أسلاف قابلة للعد - أي مجموعة الأعداد الترتيبية القابلة للعد - هي اتحاد هاتين الفئتين العدديتين. أثبت كانتور أن عدد الأعداد في فئة الأعداد الثانية هو عدد الأعداد غير القابلة للعد الأول. ^[12]

تصبح نظرية كانتور الثانية: إذا كان P ′ قابلاً للعد، فإن هناك ترتيبًا قابلًا للعد α بحيث يكون P ^{( α )} = ∅ . يستخدم إثباتها الإثبات بالتناقض . دع P ′ قابلاً للعد، وافترض أنه لا يوجد مثل هذا α. ينتج عن هذا الافتراض حالتين.

في كلتا الحالتين، P ′ غير قابلة للعد، وهو ما يتناقض مع كون P ′ قابلة للعد. وبالتالي، يوجد ترتيب α قابل للعد بحيث يكون P ^{( α )} = ∅ . أدى عمل كانتور مع المجموعات المشتقة والأعداد الترتيبية إلى نظرية كانتور-بنديكسون . ^[14]

باستخدام الخلفاء والحدود والعدد الأساسي، أنشأ كانتور تسلسلًا غير محدود من الأعداد الترتيبية وفئات الأعداد. ^[15] فئة الأعداد ( α + 1) هي مجموعة الأعداد الترتيبية التي تشكل أسلافها مجموعة من نفس عدد الأعداد مثل فئة الأعداد α . عدد الأعداد لفئة الأعداد ( α + 1) هو عدد الأعداد الذي يلي مباشرة عدد الأعداد α . ^[16] بالنسبة للعدد الترتيبي النهائي α ، فإن فئة الأعداد α هي اتحاد فئات الأعداد β لـ β < α . ^[17] عدده الأساسي هو حد عدد الأعداد لهذه الفئات.

إذا كان n منتهيًا، فإن فئة الأعداد n لها عدد أساسي ⁠ ⁠${\displaystyle \aleph _{n-1}}$ . إذا كان α ≥ ω ، فإن فئة الأعداد α لها عدد أساسي ⁠ ⁠${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ . ^[18] وبالتالي، فإن أعداد فئات الأعداد تتوافق واحدًا لواحد مع الأعداد الألف . أيضًا، تتكون فئة الأعداد α من ترتيبات مختلفة عن تلك الموجودة في فئات الأعداد السابقة إذا وفقط إذا كان α ترتيبًا غير محدود. وبالتالي، فإن فئات الأعداد غير المحدودة تقسم الترتيبات إلى مجموعات منفصلة في أزواج.

• عد
• ترتيبات زوجية وفردية
• أول ترتيب غير معدود
• الفضاء الترتيبي
• عدد سريالي ، تعميم للأعداد الترتيبية التي تتضمن القيم السالبة والحقيقية واللامتناهية في الصغر.

• "العدد الترتيبي"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• الأعداد الترتيبية في ProvenMath
• حاسبة ترتيبية برنامج مجاني حاصل على رخصة GPL لإجراء العمليات الحسابية باستخدام الأعداد الترتيبية والترميز الترتيبي
• الفصل الرابع من محاضرات دون مونك حول نظرية المجموعات هو مقدمة إلى الترتيبات.