طائر الكاردينال الكبير

في مجال نظرية المجموعات الرياضية ، تُعرف خاصية العدد الكبير بأنها خاصية معينة للأعداد الأصلية المتسامية . وكما يوحي الاسم، فإن الأعداد الأصلية التي تتمتع بهذه الخاصية تكون عمومًا "كبيرة" جدًا ₍ على سبيل المثال، أكبر من أصغر قيمة لـ α بحيث α = ωα ). لا يمكن إثبات وجود هذه الأعداد الأصلية في أكثر الصيغ البديهية شيوعًا لنظرية المجموعات، وهي ZFC ، ويمكن اعتبار هذه الصيغ بمثابة طرق لقياس "المقدار" الذي يجب افتراضه، بعد ZFC، لإثبات نتائج معينة مرغوبة. بعبارة أخرى، يمكن اعتبارها، كما يقول دانا سكوت ، بمثابة تحديد كمي لحقيقة "أنه إذا أردت المزيد، فعليك افتراض المزيد". ^{[ 1 ]}  

هناك عرفٌ عامٌّ يقضي بذكر النتائج التي يمكن إثباتها باستخدام نظرية ZFC وحدها دون فرضيات، ولكن إذا تطلّب الإثبات افتراضات أخرى (مثل وجود أعداد كبيرة)، فيجب ذكرها. وسواءٌ أكان هذا مجرد عرفٍ لغويٍّ أم أنه يتجاوز ذلك، فهو موضع خلاف بين المدارس الفلسفية المختلفة (انظر قسم "الدوافع والوضع المعرفي" أدناه).

أالبديهية الأساسية الكبيرة هي بديهية تنص على وجود عدد أساسي (أو ربما العديد منهم) يتمتع بخاصية أساسية كبيرة محددة.

يعتقد معظم علماء نظرية المجموعات العاملين أن البديهيات الأساسية الكبيرة التي يجري النظر فيها حاليًا تتوافق مع نظرية ZFC. ^{[ 2 ]} هذه البديهيات قوية بما يكفي لاستنتاج اتساق نظرية ZFC. ويترتب على ذلك (عبر نظرية عدم الاكتمال الثانية لغودل ) أنه لا يمكن إثبات اتساقها مع نظرية ZFC في نظرية ZFC نفسها (بافتراض أن نظرية ZFC متسقة).

لا يوجد تعريف دقيق متفق عليه بشكل عام لماهية الخاصية الأساسية الكبيرة، على الرغم من أن الجميع يتفقون بشكل أساسي على أن تلك الموجودة في قائمة الخصائص الأساسية الكبيرة هي خصائص أساسية كبيرة.

الشرط الضروري لكي تكون خاصية الأعداد الأصلية خاصيةً للأعداد الأصلية الكبيرة هو ألا يكون وجود مثل هذا العدد الأصلي متعارضًا مع نظرية ZF، وأن يكون هذا العدد الأصلي Κ عددًا ترتيبيًا أوليًا غير قابل للعد، حيث يمثل LΚ نموذجًا لنظرية ZFC. إذا كانت نظرية ZFC _متسقة ، فإن ذلك لا يستلزم وجود أي أعداد أصلية كبيرة من هذا القبيل.

من الملاحظات اللافتة للنظر حول البديهيات الأساسية الكبيرة أنها تظهر بترتيب خطي صارم حسب قوة الاتساق . أي أنه لا _يوجد استثناء معروف لما يلي: عند وجود بديهيتين أساسيتين كبيرتين _A1 و A2 ، يحدث واحد فقط من ثلاثة أمور:

1. يكون ZFC  + A ₁ متسقًا إذا وفقط إذا كان ZFC + A ₂ متسقًا؛   
2. يثبت ZFC  + A ₁ أن ZFC + A ₂ متسق؛ أو   
3. يثبت ZFC  + A ₂ أن ZFC + A ₁ متسق.   

هذه النظريات متنافية فيما بينها، إلا إذا كانت إحدى النظريات المعنية غير متسقة بالفعل.

في الحالة الأولى، نقول إن A1 _و A2 متسقتان بالتساوي _{. في الحالة الثانية ،} نقول إن A1 أقوى من A2 من حيث الاتساق ₍ والعكس _صحيح في الحالة الثالثة). إذا كانت A2 أقوى من A1 ، فلا يمكن لـ ZFC + _A1 إثبات اتساق ZFC + A2 _، حتى مع افتراض إضافي بأن ZFC + A1 متسقة بحد ذاتها (بشرط أن تكون كذلك فعلاً). هذا ما يستنتج من _{نظرية عدم} الاكتمال الثانية لغودل .      

إن ملاحظة أن بديهيات الأعداد الكبيرة مرتبة خطيًا حسب قوة الاتساق هي مجرد ملاحظة، وليست نظرية. (فبدون تعريف مُعتمد لخاصية العدد الكبير، لا تخضع هذه الملاحظة للإثبات بالمعنى المعتاد). كما أنه ليس من المعروف في كل حالة أي من العلاقات المنطقية الثلاث صحيحة. وقد تساءل ساهارون شيلاه : "هل توجد نظرية ما تُفسر هذا، أم أن رؤيتنا أكثر اتساقًا مما نتصور؟". مع ذلك، يستنتج وودين هذا من حدسية أوميغا ، وهي المشكلة الرئيسية غير المحلولة في منطق أوميغا الخاص به . ومن الجدير بالذكر أيضًا أن العديد من العبارات التوافقية متسقة تمامًا مع عدد كبير ما، بدلًا من أن تكون، على سبيل المثال، وسيطة بينها.

إن ترتيب البديهيات الأساسية الكبيرة حسب قوة الاتساق ليس بالضرورة مطابقًا لترتيبها حسب حجم أصغر الأدلة عليها. فعلى سبيل المثال، يُعد وجود عدد أساسي ضخم أقوى بكثير، من حيث قوة الاتساق، من وجود عدد أساسي فائق الصغر ، ولكن بافتراض وجود كليهما، فإن العدد الأساسي الضخم الأول أصغر من العدد الأساسي فائق الصغر الأول. ^{[ 3 ]}

يُفهم مفهوم الأعداد الكبيرة في سياق كون فون نيومان V، الذي يُبنى من خلال تكرار عملية مجموعة القوى بشكل متجاوز للحدود ، والتي تجمع جميع المجموعات الجزئية لمجموعة معينة. عادةً، يمكن اعتبار النماذج التي لا تنطبق عليها بديهيات الأعداد الكبيرة نماذج فرعية طبيعية لتلك التي تنطبق عليها هذه البديهيات. على سبيل المثال، إذا وُجد عدد غير قابل للوصول ، فإن "قطع الكون" عند ارتفاع أول عدد من هذا النوع يُنتج كونًا لا يوجد فيه عدد غير قابل للوصول. أو إذا وُجد عدد قابل للقياس ، فإن تكرار عملية مجموعة القوى القابلة للتعريف بدلاً من العملية الكاملة يُنتج كون غودل القابل للبناء ، L، والذي لا يُحقق عبارة "يوجد عدد قابل للقياس" (على الرغم من أنه يحتوي على العدد القابل للقياس كعدد ترتيبي).

وهكذا، من وجهة نظر معينة يتبناها العديد من منظري المجموعات (وخاصةً أولئك المستلهمين من تقاليد الكابال ) ، فإن بديهيات الأعداد الكبيرة "تقول" إننا نأخذ في الاعتبار جميع المجموعات التي "يفترض" أن نأخذها في الاعتبار، بينما نفيها "تقييدي" ويشير إلى أننا نأخذ في الاعتبار بعضًا فقط من تلك المجموعات. علاوة على ذلك، يبدو أن نتائج بديهيات الأعداد الكبيرة تتبع أنماطًا طبيعية (انظر مادي، "الإيمان بالبديهيات، الجزء الثاني"). لهذه الأسباب، يميل منظرو المجموعات هؤلاء إلى اعتبار بديهيات الأعداد الكبيرة ذات مكانة مميزة بين امتدادات نظرية ZFC، وهي مكانة لا تشاركها البديهيات ذات الدافع الأقل وضوحًا (مثل بديهية مارتن ) أو غيرها التي يعتبرونها غير محتملة بديهيًا (مثل V  =  L ). أما الواقعيون المتشددون في هذه المجموعة، فيقولون ببساطة إن بديهيات الأعداد الكبيرة صحيحة .

لا يُعدّ هذا الرأي مُجمعًا عليه بين مُنظّري المجموعات. فبعض المُنظّرين الشكليين يُؤكدون أن نظرية المجموعات القياسية هي، بحكم تعريفها، دراسة نتائج نظرية زيرو-فرانكل، وبينما قد لا يُعارضون من حيث المبدأ دراسة نتائج أنظمة أخرى، إلا أنهم لا يرون سببًا لتفضيل الأعداد الكبيرة. وهناك أيضًا واقعيون يُنكرون أن النزعة الأنطولوجية القصوى تُشكّل دافعًا مُناسبًا، بل ويعتقدون أن بديهيات الأعداد الكبيرة خاطئة. وأخيرًا، هناك من يُنكر أن نفي بديهيات الأعداد الكبيرة مُقيّد ، مُشيرين إلى أنه (على سبيل المثال) يُمكن أن يكون هناك نموذج مجموعة متعدي في لغة L يُؤمن بوجود عدد قابل للقياس، حتى وإن لم تُحقق لغة L نفسها هذا الافتراض.

• قائمة الخصائص الأساسية الكبيرة

• دريك، ف. ر. (1974). نظرية المجموعات: مقدمة في الأعداد الكبيرة (دراسات في المنطق وأسس الرياضيات؛ المجلد 76) . دار نشر إلسيفير للعلوم المحدودة. رقم ISBN 0-444-10535-2.
• جيتش، توماس (2002). نظرية المجموعات، طبعة الألفية الثالثة (منقحة وموسعة) . سبرينغر. ISBN 3-540-44085-2.
• كاناموري ، أكيهيرو (2003). اللانهائي الأعلى  : الكرادلة الكبار في نظرية المجموعة من بداياتهم (  الطبعة الثانية). سبرينغر. رقم ISBN 3-540-00384-3.
• كاناموري، أكيهيرو؛ Magidor، M. (1978)، “تطور البديهيات الأساسية الكبيرة في نظرية المجموعات” (PDF) ، نظرية المجموعة العليا ، ملاحظات محاضرة في الرياضيات، المجلد.  669، سبرينغر برلين / هايدلبرغ، الصفحات من 99 إلى 275، دوى : 10.1007 / BFb0103104 ، ISBN  978-3-540-08926-1تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 سبتمبر 2022
• مادي، بينيلوبي (1988). "الإيمان بالمسلمات، الجزء الأول". مجلة المنطق الرمزي . 53 (2): 481-511 . doi : 10.2307/2274520 . JSTOR 2274520 . 
• مادي، بينيلوب (1988). "الإيمان بالمسلمات، الجزء الثاني". مجلة المنطق الرمزي . 53 (3): 736-764 . doi : 10.2307/2274569 . JSTOR 2274569. S2CID 16544090 .  
• مورغنسترن، كارل (1979)، "حول ترتيب بعض الأعداد الكبيرة"، مجلة المنطق الرمزي ، 44 (4).
• شيلاه، ساهارون (2002). "مستقبل نظرية المجموعات". arXiv : math/0211397 .
• سولوفاي، روبرت م . وليام ن. رينهارت ؛ أكيهيرو كاناموري (1978). “بديهيات قوية من اللانهاية والتضمينات الأولية” (PDF) . حوليات المنطق الرياضي . 13 (1): 73-116 . دوى : 10.1016/0003-4843(78)90031-1 .
• وودين، دبليو. هيو (2001). "فرضية الاستمرارية، الجزء الثاني". إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية . 48 (7): 681-690 .

• "الأعداد الكبيرة والحتمية" في موسوعة ستانفورد للفلسفة