دورات دافنبورت المتسلسلة

📅 آخر تحديث: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 22 صور
الموسوعة الحرة

في الفيزياء والهندسة ، تُعرف دورانات دافنبورت المتسلسلة بأنها ثلاث دورانات ذاتية متسلسلة حول محاور محددة ثابتة في الجسم. وتُعد دورانات أويلر ودورانات تايت-برايان حالات خاصة من تحليل دافنبورت العام للدوران. تُسمى زوايا الدوران "زوايا دافنبورت" لأن بول ب. دافنبورت هو أول من درس المسألة العامة لتحليل الدوران إلى سلسلة من ثلاث زوايا. [ 1 ]

يمكن تخيل نظام الإحداثيات الدوارة غير المتعامدة وكأنه متصل بشكل ثابت بجسم صلب . في هذه الحالة، يُطلق عليه أحيانًا نظام إحداثيات محلي . وبما أن محاور الدوران متحدة مع الجسم المتحرك، يمكن تقسيم الدورانات المعممة إلى مجموعتين (حيث تشير x و y و z إلى الإطار المتحرك غير المتعامد ):

دوران أويلر المعمم
( zxz، xyx، yzy، zyz، xzx، yxy )
دوران تايت-برايان المعمم
( xyz، yzx، zxy، xzy، zyx، yxz ) .

معظم الحالات تنتمي إلى المجموعة الثانية، بالنظر إلى أن دورانات أويلر المعممة هي حالة متدهورة تتداخل فيها المحاور الأولى والثالثة.

نظرية دافنبورت للدوران

محاور دافنبورت المحتملة للخطوتين 1 و3 بمعلومية Z كخطوة 2

تمت دراسة المشكلة العامة المتمثلة في تقسيم الدوران إلى ثلاث حركات مركبة حول المحاور الداخلية بواسطة ب. دافنبورت، تحت اسم " زوايا أويلر المعممة "، ولكن في وقت لاحق أطلق عليها م. شوستر ول. ماركلي اسم "زوايا دافنبورت". [ 2 ]

تتمثل المشكلة العامة في الحصول على تحليل المصفوفة لدوران بمعلومية المحاور الثلاثة. في بعض الحالات، يتكرر أحد المحاور. هذه المشكلة مكافئة لمشكلة تحليل المصفوفات. [ 3 ]

أثبت دافنبورت أنه يمكن تحقيق أي اتجاه من خلال تركيب ثلاث دورات أساسية باستخدام محاور غير متعامدة. يمكن أن تحدث هذه الدورات الأساسية إما حول محاور نظام الإحداثيات الثابت ( دورات خارجية ) أو حول محاور نظام إحداثيات دوار، يكون في البداية متوافقًا مع النظام الثابت ويغير اتجاهه بعد كل دورة أساسية ( دورات داخلية ).

وفقًا لنظرية دافنبورت، يكون التفكيك الفريد ممكنًا إذا وفقط إذا كان المحور الثاني عموديًا على المحورين الآخرين. لذلك، يجب أن يكون المحوران 1 و3 في المستوى المتعامد مع المحور 2. [ 2 ]

لذا، فإنّ التفكيكات في دورانات أويلر المتسلسلة ودورانات تايت-برايان المتسلسلة هي حالات خاصة من ذلك. تظهر حالة تايت-برايان عندما يكون المحوران 1 و3 متعامدين، وتظهر حالة أويلر عندما يكونان متداخلين.

نظام دوران كامل

الشكل 1. طائرة تستريح على سطح طائرة

تُعتبر مجموعة دورانات دافنبورت كاملة إذا كانت كافية لتوليد أي دوران للفضاء عن طريق التركيب. وبعبارة أخرى، تكون كاملة إذا استطاعت توليد أي مصفوفة متعامدة للفضاء، يكون محددها +1. ونظرًا لعدم تبادلية ضرب المصفوفات، يجب أن يكون نظام الدوران مرتبًا.

أحيانًا يُفرض الترتيب بناءً على هندسة المشكلة الأساسية. على سبيل المثال، عند استخدامها مع المركبات التي لها محور خاص يشير إلى الاتجاه الأمامي، يكون واحد فقط من بين ستة تركيبات دورانية ممكنة مفيدًا. التركيبة المهمة هي تلك القادرة على التحكم في اتجاه الطائرة وارتفاعها بدوران مستقل واحد لكل منهما.

في الرسم المجاور، يسمح تركيب الانحراف والميل والدوران (YPR) بتعديل اتجاه الطائرة باستخدام الزاويتين الأوليين. أما تركيب مختلف مثل YRP فيتيح تحديد اتجاه محور الأجنحة، وهو أمر غير مفيد في معظم الحالات.

دورات تايت-برايان المتسلسلة

الشكل 2. المحاور الرئيسية للطائرة

تُعدّ دورانات تايت-برايان حالةً خاصةً يكون فيها المحوران الأول والثالث متعامدين. بافتراض إطار مرجعي ⟨ x , y , z ⟩ وفقًا للاتفاقية الموضحة في الشكل 1، ومستوى ذي محاور ⟨ yaw, pitch, roll ⟩ كما في الشكل 2، يقع أفقيًا على المستوى ⟨ x, y ⟩ في البداية، وبعد إجراء دورانات داخلية Y وP وR حول محاور yaw وpitch وroll (بهذا الترتيب)، نحصل على شكل مشابه للشكل 3.

الشكل 3. زوايا الاتجاه والارتفاع والميل بعد دورانات الانعراج والميل والدوران (Z-Y'-X'')

في البداية  :

  • يقع محور دوران الطائرة على المحور x للإطار المرجعي
  • يقع محور ميل المستوى على المحور y للإطار المرجعي
  • يقع محور انحراف الطائرة على المحور z للإطار المرجعي

تُطبَّق الدورانات بالترتيب التالي: الانعراج، والميل، والدوران . في هذه الظروف، يكون الاتجاه (الزاوية على المستوى الأفقي) مساوياً للانعراج المُطبَّق، ويكون الارتفاع مساوياً للميل.

التعبيرات المصفوفية لدوران تايت-برايان الثلاثة في 3 أبعاد هي:

Rx(ϕ)=Roلل(ϕ)=[1000كوس⁡ϕ-الخطيئة⁡ϕ0الخطيئة⁡ϕكوس⁡ϕ]Ry(θ)=Pأناتجح(θ)=[كوس⁡θ0الخطيئة⁡θ010-الخطيئة⁡θ0كوس⁡θ]Rz(ψ)=Yأw(ψ)=[كوس⁡ψ-الخطيئة⁡ψ0الخطيئة⁡ψكوس⁡ψ0001].{\displaystyle {\begin{aligned}\\R_{x}(\phi )=\mathrm {Roll} (\phi )&={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \phi &-\sin \phi \\0&\sin \phi &\cos \phi \end{bmatrix}}\\R_{y}(\theta )=\mathrm {الملعب} (\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\0&1&0\\-\sin \theta &0&\cos \theta \end{bmatrix}}\\R_{z}(\psi )=\mathrm {Yaw} (\psi )&= {\begin{bmatrix}\cos \psi &-\sin \psi &0\\\sin \psi &\cos \psi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}

مصفوفة الدورانات المركبة هي

م=Yأw(ψ)Pأناتجح(θ)Roلل(ϕ)=Rz(ψ)Ry(θ)Rx(ϕ).{\displaystyle {\begin{aligned}M&=\mathrm {Yaw} (\psi )\,\mathrm {Pitch} (\theta )\,\mathrm {Roll} (\phi )\\&=R_{z}(\psi )R_{y}(\theta )R_{x}(\phi ).\end{aligned}}}

من بين التركيبات الستة الممكنة للانحراف والميل والدوران، فإن هذا التركيب هو الوحيد الذي يكون فيه الاتجاه (اتجاه محور الدوران) مساوياً لأحد الدورانات (الانحراف)، ويكون الارتفاع (زاوية محور الدوران مع المستوى الأفقي) مساوياً لدوران آخر (الميل).

دورانات أويلر المتسلسلة

الوضع الابتدائي للطائرة لتطبيق زوايا أويلر المناسبة

تُعدّ دورانات أويلر حالةً خاصةً تتداخل فيها محاور الدوران الأول والثالث. وترتبط هذه الدورانات بزوايا أويلر الصحيحة، التي استُخدمت لدراسة حركة جسم صلب كالكوكب. تُسمى الزاوية التي تُحدد اتجاه محور الدوران عادةً "خط طول محور الدوران" أو "خط طول خط العقد" بدلاً من "الاتجاه"، وهو مصطلح غير منطقي بالنسبة للكوكب.

على أي حال، لا يزال بالإمكان استخدام دورانات أويلر عند الحديث عن مركبة، مع أنها ستُظهر سلوكًا غير مألوف. ولأن المحور الرأسي هو نقطة الأصل للزوايا، يُطلق عليه اسم "الميل" بدلًا من "الارتفاع". وكما في السابق، عند وصف وضعية المركبة، يوجد محور يُعتبر متجهًا للأمام، وبالتالي لن يكون مفيدًا إلا واحد من بين جميع تركيبات الدوران الممكنة.

يعتمد هذا المزيج على كيفية تحديد المحاور والوضع الابتدائي للمستوى. باستخدام المحور الموضح في الرسم، ودمج الدورانات بحيث يتكرر أحد المحاور، فإن الدوران حول المحورين (الدوران حول المحور الأفقي ثم الدوران حول المحور الرأسي ثم الدوران حول المحور الرأسي) هو السبيل الوحيد للتحكم في خط الطول وزاوية الميل بدوران واحد لكل منهما.

المصفوفات الثلاث التي يجب ضربها هي:

Rz(ϕ)=Roلل1(ϕ)=[كوس⁡ϕ-الخطيئة⁡ϕ0الخطيئة⁡ϕكوس⁡ϕ0001]Ry(θ)=Pأناتجح(θ)=[كوس⁡θ0الخطيئة⁡θ010-الخطيئة⁡θ0كوس⁡θ]Rz(ψ)=Roلل2(ψ)=[كوس⁡ψ-الخطيئة⁡ψ0الخطيئة⁡ψكوس⁡ψ0001].{\displaystyle {\begin{aligned}R_{z}(\phi )=\mathrm {Roll} _{1}(\phi )&={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0\\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}\\R_{y}(\theta )=\mathrm {Pitch} (\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\0&1&0\\-\sin \theta &0&\cos \theta \end{bmatrix}}\\R_{z}(\psi )=\mathrm {Roll} _{2}(\psi )&={\begin{bmatrix}\cos \psi &-\sin \psi &0\\\sin \psi &\cos \psi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}

في هذا الاتفاق، يفرض Roll 1 "الاتجاه"، و Pitch هو "الميل" (مكمل للارتفاع)، ويفرض Roll 2 "الميل".

التحويل إلى الدوران الخارجي

دوران ممثل بزوايا أويلر ( α ، β ، γ ) = (−60°، 30°، 45°)، باستخدام الدورانات الجوهرية z-x'-z″
نفس الدوران ممثلاً بـ (γ، β، α) = (45°، 30°، −60°)، باستخدام دورات zxz الخارجية

عادة ما يتم دراسة دورانات دافنبورت كتركيب دوراني جوهري، نظرًا لأهمية المحاور الثابتة على جسم متحرك، ولكن يمكن تحويلها إلى تركيب دوراني خارجي، إذا كان ذلك أكثر سهولة في الفهم.

أي دوران خارجي يُكافئ دورانًا داخليًا بنفس الزوايا ولكن بترتيب معكوس للدورانات الأساسية، والعكس صحيح. على سبيل المثال، الدورانات الداخلية x-y'-z″ بالزوايا α و β و γ تُكافئ الدورانات الخارجية zyx بالزوايا γ و β و α . ويتم تمثيل كليهما بمصفوفة.

R=X(α)Y(β)Z(γ){\displaystyle R=X(\alpha )Y(\beta )Z(\gamma )}

أينX(α){\displaystyle X(\alpha )}،Y(β){\displaystyle Y(\beta )}، وZ(γ){\displaystyle Z(\gamma )}هي مصفوفات الدوران الأولية للزوايا المتناظرة. حاصل ضرب هذه المصفوفات،R{\displaystyle R}ثم يجب ضرب المصفوفة مسبقًا بمتجه عمودي . انتبه إلى الغموض في تعريف مصفوفات الدوران ، حيث قد تستخدم بعض التعريفات متجهات صفية بدلاً من ذلك.

العلاقة بالحركات الجسدية

الدورانات الذاتية

الدورانات الذاتية هي دورانات أساسية تحدث حول محاور نظام الإحداثيات الدوار XYZ ، والذي يغير اتجاهه بعد كل دوران أساسي. يدور نظام XYZ ، بينما يبقى نظام الإحداثيات xyz ثابتًا. بدءًا من تداخل XYZ مع xyz ، يمكن استخدام تركيبة من ثلاثة دورانات ذاتية للوصول إلى أي اتجاه مستهدف لنظام XYZ . زوايا أويلر أو تايت-برايان ( α ، β ، γ ) هي سعات هذه الدورانات الأساسية. على سبيل المثال، يمكن الوصول إلى الاتجاه المستهدف كما يلي:

  • يدور نظام XYZ بزاوية α حول المحور Z ( الذي يتطابق مع المحور z ). ويقع المحور X الآن على خط العقد.
  • يدور نظام XYZ حول المحور X الذي تم تدويره الآن بمقدار β . أصبح المحور Z الآن في اتجاهه النهائي، ويبقى المحور X على خط العقد.
  • يدور نظام XYZ للمرة الثالثة حول المحور Z الجديد بمقدار γ .

تسمح لنا الرموز المذكورة أعلاه بتلخيص ذلك على النحو التالي: تحدث الدورانات الأساسية الثلاثة لنظام XYZ حول المحاور z و x ' و z' '. في الواقع، يُشار إلى هذا التسلسل غالبًا بالرمز z-x'-z'' . تُسمى مجموعات محاور الدوران المرتبطة بكل من زوايا أويلر وزوايا تايت-برايان عادةً باستخدام هذا الرمز (انظر أعلاه لمزيد من التفاصيل). في بعض الأحيان، يُطلق على التسلسل نفسه ببساطة zxz أو ZXZ أو 3-1-3 ، ولكن قد يكون هذا الرمز غامضًا لأنه قد يكون مطابقًا للرمز المستخدم للدورانات الخارجية. في هذه الحالة، يصبح من الضروري تحديد ما إذا كانت الدورانات داخلية أم خارجية بشكل منفصل.

يمكن استخدام مصفوفات الدوران لتمثيل سلسلة من الدورانات الجوهرية. على سبيل المثال،

R=X(α)Y(β)Z(γ){\displaystyle R=X(\alpha )Y(\beta )Z(\gamma )}

يمثل هذا تركيبًا من الدورانات الذاتية حول المحاور x-y'-z″ ، إذا استُخدم لضرب متجهات الأعمدة مسبقًا . هذه ممارسة شائعة، ولكن انتبه إلى الغموض في تعريف مصفوفات الدوران .

الدوران الخارجي

الدورانات الخارجية هي دورانات أساسية تحدث حول محاور نظام الإحداثيات الثابت xyz . يدور نظام XYZ بينما يبقى نظام xyz ثابتًا. بدءًا من تداخل XYZ مع xyz ، يمكن استخدام تركيبة من ثلاثة دورانات خارجية للوصول إلى أي اتجاه مستهدف لنظام XYZ . زوايا أويلر أو تايت-برايان ( α ، β ، γ ) هي سعات هذه الدورانات الأساسية. على سبيل المثال، يمكن الوصول إلى الاتجاه المستهدف كما يلي:

  • يدور نظام XYZ حول المحور z بزاوية α . أصبح المحور X الآن بزاوية α بالنسبة للمحور x .
  • يدور نظام XYZ مرة أخرى حول المحور x بزاوية β . أصبح المحور Z الآن بزاوية β بالنسبة للمحور z .
  • يدور نظام XYZ مرة ثالثة حول المحور z بمقدار γ .

باختصار، تحدث الدورانات الأساسية الثلاثة حول المحاور z و x و z . في الواقع، يُشار إلى هذا التسلسل غالبًا بالرمز zxz (أو 3-1-3). تُسمى مجموعات محاور الدوران المرتبطة بكل من زوايا أويلر الصحيحة وزوايا تايت-برايان عادةً باستخدام هذه الصيغة (انظر أعلاه لمزيد من التفاصيل).

يمكن استخدام مصفوفات الدوران لتمثيل سلسلة من الدورانات الخارجية. على سبيل المثال،

R=Z(γ)Y(β)X(α){\displaystyle R=Z(\gamma )Y(\beta )X(\alpha )}

يمثل هذا تركيبًا من الدورانات الخارجية حول المحاور xyz ، إذا استُخدم لضرب متجهات الأعمدة مسبقًا . هذه ممارسة شائعة، ولكن انتبه إلى الغموض في تعريف مصفوفات الدوران .

التحويل بين الدوران الداخلي والخارجي

دوران ممثل بزوايا أويلر ( α ، β ، γ ) = (−60°، 30°، 45°)، باستخدام الدورانات الجوهرية z-x'-z″
نفس الدوران ممثلاً بـ (γ، β، α) = (45°، 30°، −60°)، باستخدام دورات zxz الخارجية

أي دوران خارجي يُكافئ دورانًا داخليًا بنفس الزوايا ولكن بترتيب معكوس للدورانات الأساسية، والعكس صحيح. [ 4 ] على سبيل المثال، الدورانات الداخلية x-y'-z″ بالزوايا α و β و γ تُكافئ الدورانات الخارجية zyx بالزوايا γ و β و α . ويتم تمثيل كليهما بمصفوفة.

R=X(α)Y(β)Z(γ){\displaystyle R=X(\alpha )Y(\beta )Z(\gamma )}

لوR{\displaystyle R}تُستخدم هذه العملية لضرب متجهات الأعمدة مسبقًا . هذه ممارسة شائعة، ولكن انتبه إلى الغموض في تعريف مصفوفات الدوران .

برهان التحويل في حالة الضرب المسبق

يمكن الحصول على مصفوفة الدوران لتسلسل الدوران الجوهري x-y'-z″ من خلال دورانات العناصر الجوهرية المتسلسلة من اليمين إلى اليسار:

R=Z"Y′X.{\displaystyle R=Z''Y'X.}

في هذه العملية، توجد ثلاث إطارات مرتبطة بتسلسل الدوران الداخلي. لنرمز إلى الإطار 0 بالإطار الابتدائي، والإطار 1 بعد الدوران الأول حول المحور x ، والإطار 2 بعد الدوران الثاني حول المحور y' ، والإطار 3 بالدوران الثالث حول المحور z' .

بما أنه يمكن تمثيل مصفوفة الدوران بين هذه الإطارات الثلاثة، فلنستخدم فهرس الكتف الأيسر للدلالة على إطار التمثيل. ويعني الترميز التالي مصفوفة الدوران التي تحوّل الإطار أ إلى الإطار ب ، والتي يتم تمثيلها في الإطار ج  :

جRأ→ب.{\displaystyle {}^{c}\!R_{a\rightarrow b}.}

مصفوفة دوران العنصر الجوهرية الممثلة في الإطار الذي يحدث فيه الدوران لها نفس قيمة مصفوفة دوران العنصر الخارجي المقابلة:

0R1→0=X،1R2→1=Y،2R3→2=Z.{\displaystyle {}^{0}\!R_{1\rightarrow 0}=X,\quad {}^{1}\!R_{2\rightarrow 1}=Y,\quad {}^{2}\!R_{3\rightarrow 2}=Z.}

يمكن التعبير عن مصفوفة دوران العنصر الجوهرية Y' و Z″ الممثلة في الإطار 0 بأشكال أخرى:

Y′=0R2→1=0R1→01R2→10R1→0-1=XYX-1Z"=0R3→2=0R1→01R3→20R1→0-1=X(1R2→12R3→21R2→1-1)X-1=XYZY-1X-1{\displaystyle {\begin{aligned}Y'&={}^{0}\!R_{2\rightarrow 1}\\&={}^{0}\!R_{1\rightarrow 0}{}^{1}\!R_{2\rightarrow 1}{}^{0}\!R_{1\rightarrow 0}^{-1}\\&=XYX^{-1}\\[3pt]Z''&={}^{0}\!R_{3\rightarrow 2}\\&={}^{0}\!R_{1\rightarrow 0}{}^{1}\!R_{3\rightarrow 2}{}^{0}\!R_{1\rightarrow 0}^{-1}\\&=X\left({}^{1}\!R_{2\rightarrow 1}{}^{2}\!R_{3\rightarrow 2}{}^{1}\!R_{2\rightarrow 1}^{-1}\right)X^{-1}\\&=XYZY^{-1}X^{-1}\end{aligned}}}

يتم استبدال المعادلتين أعلاه في المعادلة الأولى:

R=Z"Y′X=(XYZY-1X-1)(XYX-1)X=XYZY-1(X-1X)Y(X-1X)=XYZ(Y-1Y)=XYZ{\displaystyle {\begin{aligned}R&=Z''Y'X\\&=\left(XYZY^{-1}X^{-1}\right)\left(XYX^{-1}\right)X\\&=XYZY^{-1}\left(X^{-1}X\right)Y\left(X^{-1}X\right)\\&=XYZ\left(Y^{-1}Y\right)\\&=XYZ\end{aligned}}}

لذلك، فإن مصفوفة الدوران لتسلسل دوران العنصر الداخلي هي نفسها مصفوفة الدوران لتسلسل دوران العنصر الخارجي العكسي:

R=Z"Y′X=XYZ.{\displaystyle R=Z''Y'X=XYZ.}

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ دافنبورت، بول ب. (1973). "الدوران حول محاور غير متعامدة". مجلة AIAA . 11 (6): 853. doi : 10.2514/3.6842 .
  2. 1 2 م. شوستر ول. ماركلي، تعميم زوايا أويلر، مجلة العلوم الفضائية، المجلد 51، العدد 2، أبريل - يونيو 2003، الصفحات 123-123
  3. ↑ ويتنبرغ، ج.؛ ليلوف، ل. (2003). "تحليل دوران محدود إلى ثلاثة دورانات حول محاور معينة". ديناميات الأنظمة متعددة الأجسام . 9 : 353-375 . doi : 10.1023/A:1023389218547 .
  4. ↑ برانون، آر جيه (2018). الدوران، والانعكاسات، وتغييرات الإطار . دار نشر IOP. ص 9-2. doi : 10.1088/978-0-7503-1454-1 . ISBN  978-0-7503-1454-1.