تحليل المصفوفة

• ينطبق تقليديًا على: المصفوفة المربعة A ، على الرغم من إمكانية تطبيقه على المصفوفات المستطيلة. ^{[ 1 ] [ ملاحظة 1 ]}
• التحلل:${\displaystyle A=LU}$، حيث L مثلث سفلي و U مثلث علوي .
• ذات صلة: تحليل وحدة التوزيع المحلية هو${\displaystyle A=LDU}$، حيث L مصفوفة مثلثية سفلية تحتوي على عناصر تساوي واحدًا على القطر الرئيسي، و U مصفوفة مثلثية علوية تحتوي على عناصر تساوي واحدًا على القطر الرئيسي، و D مصفوفة قطرية .
• ذات صلة: تحليل LUP هو${\displaystyle PA=LU}$، حيث L هي مصفوفة مثلثية سفلية ، و U هي مصفوفة مثلثية علوية ، و P هي مصفوفة تبديل .
• الوجود: يوجد تحليل LUP لأي مصفوفة مربعة A. عندما تكون P مصفوفة الوحدة ، فإن تحليل LUP يختزل إلى تحليل LU.
• ملاحظات: تُعدّ تحليلات LUP و LU مفيدة في حلّ نظام المعادلات الخطية من الرتبة n × n${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$تُلخص هذه التحليلات عملية الحذف الغاوسي في شكل مصفوفة. تمثل المصفوفة P أي تبديلات للصفوف تُجرى في عملية الحذف الغاوسي. إذا أنتجت عملية الحذف الغاوسي شكل الصف المتدرج دون الحاجة إلى أي تبديلات للصفوف، فإن P  = I ، وبالتالي يوجد تحليل LU. 

• ينطبق على: مصفوفة A من الرتبة r، أبعادها m × n
• التحلل:${\displaystyle A=CF}$حيث C هي مصفوفة ذات رتبة عمودية كاملة من الرتبة m × r و F هي مصفوفة ذات رتبة صفية كاملة من الرتبة r × n
• تعليق: يمكن استخدام تحليل الرتبة لحساب المعكوس الزائف لمور-بنروز للمصفوفة A ، ^{[ 2 ]} والذي يمكن تطبيقه للحصول على جميع حلول النظام الخطي${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$.

• ينطبق على: المصفوفات المربعة ، والمصفوفات الهرميتية ، والمصفوفات الموجبة المحددة${\displaystyle A}$
• التحلل:${\displaystyle A=U^{*}U}$، أين${\displaystyle U}$هي مثلث علوي بعناصر قطرية حقيقية موجبة
• تعليق: إذا كانت المصفوفة${\displaystyle A}$إذا كانت هيرميتية وشبه محددة موجبة، فإن لها تفكيكًا على شكل${\displaystyle A=U^{*}U}$إذا كانت المدخلات القطرية لـ${\displaystyle U}$يُسمح بأن تكون قيمتها صفرًا
• التفرد: بالنسبة للمصفوفات الموجبة المحددة، يكون تحليل تشوليسكي فريدًا. ومع ذلك، فهو ليس فريدًا في حالة المصفوفات الموجبة شبه المحددة.
• تعليق: إذا${\displaystyle A}$حقيقي ومتناظر،${\displaystyle U}$يحتوي على جميع العناصر الحقيقية
• التعليق: البديل هو تحليل LDL ، والذي يمكن أن يتجنب استخراج الجذور التربيعية.

• ينطبق على: مصفوفة A من الرتبة m × n ذات أعمدة مستقلة خطيًا
• التحلل:${\displaystyle A=QR}$أين${\displaystyle Q}$هي مصفوفة وحدوية بحجم m × m ، و${\displaystyle R}$هي مصفوفة مثلثية علوية بحجم m × n
• التفرد: بشكل عام، ليس فريدًا، ولكن إذا${\displaystyle A}$إذا كان ذا رتبة كاملة ، فإنه يوجد واحد${\displaystyle R}$التي تحتوي على جميع العناصر القطرية الموجبة. إذا${\displaystyle A}$مربع، أيضاً${\displaystyle Q}$فريد من نوعه.
• تعليق: يوفر تحليل QR طريقة فعالة لحل نظام المعادلات${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$حقيقة أن${\displaystyle Q}$ يعني أن المتعامد هو${\displaystyle Q^{\mathrm {T} }Q=I}$، لهذا السبب${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$يعادل${\displaystyle R\mathbf {x} =Q^{\mathsf {T}}\mathbf {b} }$وهو أمر سهل الحل للغاية لأن${\displaystyle R}$مثلث الشكل .

• ويُطلق عليه أيضاً اسم التحلل الطيفي .
• ينطبق على: المصفوفة المربعة A ذات المتجهات الذاتية المستقلة خطيًا (ليس بالضرورة القيم الذاتية المتميزة).
• التحلل:${\displaystyle A=VDV^{-1}}$، حيث D هي مصفوفة قطرية تتكون من القيم الذاتية لـ A ، وأعمدة V هي المتجهات الذاتية المقابلة لـ A.
• الوجود: تحتوي المصفوفة A ذات الرتبة n × n دائمًا على n قيمة ذاتية (مركبة)، والتي يمكن ترتيبها (بأكثر من طريقة) لتشكيل مصفوفة قطرية D ذات الرتبة n × n ومصفوفة مقابلة ذات أعمدة غير صفرية V تحقق معادلة القيم الذاتية${\displaystyle AV=VD}$. ${\displaystyle V}$تكون المصفوفة قابلة للعكس إذا وفقط إذا كانت المتجهات الذاتية n مستقلة خطيًا (أي أن لكل قيمة ذاتية تعددًا هندسيًا يساوي تعددها الجبري ). ويشترط (ولكن ليس شرطًا ضروريًا) لحدوث ذلك أن تكون جميع القيم الذاتية مختلفة (في هذه الحالة، يكون التعدد الهندسي والجبري مساويًا لـ 1).
• ملاحظة: يمكن دائمًا تطبيع المتجهات الذاتية بحيث يكون طولها واحدًا (انظر تعريف معادلة القيمة الذاتية).
• تعليق: كل مصفوفة طبيعية A (أي المصفوفة التي${\displaystyle AA^{*}=A^{*}A}$، أين${\displaystyle A^{*}}$يمكن تحليل المصفوفة A (المصفوفة المترافقة المنقولة) إلى عناصرها الذاتية. بالنسبة للمصفوفة العادية A ( وفقط بالنسبة للمصفوفة العادية)، يمكن أيضًا جعل المتجهات الذاتية متعامدة.${\displaystyle VV^{*}=I}$) ويكون تحليل القيم الذاتية كما يلي${\displaystyle A=VDV^{*}}$. على وجه الخصوص، جميع المصفوفات الوحدوية أو الهيرميتية أو الهيرميتية المائلة (في حالة القيم الحقيقية، جميع المصفوفات المتعامدة أو المتناظرة أو المتناظرة المائلة ، على التوالي) هي مصفوفات طبيعية وبالتالي تمتلك هذه الخاصية.
• ملاحظة: بالنسبة لأي مصفوفة متناظرة حقيقية A ، فإن تحليل القيم الذاتية موجود دائمًا ويمكن كتابته على النحو التالي${\displaystyle A=VDV^{\mathsf {T}}}$، حيث أن كلاً من D و V لهما قيم حقيقية.
• تعليق: يُعدّ تحليل القيم الذاتية مفيدًا لفهم حلّ نظام من المعادلات التفاضلية الخطية العادية أو المعادلات الفرقية الخطية. على سبيل المثال، المعادلة الفرقية${\displaystyle x_{t+1}=Ax_{t}}$انطلاقاً من الحالة الأولية${\displaystyle x_{0}=c}$يتم حلها بواسطة${\displaystyle x_{t}=A^{t}c}$وهو ما يعادل${\displaystyle x_{t}=VD^{t}V^{-1}c}$حيث V و D هما المصفوفتان المتكونتان من المتجهات الذاتية والقيم الذاتية للمصفوفة A. وبما أن D قطرية، فإن رفعها إلى قوة${\displaystyle D^{t}}$يتضمن ذلك ببساطة رفع كل عنصر على القطر الرئيسي إلى القوة t . وهذا أسهل بكثير في التنفيذ والفهم من رفع A إلى القوة t ، لأن A عادةً لا تكون قطرية.

الشكل الطبيعي لجوردان وتحليل جوردان -شيفالي

• ينطبق على: المصفوفة المربعة أ
• التعليق: يقوم الشكل الطبيعي لجوردان بتعميم تحليل القيم الذاتية إلى الحالات التي توجد فيها قيم ذاتية متكررة ولا يمكن قطريتها، ويقوم تحليل جوردان-شيفالي بذلك دون اختيار أساس.

• ينطبق على: المصفوفة المربعة أ
• التفكيك (النسخة المعقدة):${\displaystyle A=UTU^{*}}$، حيث U هي مصفوفة وحدوية ،${\displaystyle U^{*}}$هي المصفوفة المترافقة المنقولة لـ U ، و T هي مصفوفة مثلثية علوية تسمى شكل شور المركب والتي لها القيم الذاتية لـ A على طول قطرها.
• ملاحظة: إذا كانت A مصفوفة عادية ، فإن T قطرية ويتطابق تحليل شور مع التحليل الطيفي.

• ينطبق على: المصفوفة المربعة أ
• التفكيك: هذا شكل من أشكال تفكيك شور حيث${\displaystyle V}$و${\displaystyle S}$تحتوي فقط على أعداد حقيقية. يمكن للمرء دائمًا كتابة${\displaystyle A=VSV^{\mathsf {T}}}$حيث V هي مصفوفة متعامدة حقيقية ،${\displaystyle V^{\mathsf {T}}}$هي منقولة المصفوفة V ، و S هي مصفوفة مثلثية علوية كتلية تُسمى شكل شور الحقيقي . الكتل الموجودة على قطر S إما بحجم 1×1 (وفي هذه الحالة تمثل قيمًا ذاتية حقيقية) أو 2×2 (وفي هذه الحالة تُشتق من أزواج القيم الذاتية المترافقة المركبة ).

• يُطلق عليه أيضًا: تحليل شور المعمم
• ينطبق على: المصفوفات المربعة A و B
• ملاحظة: هناك نسختان من هذا التحليل: معقد وحقيقي.
• التفكيك (النسخة المعقدة):${\displaystyle A=QSZ^{*}}$و${\displaystyle B=QTZ^{*}}$حيث Q و Z عبارة عن مصفوفات وحدوية ، و * يمثل المنقول المترافق ، و S و T عبارة عن مصفوفات مثلثية علوية .
• تعليق: في تحليل QZ المعقد، نسب العناصر القطرية لـ S إلى العناصر القطرية المقابلة لـ T ،${\displaystyle \lambda _{i}=S_{ii}/T_{ii}}$، هي القيم الذاتية المعممة التي تحل مسألة القيم الذاتية المعممة${\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda B\mathbf {v} }$(أين${\displaystyle \lambda }$(حيث v كمية قياسية غير معروفة، و v متجه غير صفري غير معروف).
• التفكيك (النسخة الحقيقية):${\displaystyle A=QSZ^{\mathsf {T}}}$و${\displaystyle B=QTZ^{\mathsf {T}}}$حيث A و B و Q و Z و S و T مصفوفات تحتوي على أعداد حقيقية فقط. في هذه الحالة ، Q و Z مصفوفتان متعامدتان ، ويشير الرمز T إلى عملية النقل ، و S و T مصفوفتان مثلثيتان علويتان جزئيتان . أبعاد الأجزاء على قطر S و T هي 1×1 أو 2×2.

• ينطبق على: المصفوفة المربعة، والمعقدة، والمتماثلة A.
• التحلل:${\displaystyle A=VDV^{\mathsf {T}}}$، حيث D هي مصفوفة قطرية حقيقية غير سالبة ، و V هي مصفوفة وحدوية .${\displaystyle V^{\mathsf {T}}}$يشير إلى منقولة المصفوفة V.
• تعليق: العناصر القطرية للمصفوفة D هي الجذور التربيعية غير السالبة للقيم الذاتية لـ${\displaystyle AA^{*}=VD^{2}V^{-1}}$.
• ملاحظة: قد يكون V مركباً حتى لو كان A حقيقياً.
• ملاحظة: هذه ليست حالة خاصة من تحليل القيم الذاتية (انظر أعلاه)، والذي يستخدم${\displaystyle V^{-1}}$بدلاً من${\displaystyle V^{\mathsf {T}}}$علاوة على ذلك، إذا لم يكن A حقيقيًا، فإنه ليس هيرميتيًا، والصيغة باستخدام${\displaystyle V^{*}}$هذا لا ينطبق أيضاً.

• ينطبق على: المصفوفة A من الرتبة m × n .
• التحلل:${\displaystyle A=UDV^{*}}$حيث D مصفوفة قطرية غير سالبة ، و U و V تحققان${\displaystyle U^{*}U=I,V^{*}V=I}$. هنا${\displaystyle V^{*}}$هي المصفوفة المرافقة المنقولة لـ V (أو ببساطة المصفوفة المنقولة ، إذا كانت V تحتوي على أعداد حقيقية فقط)، و I تشير إلى مصفوفة الوحدة (ذات بُعد معين).
• ملاحظة : تسمى العناصر القطرية للمصفوفة D بالقيم المفردة للمصفوفة A.
• التعليق: مثل تحليل القيم الذاتية أعلاه، يتضمن تحليل القيم المفردة إيجاد اتجاهات الأساس التي يكون فيها ضرب المصفوفات مكافئًا للضرب القياسي، ولكنه يتمتع بعمومية أكبر لأن المصفوفة قيد الدراسة لا يلزم أن تكون مربعة.
• التفرد: القيم المفردة لـ${\displaystyle A}$يتم تحديدها دائمًا بشكل فريد.${\displaystyle U}$و${\displaystyle V}$ليس من الضروري أن تكون فريدة بشكل عام.

يشير إلى متغيرات تحليل المصفوفات الموجودة، مثل SVD، والتي لا تتغير بالنسبة لتغيير المقياس القطري.

• ينطبق على: المصفوفة A من الرتبة m × n .
• تحليل القيم المفردة الثابتة على مقياس الوحدة:${\displaystyle A=DUSV^{*}E}$حيث S هي مصفوفة قطرية فريدة غير سالبة ذات قيم مفردة ثابتة المقياس، و U و V مصفوفتان وحدويتان .${\displaystyle V^{*}}$هي المصفوفة المترافقة المنقولة لـ V ، والمصفوفات القطرية الموجبة D و E.
• التعليق: يشبه SVD باستثناء أن العناصر القطرية لـ S ثابتة بالنسبة للضرب الأيسر و/أو الأيمن لـ A بواسطة مصفوفات قطرية غير منفردة عشوائية، على عكس SVD القياسي الذي تكون فيه القيم المفردة ثابتة بالنسبة للضرب الأيسر و/أو الأيمن لـ A بواسطة مصفوفات وحدوية عشوائية.
• التعليق: هل هو بديل لـ SVD القياسي عندما يكون الثبات مطلوبًا فيما يتعلق بالتحويلات القطرية بدلاً من التحويلات الوحدوية لـ A ؟
• التفرد: القيم المفردة غير المتغيرة بتغير المقياس لـ${\displaystyle A}$(المُعطاة بواسطة العناصر القطرية للمصفوفة S ) تكون دائمًا مُحددة بشكل فريد. أما المصفوفات القطرية D و E ، والمصفوفات الوحدوية U و V ، فليست بالضرورة فريدة بشكل عام.
• ملاحظة: مصفوفات U و V ليست هي نفسها تلك الناتجة عن SVD.

يمكن اشتقاق تحليلات مماثلة غير متغيرة المقياس من تحليلات المصفوفات الأخرى؛ على سبيل المثال، للحصول على القيم الذاتية غير المتغيرة المقياس. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

• ينطبق على: المصفوفة المربعة أ.
• التحلل:${\displaystyle A=PHP^{*}}$أين${\displaystyle H}$هي مصفوفة هيسنبرغ و${\displaystyle P}$هي مصفوفة وحدوية .
• تعليق: غالباً ما تكون هذه هي الخطوة الأولى في تحليل شور.

• يُعرف أيضًا باسم: تحلل المركبات فائقة الصغر ، تحلل المركبات فائقة الصغر جدًا ، تحلل المركبات فائقة الصغر جدًا .
• ينطبق على: المصفوفة A من الرتبة m × n .
• التحلل:${\displaystyle A=UTV^{*}}$، حيث T هي مصفوفة مثلثية ، و U و V هما مصفوفتان وحدويتان .
• تعليق: مشابه لتحليل القيمة المفردة وتحليل شور.

• ينطبق على : أي مصفوفة مربعة معقدة A.
• التحلل:${\displaystyle A=UP}$(التحلل القطبي الأيمن) أو${\displaystyle A=P'U}$(التحليل القطبي الأيسر)، حيث U هي مصفوفة وحدوية و P و P' هما مصفوفات هيرميتية شبه محددة موجبة .
• التفرد:${\displaystyle P}$هو دائماً فريد ومساوٍ لـ${\displaystyle {\sqrt {A^{*}A}}}$(وهي دائماً هيرميتية وشبه موجبة). إذا${\displaystyle A}$إذا كانت قابلة للعكس، فإن${\displaystyle U}$فريد من نوعه.
• تعليق: بما أن أي مصفوفة هيرميتية تقبل تحليلًا طيفيًا باستخدام مصفوفة وحدوية،${\displaystyle P}$يمكن كتابتها على النحو التالي${\displaystyle P=VDV^{*}}$. منذ${\displaystyle P}$هي شبه موجبة، جميع العناصر في${\displaystyle D}$غير سالبة. بما أن حاصل ضرب مصفوفتين وحدويتين هو مصفوفة وحدوية، فإن أخذ${\displaystyle W=UV}$يمكن للمرء أن يكتب${\displaystyle A=U(VDV^{*})=WDV^{*}}$وهو ما يُعرف بتحليل القيم المفردة. وبالتالي، فإن وجود التحليل القطبي يُكافئ وجود تحليل القيم المفردة.

• ينطبق على: المصفوفة A المربعة والمعقدة وغير المنفردة . ^{[ 5 ]}
• التحلل:${\displaystyle A=QS}$، حيث Q هي مصفوفة متعامدة معقدة و S هي مصفوفة متناظرة معقدة.
• التفرد: إذا${\displaystyle A^{\mathsf {T}}A}$إذا لم يكن للمصفوفة قيم ذاتية حقيقية سالبة، فإن التفكيك يكون فريدًا. ^{[ 6 ]}
• تعليق: إن وجود هذا التفكيك يعادل${\displaystyle AA^{\mathsf {T}}}$يشبه إلى${\displaystyle A^{\mathsf {T}}A}$[ ^{7 ]​}
• تعليق: أحد أشكال هذا التحليل هو${\displaystyle A=RC}$حيث R مصفوفة حقيقية و C مصفوفة دائرية . ^{[ 6 ]}

• ينطبق على: المصفوفة A المربعة والمركبة وغير المنفردة . ^{[ 8 ] [ 9 ]}
• التحلل:${\displaystyle A=Ue^{iM}e^{S}}$، حيث U وحدة، وM حقيقي مضاد للتناظر، و S حقيقي متناظر.
• ملاحظة: يمكن أيضًا تحليل المصفوفة A إلى${\displaystyle A=U_{2}e^{S_{2}}e^{iM_{2}}}$حيث U ₂ وحدة، وM ₂ حقيقي مضاد للتناظر، و S ₂ حقيقي متناظر. ^{[ 6 ]}

• ينطبق على: المصفوفة الحقيقية المربعة A ذات العناصر الموجبة تمامًا.
• التحلل:${\displaystyle A=D_{1}SD_{2}}$، حيث S عشوائية مزدوجة و D ₁ و D ₂ عبارة عن مصفوفات قطرية حقيقية ذات عناصر موجبة تمامًا.

• ينطبق على: المصفوفة المربعة المركبة A ذات النطاق العددي الموجود في القطاع${\displaystyle S_{\alpha }=\left\{re^{i\theta }\in \mathbb {C} \mid r>0,|\theta |\leq \alpha <{\frac {\pi }{2}}\right\}}$.
• التحلل:${\displaystyle A=CZC^{*}}$حيث C هي مصفوفة معقدة قابلة للعكس و${\displaystyle Z=\operatorname {diag} \left(e^{i\theta _{1}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}\right)}$مع الجميع${\displaystyle \left|\theta _{j}\right|\leq \alpha }$[ ^{10 ] [ 11 ]​}

• ينطبق على: المصفوفة الحقيقية المربعة والموجبة المحددة A من الرتبة 2 n × 2 n .
• التحلل:${\displaystyle A=S^{\mathsf {T}}\operatorname {diag} (D,D)S}$، أين${\displaystyle S\in {\text{Sp}}(2n)}$هي مصفوفة سيمبلكتية و D هي مصفوفة قطرية غير سالبة من الرتبة n × n . ^{[ 12 ]}

• التحلل:${\displaystyle A=BB}$، ليس فريدًا بشكل عام.
• في حالة شبه الموجبة المحددة${\displaystyle A}$، هناك شبه محدد إيجابي فريد${\displaystyle B}$بحيث${\displaystyle A=B^{*}B=BB}$.

• تشودري، ديبا؛ هورن، روجر أ. (أبريل 1987). "نظير متناظر متعامد معقد للتحليل القطبي". مجلة SIAM للطرق الجبرية والمنفصلة . 8 (2): 219-225 . doi : 10.1137/0608019 .
• Fredholm، I. (1903)، “Sur une classe d’´equations fonctionnelles”، Acta Mathematica (بالفرنسية)، 27 : 365–390 ، دوى : 10.1007 / bf02421317
• Hilbert، D. (1904)، “Grundzüge einer allgemeinen Theorie der Linear Integralgleichungen”، Nachr. كونيجل. جيز. غوت (بالألمانية) ، 1904 : 49-91
• هورن، روجر أ.؛ ميرينو، دينيس آي. (يناير 1995). "تكافؤ المتناقض: شكل قانوني وبعض التطبيقات" . الجبر الخطي وتطبيقاته . 214 : 43-92 . doi : 10.1016/0024-3795(93)00056-6 .
• ماير، سي دي (2000)، تحليل المصفوفات والجبر الخطي التطبيقي ، سيام ، رقم ISBN 978-0-89871-454-8
• Schmidt، E. (1907)، “Zur Theorie der Lineen und nichtlinearen Integralgleichungen. I Teil. Entwicklung willkürlichen Funktionen nach System vorgeschriebener” ، Mathematische Annalen (في الألمانية)، 63 (4): 433–476 ، دوى : 10.1007 / bf01449770
• سايمون، سي.؛ بلوم، إل. (1994). الرياضيات للاقتصاديين . نورتون. ISBN 978-0-393-95733-4.
• ستيوارت، جي دبليو (2011)، فريدهولم، هيلبرت، شميدت: ثلاث أوراق بحثية أساسية حول المعادلات التكاملية (ملف PDF) ، تم الاطلاع عليه بتاريخ 6 يناير 2015
• تاونسند، أ.؛ تريفثين، ل. ن. (2015)، "النظائر المتصلة لتحليل المصفوفات"، وقائع الجمعية الملكية أ ، 471 (2173) 20140585، رمز Bibcode : 2014RSPSA.47140585T ، doi : 10.1098/rspa.2014.0585 ، PMC 4277194 ، PMID 25568618  
• جون، لو (2021)، تحليل المصفوفات العددي وتطبيقاته الحديثة: دورة تمهيدية دقيقة ، arXiv : 2107.02579