التشابك (الرياضيات)

في الرياضيات ، يُعتبر التشابك عمومًا أحد مفهومين مرتبطين:

• في تعريف جون كونواي ، فإن التشابك n هو تضمين صحيح للاتحاد المنفصل لـ n قوس في كرة ثلاثية الأبعاد ؛ يجب أن يرسل التضمين نقاط نهاية الأقواس إلى 2 n نقطة مميزة على حدود الكرة.
• في نظرية الروابط ، التشابك هو تضمين لـ n قوسًا و m دائرة في${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}\times [0,1]}$– الفرق عن التعريف السابق هو أنه يشمل الدوائر بالإضافة إلى الأقواس، ويقسم الحدود إلى جزأين (متماثلين)، وهو أمر أكثر ملاءمة من الناحية الجبرية – فهو يسمح بإضافة التشابكات عن طريق تكديسها، على سبيل المثال.

ثمة استخدام ثالث ومختلف تمامًا لمصطلح "التشابك" - وهو استخدام نظري للرسوم البيانية - قدمه نيل روبرتسون وبول سيمور ، ^{[ 1 ]} اللذان استخدماه لوصف الفصل في الرسوم البيانية. وقد تم توسيع هذا الاستخدام ليشمل الماترويدات .

يتناول الجزء المتبقي من هذه المقالة مفهوم كونواي للتشابكات؛ أما بالنسبة لمفهوم نظرية الروابط، فراجع تلك المقالة .

يُعتبر تشابكان من الرتبة n متكافئين إذا وُجد تماثل محيطي بينهما مع تثبيت حدود الكرة الثلاثية. يمكن اعتبار نظرية التشابك مماثلة لنظرية العقد ، باستثناء استخدام خيوط مثبتة الأطراف بدلاً من الحلقات المغلقة. انظر أيضاً نظرية الجدائل .

دون الإخلال بعمومية المسألة، لنفترض أن النقاط المحددة على حدود الكرة الثلاثية تقع على دائرة عظمى. يمكن ترتيب التشابك بحيث يكون في وضع عام بالنسبة للإسقاط على القرص المسطح المحدد بالدائرة العظمى. عندئذٍ، يُعطينا الإسقاط مخططًا للتشابك ، حيث نُشير إلى التقاطعات العلوية والسفلية كما هو الحال في مخططات العقد .

غالباً ما تظهر التشابكات على شكل مخططات تشابك في مخططات العقد أو الروابط ويمكن استخدامها كعناصر بناء لمخططات الروابط ، على سبيل المثال روابط البريتزل .

التشابك العقلاني هو تشابك ثنائي الأبعاد متماثل شكليًا مع التشابك الثنائي الأبعاد البسيط بواسطة خريطة أزواج تتكون من الكرة الثلاثية وقوسين. تُشار عادةً إلى نقاط نهاية الأقواس الأربعة على دائرة حدود مخطط التشابك بالرموز NE وNW وSW وSE، حيث تشير هذه الرموز إلى اتجاهات البوصلة.

قد يبدو مخطط التشابك العشوائي لتشابك منطقي معقدًا للغاية، لكن يوجد دائمًا مخطط ذو شكل بسيط محدد: ابدأ بمخطط تشابك يتكون من قوسين أفقيين (رأسيين)؛ أضف "التواءً"، أي تقاطعًا واحدًا عن طريق تبديل نقطتي النهاية الشمالية الشرقية والجنوبية الشرقية (أو الجنوبية الغربية والجنوبية الشرقية)؛ استمر بإضافة المزيد من الالتواءات باستخدام إما نقطتي النهاية الشمالية الشرقية والجنوبية الشرقية أو الجنوبية الغربية والجنوبية الشرقية. يمكن افتراض أن كل التواء لا يغير المخطط داخل قرص يحتوي على التقاطعات التي تم إنشاؤها مسبقًا.

يمكننا وصف هذا المخطط بالنظر إلى الأرقام الناتجة عن الالتفافات المتتالية حول نفس مجموعة نقاط النهاية، على سبيل المثال (2، 1، -3) تعني البدء بقوسين أفقيين، ثم التفافين باستخدام نقاط النهاية الشمالية الشرقية/الجنوبية الشرقية، ثم التفاف واحد باستخدام نقاط النهاية الجنوبية الغربية/الجنوبية الشرقية، ثم ثلاثة التفافات باستخدام نقاط النهاية الشمالية الشرقية/الجنوبية الشرقية ولكن في الاتجاه المعاكس. تبدأ القائمة من 0 إذا بدأنا بقوسين رأسيين. المخطط ذو القوسين الأفقيين هو (0)، ولكننا نُسند (0، 0) للمخطط ذي الأقواس الرأسية. يلزم وجود اصطلاح لوصف الالتفاف "الموجب" أو "السالب". غالبًا ما يُشير مصطلح "التشابك المنطقي" إلى قائمة أرقام تُمثل مخططًا بسيطًا كما هو موضح.

جزء من تشابك منطقي${\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\dots )}$ثم يُعرَّف بأنه العدد الذي يُعطى بواسطة الكسر المستمر${\displaystyle [a_{n},a_{n-1},a_{n-2},\dots ]}$الكسر المعطى بالنقطة (0,0) يُعرَّف على النحو التالي:${\displaystyle \infty }$أثبت كونواي أن الكسر مُعرَّف جيدًا ويُحدِّد التشابك العقلاني تمامًا حتى تكافؤ التشابك. ^{[ 2 ]} يُقدَّم برهانٌ مُيسَّرٌ لهذه الحقيقة في: ^{[ 3 ]} كما عرَّف كونواي كسرًا من تشابكٍ عشوائي باستخدام متعددة حدود ألكسندر .

كان أحد دوافع دراسة كونواي للتشابكات هو توفير تدوين للعقد أكثر منهجية من التعداد التقليدي الموجود في الجداول.

لقد ثبت أن التشابكات مفيدة في دراسة بنية الحمض النووي . ويمكن تحليل عمل إنزيم معين بمساعدة نظرية التشابك. ^{[ 4 ]}

• لغز متشابك

• آدامز، سي سي (2004). كتاب العقد: مقدمة تمهيدية لنظرية العقد الرياضية . بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية. الصفحات:  307 + 14 صفحة تمهيدية. رقم ISBN 0-8218-3678-1.

• ماكاي، ديفيد . "رمز ميتابوست لرسم التشابكات والصور الأخرى" . مجموعة الاستدلال . تم الاسترجاع في 13 أبريل 2018 .
• جولدمان، جاي آر؛ كوفمان، لويس إتش (1997). "التشابكات العقلانية" (ملف PDF) . التقدم في الرياضيات التطبيقية . 18 (3): 300-332 . doi : 10.1006/aama.1996.0511 .