نظرية العقدة

في علم الطوبولوجيا ، تُعنى نظرية العقد بدراسة العقد الرياضية . ورغم أنها مستوحاة من العقد التي تظهر في الحياة اليومية، مثل تلك الموجودة في أربطة الأحذية والحبال، إلا أن العقدة الرياضية تختلف عنها في أن طرفيها متصلان بحيث لا يمكن فكها، وأبسط أنواع العقد هي الحلقة (أو " العقدة غير القابلة للفك "). في اللغة الرياضية، العقدة هي تمثيل لدائرة في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد .${\displaystyle \mathbb {E} ^{3}}$تكون عقدتان رياضيتان متكافئتين إذا أمكن تحويل إحداهما إلى الأخرى عن طريق تشويه${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$على نفسه (المعروف باسم النظائر المحيطة )؛ تتوافق هذه التحولات مع عمليات التلاعب بخيط معقود لا تتضمن قطعه أو تمريره من خلال نفسه.

يمكن وصف العُقد بطرقٍ مُتعددة. وباستخدام أساليب وصفٍ مُختلفة، قد يكون هناك أكثر من وصفٍ للعقدة نفسها. على سبيل المثال، إحدى الطرق الشائعة لوصف العقدة هي رسم تخطيطي مُستوٍ يُسمى مُخطط العقدة، حيث يُمكن رسم أي عقدة بطرقٍ مُختلفة. لذلك، تُعدّ مُشكلة تحديد متى يُمثل وصفان العقدة نفسها مُشكلةً أساسيةً في نظرية العُقد.

يوجد حل خوارزمي كامل لهذه المشكلة، لكن تعقيده غير معروف . ^{[ 1 ]} عمليًا، غالبًا ما تُفرّق العُقد باستخدام ثابت العُقدة ، وهو "كمية" تبقى ثابتة عند حسابها من أوصاف مختلفة للعُقدة. تشمل الثوابت المهمة كثيرات حدود العُقد ، ومجموعات العُقد ، والثوابت الزائدية.

كان الدافع الأصلي لمؤسسي نظرية العقد هو إنشاء جدول للعقد والروابط ، وهي عقد تتكون من عدة عناصر متشابكة مع بعضها البعض. وقد تم تدوين أكثر من ستة مليارات عقدة ورابطة منذ بدايات نظرية العقد في القرن التاسع عشر.

للحصول على فهم أعمق، عمّم علماء الرياضيات مفهوم العقدة بعدة طرق. يمكن دراسة العقد في فضاءات ثلاثية الأبعاد أخرى ، ويمكن استخدام أشكال أخرى غير الدوائر؛ انظر العقدة (الرياضيات) . على سبيل المثال، العقدة متعددة الأبعاد هي كرة ذات بُعد n مغمورة في فضاء إقليدي ذي بُعد ( n +2). كما يمكن توسيع نظرية العقدة لوصف التشابك في المنحنيات المفتوحة ، وهو ما يُستخدم لدراسة العقد في البروتينات والحمض النووي والحبال المادية.

اكتشف علماء الآثار أن فن عقد العقد يعود إلى عصور ما قبل التاريخ. فإلى جانب استخداماتها في تسجيل المعلومات وربط الأشياء ، أثارت العقد اهتمام الإنسان لما تحمله من جمال ورمزية روحية. تظهر العقد في أشكال فنية صينية متنوعة تعود إلى عدة قرون قبل الميلاد (انظر: العقد الصينية ). وتظهر العقدة اللانهائية في البوذية التبتية ، بينما تكرر ظهور حلقات بوروميان في ثقافات مختلفة، وغالبًا ما ترمز إلى قوة الوحدة. وقد خصص الرهبان السلتيون الذين ألفوا كتاب كيلز صفحات كاملة بزخارف عقد سلتية متقنة .

طُوِّرت نظرية رياضية للعُقد لأول مرة عام ١٧٧١ على يد ألكسندر-ثيوفيل فاندرموند، الذي أشار صراحةً إلى أهمية الخصائص الطوبولوجية عند مناقشة خصائص العُقد المتعلقة بهندسة الموقع. بدأت الدراسات الرياضية للعُقد في القرن التاسع عشر مع كارل فريدريش غاوس ، الذي عرّف التكامل الرابط ( سيلفر ٢٠٠٦ ) . في ستينيات القرن التاسع عشر، أدت نظرية اللورد كلفن القائلة بأن الذرات عُقد في الأثير إلى ابتكار بيتر غوثري تيت لأول جداول للعُقد من أجل تصنيفها تصنيفًا كاملًا. في عام ١٨٨٥، نشر تيت جدولًا للعُقد التي تصل إلى عشرة تقاطعات، وما عُرف فيما بعد باسم حدسيات تيت . حفّز هذا السجل علماء نظرية العُقد الأوائل، لكن نظرية العُقد أصبحت في نهاية المطاف جزءًا من علم الطوبولوجيا الناشئ .

درس علماء الطوبولوجيا هؤلاء في أوائل القرن العشرين - ماكس دين ، وجيه دبليو ألكسندر ، وغيرهم - العقد من منظور مجموعة العقد والثوابت المستمدة من نظرية التماثل، مثل متعددة حدود ألكسندر . وظل هذا النهج هو السائد في دراسة نظرية العقد حتى أحدثت سلسلة من الاكتشافات الرائدة تحولاً جذرياً في هذا المجال.

في أواخر سبعينيات القرن العشرين، أدخل ويليام ثورستون الهندسة الزائدية إلى دراسة العقد من خلال نظرية التضخيم الزائدي . وقد تبين أن العديد من العقد هي عقد زائدية ، مما أتاح استخدام الهندسة في تعريف ثوابت عقدية جديدة وقوية . وكشف اكتشاف متعددة حدود جونز على يد فوغان جونز عام ١٩٨٤ ( سوسينسكي ٢٠٠٢ ، ص ٧١-٨٩) ، والمساهمات اللاحقة من إدوارد ويتن ، وماكسيم كونتسيفيتش ، ولويس كوفمان ، وغيرهم، عن روابط عميقة بين نظرية العقد والأساليب الرياضية في الميكانيكا الإحصائية ونظرية الحقل الكمومي . ومنذ ذلك الحين، تم ابتكار عدد كبير من ثوابت العقد، باستخدام أدوات متطورة مثل المجموعات الكمومية وعلم التماثل لفلور . 

في العقود الأخيرة من القرن العشرين، ازداد اهتمام العلماء بدراسة العُقد الفيزيائية لفهم ظاهرة التشابك في الحمض النووي (DNA) والبوليمرات الأخرى. يمكن استخدام نظرية العُقد لتحديد ما إذا كان الجزيء كيراليًا (له اتجاهية محددة) أم لا ( سايمون، 1986 ) . وقد استُخدمت التشابكات ، وهي خيوط مثبتة الطرفين، بفعالية في دراسة تأثير إنزيم توبويزوميراز على الحمض النووي ( فلابان، 2000 ) . قد تكون نظرية العُقد حاسمة في بناء الحواسيب الكمومية، من خلال نموذج الحوسبة الكمومية الطوبولوجية ( كولينز، 2006 ) .

على اليسار، العقدة غير المكتملة، وعقدة مكافئة لها. قد يكون من الصعب تحديد ما إذا كانت العقد المعقدة، مثل تلك الموجودة على اليمين، مكافئة للعقدة غير المكتملة.

تُنشأ العقدة بالبدء بقطعة مستقيمة أحادية البعد ، ولفها حول نفسها بشكل عشوائي، ثم دمج طرفيها الحرين معًا لتشكيل حلقة مغلقة ( آدامز 2004 ) ( سوسينسكي 2002 ) . ببساطة، يمكننا القول إن العقدة${\displaystyle K}$هي "منحنى مغلق بسيط" (انظر المنحنى ) - أي: دالة "شبه" أحادية ومتصلة${\displaystyle K\colon [0,1]\to \mathbb {R} ^{3}}$، مع كون "عدم الحقن" هو الوحيد${\displaystyle K(0)=K(1)}$يعتبر علماء الطوبولوجيا العقد والتشابكات الأخرى مثل الروابط والضفائر متكافئة إذا كان من الممكن تحريك العقدة بسلاسة، دون أن تتقاطع مع نفسها، لتتطابق مع عقدة أخرى.

تتمثل فكرة تكافؤ العقد في إعطاء تعريف دقيق للحالات التي تُعتبر فيها عقدتان متماثلتين حتى لو كانتا مختلفتين تمامًا في الموقع. التعريف الرياضي الرسمي هو أن عقدتين${\displaystyle K_{1},K_{2}}$تكون متكافئة إذا كان هناك تماثل تماثلي يحافظ على الاتجاه${\displaystyle h\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$مع${\displaystyle h(K_{1})=K_{2}}$.

يعني هذا التعريف لتكافؤ العقد أن عقدتين تكونان متكافئتين عندما توجد عائلة متصلة من التشاكلات الموضعية.${\displaystyle \{h_{t}:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}\ \mathrm {for} \ 0\leq t\leq 1\}}$من الفضاء إلى نفسه، بحيث تحمل العقدة الأخيرة العقدة الأولى إلى العقدة الثانية. (بالتفصيل: عقدتان)${\displaystyle K_{1}}$و${\displaystyle K_{2}}$تكون متكافئة إذا وُجد تطبيق متصل${\displaystyle H:\mathbb {R} ^{3}\times [0,1]\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$بحيث يكون أ) لكل${\displaystyle t\in [0,1]}$عملية رسم الخرائط${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{3}}$ل${\displaystyle H(x,t)\in \mathbb {R} ^{3}}$هو تماثل شكلي لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ب) على نفسه؛ ب)${\displaystyle H(x,0)=x}$للجميع${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{3}}$ج)${\displaystyle H(K_{1},1)=K_{2}}$وظيفة كهذه${\displaystyle H}$(يُعرف باسم النظائر المحيطة .)

يتفق هذان المفهومان لتكافؤ العقد تمامًا فيما يتعلق بالعقد المتكافئة: فالعقدتان المتكافئتان وفقًا لتعريف التشاكل المتماثل الحافظ للاتجاه تكونان متكافئتين أيضًا وفقًا لتعريف التشاكل المحيط، لأن أي تشاكل متماثل حافظ للاتجاه من${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$يُعدّ التماثل مع نفسه المرحلة النهائية من التماثل المحيطي الذي يبدأ من التماثل. وعلى العكس من ذلك، فإن عقدتين متكافئتين وفقًا لتعريف التماثل المحيطي تكونان متكافئتين أيضًا وفقًا لتعريف التماثل المتماثل الحافظ للاتجاه، لأن${\displaystyle t=1}$يجب أن تكون المرحلة (النهائية) من التماثل المحيطي عبارة عن تماثل يحافظ على الاتجاه وينقل عقدة واحدة إلى الأخرى.

يمكن محاولة تعريف تكافؤ العقد بناءً على " التماثل " بدلاً من الخاصية الأكثر تقييدًا للتماثل المحيطي. أي أن عقدتين تكونان متماثلتين عندما توجد دالة متصلة تبدأ من${\displaystyle t=0}$إعطاء${\displaystyle K_{1}}$التضمين، وينتهي عند${\displaystyle t=1}$إعطاء${\displaystyle K_{2}}$التضمين، حيث تتوافق جميع القيم الوسيطة مع التضمينات. مع ذلك، يجعل هذا التعريف كل عقدة مكافئة للعقدة غير المعقودة، إذ يمكن "تقليص" الأجزاء المعقودة إلى خط مستقيم. تكمن المشكلة في أن هذه الدالة، على الرغم من كونها متصلة، ليست دالة أحادية في الفضاء الإقليدي الذي تُضمّن فيه العقدة. ويحل اشتراط أن يكون التماثل من خلال التشاكلات الموضعية هذه المشكلة.

تتمثل المشكلة الأساسية في نظرية العقد، وهي مشكلة التعرف ، في تحديد تكافؤ عقدتين. توجد خوارزميات لحل هذه المشكلة، أولها خوارزمية قدمها فولفغانغ هاكن في أواخر الستينيات ( هاس، 1998 ) . ومع ذلك، قد تستغرق هذه الخوارزميات وقتًا طويلاً للغاية، وتتمثل إحدى القضايا الرئيسية في النظرية في فهم مدى صعوبة هذه المشكلة حقًا ( هاس، 1998 ) . وتُعد الحالة الخاصة للتعرف على العقدة غير المكتملة ، والتي تُسمى مشكلة فك العقدة ، ذات أهمية خاصة ( هوست، 2005 ) . في فبراير 2021، أعلن مارك لاكنبي عن خوارزمية جديدة للتعرف على العقد غير المكتملة تعمل في وقت شبه متعدد الحدود . ^{[ 2 ]}

إحدى الطرق المفيدة لتصوّر العقد ومعالجتها هي إسقاط العقدة على مستوى ثنائي الأبعاد - تخيّل العقدة وهي تُلقي بظلها على الحائط. يُضمن تغيير طفيف في اتجاه الإسقاط أن يكون التطابق تامًا باستثناء النقاط المزدوجة، التي تُسمى نقاط التقاطع ، حيث يتقاطع "ظل" العقدة مع نفسه مرة واحدة بشكل عرضي ( رولفسن، 1976 ) . عند كل نقطة تقاطع، ولإعادة إنشاء العقدة الأصلية، يجب التمييز بين الخيط العلوي والخيط السفلي. غالبًا ما يتم ذلك عن طريق إحداث قطع في الخيط السفلي. الرسم البياني الناتج هو منحنى مستوٍ مغمور مع بيانات إضافية تُحدد أي خيط علوي وأي خيط سفلي عند كل نقطة تقاطع. (تُسمى هذه الرسوم البيانية برسوم بيانية للعقد عندما تُمثل عقدة، ورسوم بيانية للوصلات عندما تُمثل وصلة ). وبالمثل، يمكن ربط الأسطح المعقودة في الفضاء الرباعي بالأسطح المغمورة في الفضاء الثلاثي.

المخطط المُختزل هو مخطط عقدة لا يحتوي على تقاطعات قابلة للاختزال (أو التقاطعات الفارغة أو القابلة للإزالة )، أو حيث أُزيلت جميع التقاطعات القابلة للاختزال. ^{[ 3 ] [ 4 ]} أما إسقاط البتلة فهو نوع من الإسقاطات حيث تلتقي جميع خيوط العقدة عند نقطة تقاطع واحدة، بدلاً من تكوين نقاط مزدوجة، وتتصل بها بحلقات تُشكل "بتلات" غير متداخلة. ^{[ 5 ]}

ريديميستر ينتقل

في عام 1927، وبالاستناد إلى هذا الشكل التخطيطي للعقد، أثبت كلٌ من جيه دبليو ألكسندر وجارلاند بيرد بريجز ، وبشكل مستقل كورت ريديميستر ، أن مخططين للعقدة ينتميان إلى العقدة نفسها يمكن ربطهما بتسلسل من ثلاثة أنواع من الحركات على المخطط، كما هو موضح أدناه. هذه العمليات، التي تُعرف الآن باسم حركات ريديميستر ، هي:

1. قم باللف والفك في أي اتجاه.
2. حرك خصلة واحدة فوق الأخرى تمامًا.
3. قم بتحريك خيط بالكامل فوق أو تحت نقطة التقاطع.

ريديميستر ينتقل

النوع الأول	النوع الثاني
النوع الثالث

يعتمد إثبات أن مخططات العقد المتكافئة متصلة بحركات ريديميستر على تحليل ما يحدث تحت الإسقاط المستوي للحركة التي تنقل عقدة إلى أخرى. يمكن ترتيب الحركة بحيث يكون الإسقاط في معظم الأوقات مخططًا للعقد، باستثناء عدد محدود من المرات التي يحدث فيها "حدث" أو "كارثة"، مثل تقاطع أكثر من خيطين عند نقطة واحدة أو تماس عدة خيوط عند نقطة واحدة. سيُظهر فحص دقيق أنه يمكن حذف الأحداث المعقدة، ليتبقى فقط أبسطها: (1) تشكل "عقدة" أو استقامتها؛ (2) تماس خيطين عند نقطة واحدة ومرورهما؛ و(3) تقاطع ثلاثة خيوط عند نقطة واحدة. هذه هي تحديدًا حركات ريديميستر ( سوسينسكي 2002 ، الفصل 3) ( ليكوريش 1997 ، الفصل 1) .

ثابت العقدة هو "كمية" ثابتة للعقد المتكافئة ( آدامز 2004 ) ( ليكوريش 1997 ) ( رولفسن 1976 ) . على سبيل المثال، إذا حُسب الثابت من مخطط عقدة، فيجب أن يعطي القيمة نفسها لمخططي عقدة يمثلان عقدتين متكافئتين. قد يأخذ الثابت القيمة نفسها على عقدتين مختلفتين، لذا قد لا يكون قادرًا بمفرده على التمييز بين جميع العقد. ومن الثوابت الأساسية خاصية التلوين الثلاثي .

تشمل ثوابت العقد "الكلاسيكية" زمرة العقد ، وهي الزمرة الأساسية لمكمل العقد ، ومتعددة حدود ألكسندر ، التي يمكن حسابها من ثابت ألكسندر، وهو وحدة نمطية مُنشأة من الغطاء الدوري اللانهائي لمكمل العقد ( ليكوريش 1997 ) ( رولفسن 1976 ) . في أواخر القرن العشرين، تم اكتشاف ثوابت مثل متعددات حدود العقد "الكمومية"، وثوابت فاسيليف، والثوابت الزائدية. هذه الثوابت المذكورة آنفًا ليست سوى غيض من فيض نظرية العقد الحديثة.

كثيرات الحدود العقدية

متعددة الحدود العقدية هي ثابت عقدي عبارة عن متعددة حدود . من الأمثلة المعروفة متعددة حدود جونز ، ومتعددة حدود ألكسندر ، ومتعددة حدود كوفمان . أما متعددة حدود ألكسندر-كونواي، وهي صيغة معدلة من متعددة حدود ألكسندر ، فهي متعددة حدود في المتغير z بمعاملات صحيحة ( ليكوريش، 1997 ) .

تُعرَّف متعددة حدود ألكسندر-كونواي في الواقع بدلالة الروابط ، التي تتكون من عقدة واحدة أو أكثر متشابكة مع بعضها البعض. وتنطبق المفاهيم المذكورة أعلاه للعقد، مثل المخططات وحركات ريديميستر، على الروابط أيضًا.

لنفترض مخططًا للوصلات الموجهة، أي مخططًا يكون فيه لكل مكون من مكونات الوصلة اتجاه مفضل يُشار إليه بسهم. بالنسبة لتقاطع معين في المخطط، لنفترض${\displaystyle L_{+},L_{-},L_{0}}$تكون مخططات الروابط الموجهة الناتجة عن تغيير المخطط كما هو موضح في الشكل:

قد يكون الرسم التخطيطي الأصلي إما${\displaystyle L_{+}}$أو${\displaystyle L_{-}}$، وذلك بحسب تصميم التقاطع المختار. ثم متعددة حدود ألكسندر-كونواي،${\displaystyle C(z)}$، يتم تعريفها بشكل متكرر وفقًا للقواعد التالية:

• ${\displaystyle C(O)=1}$(أين${\displaystyle O}$(أي رسم تخطيطي للعقدة غير المكتملة )
• ${\displaystyle C(L_{+})=C(L_{-})+zC(L_{0}).}$

القاعدة الثانية هي ما يُشار إليه غالبًا بعلاقة الخيط . وللتحقق من أن هذه القواعد تُعطي ثابتًا للرابط الموجه، ينبغي التأكد من أن متعددة الحدود لا تتغير تحت تأثير حركات ريديميستر الثلاث. ويمكن تعريف العديد من متعددات حدود العقد المهمة بهذه الطريقة.

فيما يلي مثال على عملية حسابية نموذجية باستخدام علاقة الخيط. تحسب هذه العملية متعددة حدود ألكسندر-كونواي لعقدة البرسيم . تشير البقع الصفراء إلى مواضع تطبيق هذه العلاقة.

C ( )  = C ( ) + z C ( )   

يُعطي هذا الشكل العقدة غير المكتملة ووصلة هوبف . بتطبيق العلاقة على وصلة هوبف عند الإشارة إليها،

C ( ) = C ( ) + z C ( )

يُعطي رابطًا قابلًا للتشكيل إلى رابط بدون أي تقاطعات (وهو في الواقع رابط غير مُكوّن من عنصرين) وعقدة غير مُفككة. يتطلب فك الرابط بعض الحيل:

C ( ) = C ( ) + z C ( )

مما يعني أن C (فك العقدة المكونة من عنصرين) = 0، لأن أول كثيرتي حدود هما للعقدة غير المكتملة وبالتالي متساويتان.

سيُظهر الجمع بين كل هذا ما يلي:

${\displaystyle C(\mathrm {trefoil} )=1+z(0+z)=1+z^{2}}$

بما أن متعددة حدود ألكسندر-كونواي ثابتة تحت تأثير العقد، فإن هذا يُظهر أن شكل البرسيم الثلاثي لا يُكافئ شكل العقدة غير المعقودة. لذا فإن شكل البرسيم الثلاثي هو في الواقع "معقود".

• 
  عقدة البرسيم اليسرى.
• 
  عقدة البرسيم اليمنى.

في الواقع، يوجد نوعان من العقد ثلاثية الفصوص، يُطلق عليهما العقدة ثلاثية الفصوص اليمنى والعقدة ثلاثية الفصوص اليسرى، وهما صورتان معكوسة لبعضهما البعض (خذ رسمًا تخطيطيًا للعقدة ثلاثية الفصوص الموضح أعلاه، وغيّر اتجاه كل تقاطع للحصول على الصورة المعكوسة). هاتان العقدتان ليستا متكافئتين، أي أنهما ليستا متناظرتين. وقد أثبت ذلك ماكس دين ، قبل اختراع كثيرات حدود العقد، باستخدام أساليب نظرية الزمر ( دين، 1914 ) . لكن كثيرة حدود ألكسندر-كونواي لكل نوع من العقد ثلاثية الفصوص ستكون متطابقة، كما يتضح من خلال إجراء الحساب أعلاه باستخدام الصورة المعكوسة. في الواقع، تستطيع كثيرة حدود جونز التمييز بين العقد ثلاثية الفصوص اليسرى واليمنى ( ليكوريش، 1997 ) .

الثوابت الزائدية

أثبت ويليام ثورستون أن العديد من العقد هي عقد زائدية ، مما يعني أن مكمل العقدة (أي مجموعة نقاط الفضاء ثلاثي الأبعاد التي لا تقع على العقدة) يقبل بنية هندسية، وتحديدًا بنية الهندسة الزائدية . تعتمد البنية الزائدية فقط على العقدة، لذا فإن أي كمية تُحسب من البنية الزائدية تكون ثابتة بالنسبة للعقدة ( آدامز 2004 ) .

حلقات بوروميان هي رابط يتميز بخاصية أن إزالة حلقة واحدة تفصل الحلقات الأخرى.

منظر سنابيا من نقطة التقاء النجوم: حلقات بوروميان تكمل بعضها البعض من منظور ساكن يعيش بالقرب من المكون الأحمر.

تُمكّننا الهندسة من تصوّر شكل الجزء الداخلي من عقدة أو مُكمّل رابط من خلال تخيّل أشعة الضوء وهي تسير على طول الخطوط الجيوديسية للهندسة. يُقدّم مثال على ذلك صورة مُكمّل حلقات بوروميان . ينظر ساكن هذا المُكمّل إلى الفضاء من قرب المكوّن الأحمر. الكرات في الصورة هي مناظر لجوار الكرات الأفقية للرابط. من خلال زيادة سُمك الرابط بطريقة قياسية، نحصل على جوارات الكرات الأفقية لمكوّنات الرابط. على الرغم من أن حدود الجوار عبارة عن سطح حلقي، إلا أنه عند النظر إليه من داخل مُكمّل الرابط، يبدو ككرة. يُظهر كل مكوّن من مكوّنات الرابط عددًا لا نهائيًا من الكرات (من لون واحد) بقدر عدد أشعة الضوء التي تصل من الراصد إلى مكوّن الرابط. يُغطي متوازي الأضلاع الأساسي (المُشار إليه في الصورة) الفراغات رأسيًا وأفقيًا، ويُبيّن كيفية تمديد نمط الكرات إلى ما لا نهاية.

يُعدّ هذا النمط، نمط الكرة الهورو، ثابتًا مفيدًا بحد ذاته. تشمل الثوابت الزائدية الأخرى شكل متوازي الأضلاع الأساسي، وطول أقصر خط جيوديسي، والحجم. وقد استفادت جهود جدولة العقد والوصلات الحديثة من هذه الثوابت بفعالية. وبفضل الحواسيب فائقة السرعة والأساليب الذكية للحصول على هذه الثوابت، أصبح حسابها عمليًا مهمة بسيطة ( آدامز، هيلدبراند، وويكس ، 1991 ) .

يمكن فك عقدة في ثلاثة أبعاد عند وضعها في فضاء رباعي الأبعاد. ويتم ذلك بتغيير نقاط التقاطع. لنفترض أن أحد الخيوط خلف الآخر كما يُرى من نقطة مختارة. ارفعه إلى البعد الرابع، بحيث لا يوجد عائق (أي أن الخيط الأمامي لا يوجد له أي مكون هناك)؛ ثم حركه للأمام، وأسقطه للخلف، ليصبح الآن في المقدمة. ويمكن تشبيه ذلك برفع خيط عن السطح، أو إزالة نقطة من داخل دائرة.

في الواقع، في أربعة أبعاد، أي حلقة مغلقة غير متقاطعة من خيط أحادي البعد تُعادل عقدة غير مكتملة. أولًا، "ادفع" الحلقة إلى فضاء فرعي ثلاثي الأبعاد، وهو أمر ممكن دائمًا، وإن كان شرحه تقنيًا.

ومع ذلك، يظهر الفضاء رباعي الأبعاد في نظرية العقد الكلاسيكية، ومن المواضيع المهمة دراسة عقد الشرائح وعقد الشريط .

تُطرح مسألة مفتوحة شهيرة، تُنسب غالبًا إلى رالف فوكس ، ^{[ 6 ] [ 7 ]} وتطرح سؤالًا حول ما إذا كانت كل عقدة مقطعية هي أيضًا عقدة شريطية. تُعتبر العقدة مقطعية بسلاسة إذا كانت تُشكّل حدود قرص مغمور بسلاسة في كرة رباعية الأبعاد. (عادةً ما يُفترض استخدام صفة "سلسة"، ويُشار إلى العقد المقطعية بسلاسة باسم "مقطعية". هناك أنواع أخرى من العقد، مثل العقد المقطعية بشكل منطقي، والتي لا تُعتبر بالضرورة مقطعية بسلاسة). العقدة الشريطية هي عقدة تُحدّد قرصًا D مغمورًا في كرة ثلاثية الأبعاد. من المعروف أن جميع العقد الشريطية هي عقد مقطعية.

يمكن إضافة عقدتين بفصل كلتيهما وربط طرفيهما. تُسمى هذه العملية بمجموع العقد ، أو أحيانًا المجموع المتصل أو تركيب عقدتين. ويمكن تعريفها رسميًا كما يلي ( آدامز، 2004 ) : لنفترض إسقاطًا مستويًا لكل عقدة، ولنفترض أن هذه الإسقاطات منفصلة. ابحث عن مستطيل في المستوى حيث يكون زوج من الأضلاع المتقابلة عبارة عن أقواس على طول كل عقدة، بينما يكون باقي المستطيل منفصلًا عن العقد. شكّل عقدة جديدة بحذف الزوج الأول من الأضلاع المتقابلة وربط الزوج الآخر. العقدة الناتجة هي مجموع العقدتين الأصليتين. اعتمادًا على كيفية القيام بذلك، قد ينتج عقدتان مختلفتان (وليس أكثر). يمكن إزالة هذا الغموض في المجموع بالنظر إلى العقد على أنها موجهة ، أي أن لكل عقدة اتجاهًا مفضلًا للحركة على طولها، واشتراط أن تكون أقواس العقد في المجموع موجهة بشكل متسق مع حدود المستطيل الموجهة.

مجموع العقد الموجهة تبادلي وتجميعي . العقدة أولية إذا كانت غير تافهة ولا يمكن كتابتها كمجموع عقدتين غير تافهتين. العقدة التي يمكن كتابتها كمجموع عقدتين غير تافهتين تُسمى عقدة مركبة. يوجد تحليل أولي للعقد، مماثل للأعداد الأولية والمركبة ( شوبرت، 1949 ) . بالنسبة للعقد الموجهة، يكون هذا التحليل فريدًا أيضًا. يمكن أيضًا جمع العقد ذات الأبعاد الأعلى، ولكن توجد بعض الاختلافات. فبينما لا يمكنك تكوين العقدة غير المركبة في ثلاثة أبعاد بجمع عقدتين غير تافهتين، يمكنك ذلك في أبعاد أعلى، على الأقل عند النظر إلى العقد الملساء في بُعد مشترك لا يقل عن 3.

يمكن أيضًا إنشاء العقد باستخدام منهجية طوبولوجيا الدوائر . ويتم ذلك من خلال دمج وحدات أساسية تُسمى نقاط التلامس المرنة باستخدام خمس عمليات (التوازي، والتوالي، والتقاطع، والتوافق، والفرعي). ^{[ 10 ] [ 11 ]} هذه المنهجية قابلة للتطبيق على السلاسل المفتوحة أيضًا، ويمكن توسيعها لتشمل ما يُسمى بنقاط التلامس الصلبة.

في مقال نُشر عام 2020 (استنادًا إلى نتائج تم الحصول عليها في الأصل في سبعينيات القرن العشرين)، قدم كل من VM Nezhinskij وVV Nesterenok عملية ثنائية على مجموعة فئات التماثل العقدي الموجه${\displaystyle {\mathcal {K}}}$، ويرمز إليه بـ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:{\mathcal {K}}\times {\mathcal {K}}\to {\mathcal {K}}}$[ ^{12 ]​}

لتحديد العملية للفئات${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle \beta }$يتم اختيار الممثلين في نصفي المساحة اليسرى واليمنى${\displaystyle \mathbb {R} _{-}^{3}}$و${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{3}}$على التوالي، بحيث تكون تقاطعاتها مع المستوى الفاصل عبارة عن قطع مستقيمة متعامدة محددة. زوج من الأسطح${\displaystyle V_{1}}$و${\displaystyle V_{2}}$يتم إنشاء حدود مشتركة لهذه الأجزاء، والعملية${\displaystyle [\alpha ,\beta ]}$يُعرَّف بأنه فئة التماثل للحدود الملساء للاتحاد${\displaystyle \جزئي (V_{1}\cup V_{2})}$.

العملية غير متناظرة، مما يحقق${\displaystyle [\beta ,\alpha ]=-[\alpha ,\beta ]}$ولها العقدة التافهة القياسية${\displaystyle \omega }$كعنصر فارغ أيمن:${\displaystyle [\alpha ,\omega ]=\omega }$تتمثل إحدى الخصائص الطوبولوجية الرئيسية لعملية الأقواس هذه في أنها تُنتج عُقدًا ذات متعددة حدود ألكسندر-كونواي تافهة؛ تحديدًا،${\displaystyle \nabla ([\alpha ,\beta ])=1}$كما تُحدد المقالة العلاقة بين عملية الأقواس هذه ومتعددة الحدود HOMFLY-PT${\displaystyle {\mathcal {P}}}$، معبراً${\displaystyle {\mathcal {P}}([\alpha ,\beta ])}$كمزيج خطي من كثيرات الحدود للمجاميع المتصلة والمكونات المضاعفة${\displaystyle D(\alpha )}$و${\displaystyle D(\beta )}$.

تقليديًا، تُصنَّف العُقد وفقًا لعدد التقاطعات . تتضمن جداول العُقد عادةً العُقد الأولية فقط، ومدخلًا واحدًا فقط لكل عُقدة وصورتها المرآوية (حتى لو كانتا مختلفتين) ( Hoste, Thistlethwaite & Weeks 1998 ) . يزداد عدد العُقد غير التافهة ذات عدد التقاطعات المُحدد بسرعة، مما يجعل جدولة هذه العُقد أمرًا صعبًا من الناحية الحسابية ( Hoste 2005 ، ص 20) . وقد نجحت جهود الجدولة في حصر أكثر من 6 مليارات عُقدة ووصلة ( Hoste 2005 ، ص 28) . تسلسل عدد العُقد الأولية ذات عدد التقاطعات المُحدد، حتى عدد التقاطعات 16، هو: 0، 0، 1، 1، 2، 3، 7، 21، 49، 165، 552، 2176، 9988.  46972 ،​253 293 ،1 388 705 ... (المتتالية A002863 في OEIS ) . على الرغم من أن الحدود العليا والسفلى الأسية لهذه المتتالية معروفة، إلا أنه لم يتم إثبات أن هذه المتتالية متزايدة تمامًا ( آدامز 2004 ) .

استخدمت جداول العقد الأولى التي وضعها تايت وليتل وكيركمان مخططات العقد، مع أن تايت استخدم أيضًا صيغةً سابقةً لصيغة داوكر . وقد تم ابتكار صيغ مختلفة للعقد تسمح بجدولة أكثر كفاءة ( هوست 2005 ) .

سعت الجداول المبكرة إلى إدراج جميع العقد التي لا تتجاوز 10 تقاطعات، وجميع العقد المتناوبة التي تصل إلى 11 تقاطعًا ( هوست، ثيستلثويت ، وويكس 1998 ) . وقد سهّل تطوير نظرية العقد على يد ألكسندر، وريديميستر، وسيفيرت، وغيرهم، مهمة التحقق، ونُشرت جداول العقد التي تصل إلى 9 تقاطعات، بما في ذلك، بواسطة ألكسندر-بريجز وريديميستر في أواخر عشرينيات القرن العشرين.

أُجري أول تحقق رئيسي من هذا العمل في ستينيات القرن العشرين على يد جون هورتون كونواي ، الذي لم يكتفِ بتطوير تدوين جديد، بل طور أيضًا متعددة حدود ألكسندر-كونواي ( كونواي 1970 ) ( دول وهوست 1991 ) . وقد تحققت هذه المتعددة من قائمة العقد التي لا تتجاوز 11 تقاطعًا، وقائمة جديدة من الروابط التي تصل إلى 10 تقاطعات. وجد كونواي عددًا من حالات الحذف، ولكن تكرارًا واحدًا فقط في جداول تايت-ليتل؛ إلا أنه أغفل التكرارات المعروفة باسم زوج بيركو ، والتي لم يلاحظها إلا كينيث بيركو عام 1974 ( بيركو 1974 ) . انتشر هذا الخطأ الشهير عندما أضاف ديل رولفسن جدولًا للعقد في كتابه المؤثر، استنادًا إلى عمل كونواي. تحتوي ورقة كونواي البحثية لعام 1970 حول نظرية العقد على تكرار مطبعي في صفحة العقد غير المتناوبة ذات 11 تقاطعًا، كما أنها تُغفل 4 أمثلة - اثنان منها ذُكرا سابقًا في أطروحة د. لومبارديرو الجامعية لعام 1968 في جامعة برينستون، واثنان آخران اكتشفهما آلان كودرون لاحقًا . [انظر بيركو (1982)، أولية بعض العقد، وقائع الطوبولوجيا]. أما التكرار الأقل شهرة فهو في جدول روابطه ذات 10 تقاطعات: 2.-2.-20.20 هو انعكاس لـ 8*-20:-20. [انظر بيركو (2016)، أبرز الملامح التاريخية لنظرية العقد غير الدورية، مجلة نظرية العقد وتداعياتها].

في أواخر التسعينيات، قام هوست، ثيستلثويت، وويكس بتجميع جميع العقد حتى 16 تقاطعًا ( هوست، ثيستلثويت وويكس 1998 ) . وفي عام 2003، قام رانكين، فلينت، وشيرمان بتجميع العقد المتناوبة حتى 22 تقاطعًا ( هوست 2005 ) . وفي عام 2020، قام بيرتون بتجميع جميع العقد الرئيسية حتى 19 تقاطعًا ( بيرتون 2020 ) .

تدوين داوكر-ثيستلثويت

تُعرف طريقة داوكر -ثيستلثويت ، أو ما يُسمى أيضًا بطريقة داوكر ​​أو رمزها، بأنها سلسلة منتهية من الأعداد الزوجية للعقدة. تُولّد هذه الأعداد بتتبع العقدة وتحديد نقاط التقاطع بأعداد متتالية. وبما أن كل تقاطع يُزار مرتين، فإن هذا يُنشئ اقترانًا بين الأعداد الزوجية والفردية. تُستخدم إشارة مناسبة للدلالة على التقاطع العلوي والسفلي. على سبيل المثال، في هذا الشكل، يحتوي مخطط العقدة على تقاطعات مُصنّفة بالأزواج (1، 6) و(3، -12 ) و(5، 2) و(7، 8) و(9، -4 ) و(11، -10 ). إن ترميز داوكر-ثيستلثويت لهذا التصنيف هو التسلسل: 6، -12 ، 2، 8، -4 ، -10 . يحتوي مخطط العقدة على أكثر من ترميز داوكر ​​ممكن، وهناك غموض مفهوم جيدًا عند إعادة بناء عقدة من ترميز داوكر-ثيستلثويت.

بينما تصنف نظرية العقد الكلاسيكية التضمينات عبر التقاطعات، فإن العديد من السلاسل المطوية التي تحدث بشكل طبيعي تتضمن تقاطعات بين السلاسل بالإضافة إلى روابط داخلية لا تستطيع طرق نظرية العقد التقليدية رصدها، وتُدرس بشكل أساسي من خلال طوبولوجيا الدوائر . في عام 2019، وسّع علي رضا مشاغي وكولين آدامز نظرية العقد لتشمل التضمينات ثلاثية الأبعاد للسلاسل الخطية ذات الروابط الداخلية. ^{[ 14 ]} وقدّما حركات ريديميستر المعممة، ورموز غاوس المُعدّلة، و"الروابط" ( الكواندلات المرتبطة ) كثوابت لتصنيف السلاسل المفتوحة ذاتية التفاعل، كاشفين عن تسلسل هرمي أكثر ثراءً للعقد يتجاوز الثوابت الكلاسيكية.

إلى جانب الرياضيات البحتة، وجدت نظرية العقد تطبيقاتٍ هامة في مجالات علمية متنوعة. ففي الكيمياء ، تُوفر إطارًا لدراسة كيرالية الجزيئات ووصف البنى غير التافهة طوبولوجيًا، مثل الكاتينانات والعقد الجزيئية ، حيث يؤثر تعقيد العمود الفقري الجزيئي على الخصائص الفيزيائية والكيميائية. وفي البيولوجيا الجزيئية ، تُستخدم نظرية العقد لتحليل عمل الإنزيمات، مثل إنزيمات التوبويزوميراز ، التي تُغير عدد الروابط والالتفاف الفائق للحمض النووي ، ولنمذجة عمليات مثل إعادة التركيب وتضاعف الحمض النووي الدائري. وفي الفيزياء ، تنشأ ثوابت العقد بشكل طبيعي في نظرية الحقل الكمومي الطوبولوجي - على سبيل المثال، تنبثق متعددة حدود جونز من نظرية تشيرن-سيمونز - وتُوظف أفكار نظرية العقد في دراسة ديناميكيات الدوامات ، والأوتار الكونية ، وبعض نماذج الميكانيكا الإحصائية . في الآونة الأخيرة، تم تطبيق أساليب من نظرية العقد على الحوسبة الكمومية ، حيث تعمل تمثيلات مجموعة الجدائل كنموذج للبتات الكمومية الطوبولوجية ، وعلى علم المواد في تصميم البوليمرات الجديدة والمواد الميكانيكية الفائقة .

• حبل حسابي
• مخطط الدائرة
• خدعة سلك المصباح
• عقدة ليجندريان
• الرابط (نظرية العقدة)
• قائمة بمواضيع نظرية العقد
• العقدة الجزيئية
• ربطة العنق §  العقد
• الطوبولوجيا الكمومية
• نظرية الشريط

• "الرياضيات والعقد" هذه نسخة إلكترونية من معرض تم تطويره لمعرض "PopMath RoadShow" الذي أقامته الجمعية الملكية عام 1989. وكان الهدف منه استخدام العقد لتقديم أساليب الرياضيات للجمهور العام.