الرابط (نظرية العقدة)

يُستخدم مصطلح " الرابط" في كثير من الأحيان لوصف أي سطح فرعي من الكرة${\displaystyle S^{n}}$متماثل شكليًا مع اتحاد منفصل لعدد محدود من الكرات ،${\displaystyle S^{j}}$.

بشكل عام، كلمة " رابط" تعني في جوهرها نفس معنى كلمة " عقدة" - السياق هو أن لدينا فضاءً فرعياً M من فضاء N (يُعتبر مضمناً بشكل بديهي) وتضميناً غير بديهي لـ M في N ، بمعنى أن التضمين الثاني ليس متماثلاً مع الأول. إذا كان M منفصلاً، يُسمى التضمين رابطاً (أو يُقال إنه مرتبط ). أما إذا كان M متصلاً، فيُسمى عقدة.

بينما يتم تعريف الروابط (أحادية البعد) على أنها تضمينات للدوائر، فإنه من المثير للاهتمام والمفيد تقنيًا بشكل خاص النظر في الفترات المضمنة (الخيوط)، كما هو الحال في نظرية الجدائل .

بشكل عام، يمكن للمرء أن يعتبر التشابك ^{[ 1 ] [ 2 ]} - التشابك هو تضمين

${\displaystyle T\colon X\to \mathbf {R} ^{2}\times I}$

لمتشعب أحادي الأبعاد (أملس) مضغوط ذي حدود${\displaystyle (X,\partial X)}$داخل الطائرة مضروبًا في الفاصل الزمني${\displaystyle I=[0,1],}$بحيث يكون الحد${\displaystyle T(\partial X)}$مضمنة في

${\displaystyle \mathbf {R} \times \{0,1\}}$(${\displaystyle \{0,1\}=\partial I}$).

نوع التشابك هو المتشعب X، بالإضافة إلى تضمين ثابت لـ${\displaystyle \partial X.}$

بشكل ملموس، فإن الفضاء المتصل المضغوط ذو البعد 1 والحدود هو فترة${\displaystyle I=[0,1]}$أو دائرة${\displaystyle S^{1}}$(التراص يستبعد الفترة المفتوحة)${\displaystyle (0,1)}$والفترة نصف المفتوحة${\displaystyle [0,1),}$لا ينتج عن أي منهما تضمينات غير تافهة (لأن النهاية المفتوحة تعني أنه يمكن تقليصها إلى نقطة)، لذا فإن مشعبًا مضغوطًا أحادي البعد قد يكون منفصلاً هو مجموعة من n فترات${\displaystyle I=[0,1]}$و m دائرة${\displaystyle S^{1}.}$الشرط الذي يجعل حدود X تقع في

${\displaystyle \mathbf {R} \times \{0,1\}}$

ينص على أن الفترات إما تربط خطين أو تربط نقطتين على أحد الخطين، لكنه لا يفرض أي شروط على الدوائر. يمكن اعتبار التشابكات ذات اتجاه رأسي ( I )، تقع بين خطين وربما تربط بينهما.

(${\displaystyle \mathbf {R} \times 0}$و${\displaystyle \mathbf {R} \times 1}$)

ثم القدرة على التحرك في اتجاه أفقي ثنائي الأبعاد (${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$)

بين هذه الخطوط؛ يمكن للمرء إسقاطها لتشكيل مخطط متشابك ، على غرار مخطط العقدة .

تشمل التشابكات الروابط (إذا كان X يتكون من دوائر فقط)، والضفائر، وغيرها - على سبيل المثال، خيط يربط الخطين معًا بدائرة مرتبطة به.

في هذا السياق، تُعرَّف الجديلة بأنها تشابك يتجه دائمًا نحو الأسفل، ويكون لمشتقته دائمًا مركبة غير صفرية في الاتجاه الرأسي ( I ). وعلى وجه الخصوص، يجب أن تتكون الجديلة من فترات فقط، ولا تنثني على نفسها؛ ومع ذلك، لم يُحدد موضع طرفيها على الخط.

رابط سلسلةهي شبكة تتكون من فواصل فقط، حيث يجب أن تقع نهايات كل خيط عند النقاط (0،  0)،  (0،  1)،  (1،  0)،  (1،  1)،  (2،  0)،  (2،  1)،  ... – أي أنها تربط الأعداد الصحيحة، وتنتهي بنفس ترتيب بدايتها (يمكن استخدام أي مجموعة نقاط ثابتة أخرى)؛ إذا كان لهذه الشبكة ℓ مكونًا، نسميها " وصلة خيطية ذات ℓ مكونًا". لا يشترط أن تكون الوصلة الخيطية جديلة – فقد تعود على نفسها، مثل وصلة خيطية ثنائية المكونات تحتوي على عقدة بسيطة . تُسمى الجديلة التي هي أيضًا وصلة خيطية بالجديلة النقية ، وتتوافق مع المفهوم المعتاد لهذا النوع من الوصلات.

تكمن القيمة التقنية الأساسية للتشابكات والروابط الخيطية في بنيتها الجبرية. تشكل فئات التماثل للتشابكات فئة موترية ، حيث يمكن، وفقًا لبنية الفئة، تركيب تشابكين إذا كانت النهاية السفلية لأحدهما تساوي النهاية العلوية للآخر (بحيث يمكن ربط حدودهما معًا)، وذلك بتكديسهما. لا تُشكل هذه التشابكات فئةً بالمعنى الحرفي (نقطيًا) لعدم وجود عنصر محايد، إذ حتى التشابك البسيط يشغل حيزًا رأسيًا، ولكنها تشغله حتى التماثل. تُحدد البنية الموترية بتجاور التشابكات - بوضع تشابك على يمين الآخر.

بالنسبة لقيمة ثابتة لـ ℓ، تُشكّل فئات التماثل لروابط السلاسل المكونة من ℓ عنصرًا أحاديًا (يمكن تركيب جميع روابط السلاسل المكونة من ℓ عنصرًا، ويوجد عنصر محايد)، ولكنها لا تُشكّل زمرة، لأن فئات التماثل لروابط السلاسل لا يشترط أن يكون لها معكوسات. مع ذلك، فإن فئات التوافق (وبالتالي فئات التماثل أيضًا ) لروابط السلاسل لها معكوسات، حيث يُعطى المعكوس بقلب رابط السلسلة رأسًا على عقب، وبالتالي تُشكّل زمرة.

يمكن فصل كل حلقة لتكوين حلقة سلسلة، مع أن هذا ليس فريدًا، ويمكن أحيانًا فهم ثوابت الحلقات على أنها ثوابت حلقات السلسلة - وهذا هو الحال بالنسبة لثوابت ميلنور ، على سبيل المثال. قارن ذلك بالضفائر المغلقة .