رقم الهاتف (الرياضيات)

أرقام الهواتف تحقق علاقة التكرار$${\displaystyle T(0)=T(1)=1,}$$$${\displaystyle T(n)=T(n-1)+(n-1)T(n-2),\quad \mathrm {for~} n\geq 2,}$$ نُشرت هذه العلاقة لأول مرة عام 1800 على يد هاينريش أوغست روث ، ويمكن حسابها بسهولة. ^{[ 1 ]} إحدى طرق تفسير هذه العلاقة التكرارية هي تقسيم أنماط الاتصال T ( n ) للمشتركين n في نظام الهاتف إلى أنماط لا يتصل فيها الشخص الأول بأي شخص آخر، وأنماط يجري فيها الشخص الأول مكالمة. يوجد T ( n -1) نمط اتصال يكون فيه الشخص الأول غير متصل، مما يفسر الحد الأول من العلاقة التكرارية. إذا كان الشخص الأول متصلاً بشخص ما، فهناك n -1 خيارًا لذلك الشخص، و T ( n -2) نمط اتصال للأشخاص n -2 المتبقين ، مما يفسر الحد الثاني من العلاقة التكرارية. ^{[ 11 ]}

يمكن التعبير عن أرقام الهواتف بدقة كمجموع .$${\displaystyle T(n)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2k}}(2k-1)!!=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {n!}{2^{k}(n-2k)!k!}}.}$$ في كل حد من حدود المجموع الأول،${\displaystyle k}$يعطي عدد الأزواج المتطابقة، معامل ذي الحدين${\displaystyle {\tbinom {n}{2k}}}$يحسب عدد طرق اختيار${\displaystyle 2k}$العناصر المراد مطابقتها، والمضروب المزدوج$${\displaystyle (2k-1)!!={\frac {(2k)!}{2^{k}\,k!}}}$$هو حاصل ضرب الأعداد الفردية حتى وسيطه، ويحسب عدد طرق مطابقة العناصر الـ 2k المختارة مطابقة تامة . [ 1 ^{] [ 11 ] ويترتب من} صيغة الجمع وتقريب ستيرلينغ أنه، تقاربياً ، ^{[ 1 ] [ 11 ] [ 12 ]}$${\displaystyle T(n)\sim \left({\frac {n}{e}}\right)^{n/2}{\frac {e^{\sqrt {n}}}{(4e)^{1/4}}}\,.}$$

الدالة المولدة الأسية لأرقام الهواتف هي ^{[ 11 ] [ 13 ]}$${\displaystyle G(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {T(n)x^{n}}{n!}}=\exp \left(x+{\frac {x^{2}}{2}}\right).}$$ بمعنى آخر، يمكن قراءة أرقام الهواتف كمعاملات لمتسلسلة تايلور للدالة exp( x + x² /2) ^، وعلى وجه الخصوص، فإن رقم الهاتف رقم n هو قيمة المشتقة رقم n لهذه الدالة عند الصفر. يمكن اشتقاق الدالة المولدة الأسية بعدة طرق؛ على سبيل المثال، بأخذ علاقة التكرار لـ ^T ( n ) المذكورة أعلاه، وضربها في xⁿ⁻¹ /( n⁻¹ )!، ثم جمعها على n ≥ 1 ^، نحصل على $${\displaystyle \sum _{n}T(n){\frac {x^{n-1}}{(n-1)!}}=\sum _{n}T(n-1){\frac {x^{n-1}}{(n-1)!}}+x\sum _{n}T(n-2){\frac {x^{n-2}}{(n-2)!}}\,\mathrm {,~which~is} }$$$${\displaystyle G'(x)=G(x)+xG(x)\,.}$$ الحل العام لهذه المعادلة التفاضلية هو G ( x ) ∝ exp( x + x ² /2) ، و T (0) = 1 يوضح أن ثابت التناسب هو 1.

ترتبط هذه الدالة ارتباطًا وثيقًا بالدالة المولدة الأسية لكثيرات حدود هيرميت ، وهي كثيرات الحدود المطابقة للرسوم البيانية الكاملة. ^{[ 13 ]} مجموع القيم المطلقة لمعاملات كثيرة حدود هيرميت من الرتبة n (الاحتمالية) هو رقم الهاتف من الرتبة n ، ويمكن أيضًا تمثيل أرقام الهواتف بقيم خاصة معينة لكثيرات حدود هيرميت: ^{[ 5 ] [ 13 ]}$${\displaystyle T(n)={\frac {{\mathit {He}}_{n}(i)}{i^{n}}}.}$$

بالنسبة للقيم الكبيرة لـ n ، يكون رقم الهاتف النوني قابلاً للقسمة على قوة كبيرة للعدد اثنين ، ^وهي 2n ^{/4 + O (1)} . وبشكل أدق، فإن الرتبة الثنائية (عدد عوامل العدد اثنين في التحليل إلى العوامل الأولية ) للعدد T (4k ) والعدد T ( 4k + 1) هي k ؛ أما بالنسبة للعدد T (4k + 2) فهي k + 1 ، وبالنسبة للعدد T ( 4k + 3) فهي k + 2. ^{[ 14 ]}

لأي عدد أولي p ، يمكن اختبار ما إذا كان هناك رقم هاتف يقبل القسمة على p عن طريق حساب العلاقة التكرارية لتسلسل أرقام الهواتف، بتردد p ، حتى الوصول إلى الصفر أو اكتشاف دورة . الأعداد الأولية التي تقسم رقم هاتف واحد على الأقل هي ^{[ 15 ].}

تُسمى الأعداد الأولية الفردية في هذه المتتالية بالأعداد غير الفعالة . كل منها يقسم عددًا لا نهائيًا من أرقام الهواتف. ^{[ 16 ]}