قاسم ثيتا

في الرياضيات ، يُعرف قاسم ثيتا Θ، وفقًا للهندسة الجبرية، بأنه القاسم المعرّف على منوع أبيلي A فوق الأعداد المركبة ( والمستقطب أساسًا ) بواسطة موضع الصفر لدالة ريمان ثيتا المرتبطة به . ولذلك، فهو منوع جبري فرعي من A ذو بُعد dim A − 1.

تصف نتائج برنارد ريمان الكلاسيكية Θ بطريقة أخرى، في حالة كون A هي المتنوع اليعقوبي J لمنحنى جبري ( سطح ريمان مضغوط ) C. يوجد، لاختيار نقطة أساسية P على C ، تطبيق قياسي من C إلى J ، وذلك بتفسير J على أنها فئات التكافؤ الخطي للقواسم على C من الدرجة 0. أي أن Q على C تُطبَّق على فئة Q − P. وبما أن J زمرة جبرية ، يمكن إضافة C إلى نفسها k مرة على J ، مما يُنتج المتنوعات الفرعية W _k .

إذا كان g هو جنس C ، فقد أثبت ريمان أن Θ إزاحة على J لـ W _{g − 1.} كما وصف النقاط غير الشاذة على W _{g − 1} : وهي النقاط التي تُقابل القواسم الفعّالة D من الدرجة g − 1 التي لا ترتبط بها دوال ميرومورفية أخرى غير الثوابت. بعبارة أخرى، لا تتحرك هذه القواسم D في نظام خطي من القواسم على C ، بمعنى أنها لا تُهيمن على القاسم القطبي لدالة غير ثابتة.

أثبت ريمان كذلك نظرية ريمان للتفرد ، حيث حدد تعددية النقطة p = class( D ) على W _{g − 1} على أنها عدد الدوال الميرومورفية المستقلة خطيًا ذات قاسم القطب الذي يهيمن عليه D ، أو بشكل مكافئ h ⁰ (O( D )) ، وهو عدد المقاطع العالمية المستقلة خطيًا لحزمة الخط الهولومورفية المرتبطة بـ D كقاسم كارتييه على C.

قام جورج كيمبف بتوسيع نظرية ريمان للتفرد عام 1973، ^{[ 1 ]} مستندًا إلى أعمال ديفيد مومفورد وأندريوتي-ماير، لوصف تفردات النقاط p = class( D ) على Wk حيث 1 ≤ k ≤ g − 1. وعلى وجه الخصوص _، قام بحساب تعددية هذه النقاط أيضًا بدلالة عدد الدوال الميرومورفية المستقلة المرتبطة بـ D ( نظرية ريمان-كيمبف للتفرد ). ^{[ 2 ]}

وبشكل أدق، قام كيمبف برسم خريطة J محليًا بالقرب من p إلى عائلة من المصفوفات الناتجة عن متتالية تامة تحسب h ⁰ (O( D ))، بحيث يتوافق W _k مع موضع المصفوفات ذات الرتبة الأقل من الرتبة القصوى. وبالتالي، تتطابق تعددية المصفوفة مع تعددية النقطة على موضع الرتبة المقابل. وبصورة أدق، إذا

h ⁰ (O( D )) = r + 1,

تعددية W _k في الفئة ( D ) هي معامل ذي الحدين

${\displaystyle {g-k+r \choose r}.}$

عندما k = g − 1، فإن هذا هو r + 1، صيغة ريمان.

• ب. غريفيثس ؛ ج. هاريس (1994). مبادئ الهندسة الجبرية . مكتبة وايلي كلاسيكس. وايلي إنترساينس. ISBN 0-471-05059-8.