صنف جاكوبيان

في الرياضيات ، تُعرف منوعات جاكوبيان J ( C ) لمنحنى جبري غير شاذ C من جنس g بأنها فضاء المعاملات لحزم الخطوط من الدرجة 0. وهي المكون المتصل للعنصر المحايد في زمرة بيكارد لـ C ، وبالتالي فهي منوعات أبيلية .

تُسمى متشعبة جاكوبي نسبةً إلى كارل غوستاف جاكوبي ، الذي برهن على الصيغة الكاملة لنظرية أبيل-جاكوبي ، محولًا بذلك عبارة الحقن لنيلز أبيل إلى تماثل. وهي متشعبة أبيلية مستقطبة أساسًا ، ذات بُعد g ، وبالتالي ، على الأعداد المركبة، تُشكل طارة مركبة . إذا كانت p نقطة من C ، فيمكن تحويل المنحنى C إلى متشعبة فرعية من J بحيث تُحول النقطة p المعطاة إلى عنصر محايد في J ، وتُولد C مجموعة J.

على الأعداد المركبة، يمكن تمثيل منوع جاكوبي على أنه فضاء القسمة V / L ، حيث V هو الفضاء الثنائي للفضاء المتجهي لجميع التفاضلات الهولومورفية الشاملة على C، و L هي شبكة جميع عناصر V التي على الشكل

${\displaystyle [\gamma ]:\ \omega \mapsto \int _{\gamma }\omega }$

حيث γ مسار مغلق في C. بعبارة أخرى،

${\displaystyle J(C)=H^{0}(\Omega _{C}^{1})^{*}/H_{1}(C),}$

مع${\displaystyle H_{1}(C)}$مضمنة في${\displaystyle H^{0}(\Omega _{C}^{1})^{*}}$عبر الخريطة أعلاه. يمكن القيام بذلك بشكل صريح باستخدام دوال ثيتا . ^{[ 1 ]}

تم بناء جاكوبيان منحنى على حقل عشوائي بواسطة ويل (1948) كجزء من إثباته لفرضية ريمان للمنحنيات على حقل محدود .

تنص نظرية أبيل-جاكوبي على أن الطارة التي تم بناؤها بهذه الطريقة هي نوع من أنواع جاكوبيان الكلاسيكية لمنحنى، والتي تقوم بالفعل بتحديد معلمات حزم الخطوط من الدرجة 0، أي أنه يمكن تحديدها من خلال نوع بيكارد الخاص بها من القواسم من الدرجة 0 modulo التكافؤ الخطي.

كمجموعة، يكون تنوع جاكوبيان لمنحنى ما متماثلاً مع خارج قسمة مجموعة قواسم الدرجة الصفرية على المجموعة الجزئية للقواسم الرئيسية، أي قواسم الدوال الكسرية. وينطبق هذا على الحقول غير المغلقة جبريًا ، شريطة أن نأخذ في الاعتبار القواسم والدوال المعرفة على ذلك الحقل.

تنص نظرية توريلي على أن المنحنى المركب يتم تحديده بواسطة جاكوبيان الخاص به (مع استقطابه).

تطرح مشكلة شوتكي سؤالاً حول أي من الأصناف الأبيلية المستقطبة بشكل أساسي هي جاكوبيان المنحنيات.

تُعدّ كلٌّ من متنوّع بيكارد ، ومتنوّع ألبانيز ، والمصفوفة اليعقوبية المعممة ، والمصفوفات اليعقوبية الوسيطة ، تعميمات للمصفوفة اليعقوبية لمتنوّعات ذات أبعاد أعلى. بالنسبة لمتنوّعات ذات أبعاد أعلى، فإنّ بناء متنوّع اليعقوبية كحاصل قسمة على فضاء الأشكال التفاضلية من الرتبة الأولى الهولومورفية يُعمّم ليعطي متنوّع ألبانيز ، ولكن بشكل عام، لا يشترط أن يكون هذا المتنوّع متماثلاً مع متنوّع بيكارد.

• مصفوفة الدورة – تُعد مصفوفات الدورة تقنية مفيدة لحساب جاكوبيان المنحنى
• بنية هودج – هذه تعميمات للمصفوفات اليعقوبية
• نظرية هوندا-تيت – تصنف الأصناف الأبيلية على الحقول المنتهية حتى التماثل
• جاكوبيان متوسط