صنف أبيليان

الطارة المركبة ذات البعد g هي طارة ذات بعد حقيقي 2g تحمل بنية مشعب مركب . ويمكن الحصول عليها دائمًا كحاصل قسمة فضاء متجهي مركب ذي بعد g على شبكة من الرتبة 2g . أما المتنوع الأبلي المركب ذو البعد g فهو طارة مركبة ذات بعد g ، وهو أيضًا متنوع جبري إسقاطي على حقل الأعداد المركبة. وباستخدام نظرية كودايرا للتضمين ونظرية تشاو ، يمكن تعريف المتنوع الأبلي المركب ذي البعد g بشكل مكافئ بأنه طارة مركبة ذات بعد g تقبل حزمة خطية موجبة. ولأنها طارات مركبة، فإن المتنوعات الأبيلية تحمل بنية زمرة . وتشكل المتنوعات الأبيلية هو تشكل للمتنوعات الجبرية الأساسية يحافظ على عنصر الوحدة لبنية الزمرة. والتماثل هو تشكل محدود إلى واحد.

عندما يحمل شكل حلقي معقد بنية تنوع جبري، فإن هذه البنية تكون بالضرورة فريدة. في هذه الحالة${\displaystyle g=1}$إن مفهوم التنوع الأبلي هو نفسه مفهوم المنحنى الإهليلجي ، وكل سطح حلقي معقد يُنتج مثل هذا المنحنى؛${\displaystyle g>1}$من المعروف منذ عهد ريمان أن شرط التنوع الجبري يفرض قيودًا إضافية على الطارة المعقدة.

يحدد معيار ريمان التالي ما إذا كان الطارة المعقدة المعطاة منوعًا أبيليًا أم لا، أي ما إذا كان من الممكن تضمينها شكليًا في فضاء إسقاطي أم لا. ليكن X طارة ذات بُعد g معطاة على النحو التالي:${\displaystyle X=V/L}$حيث V فضاء متجهي معقد ذو بُعد g و L شبكة في V. عندئذٍ يكون X صنفًا تبديليًا إذا وفقط إذا وُجد شكل هيرميتي موجب التحديد على V يأخذ جزؤه التخيلي قيمًا صحيحة على${\displaystyle L\times L}$يُطلق على هذا الشكل على X عادةً اسم شكل ريمان (غير المنحط) . باختيار أساس لـ V و L ، يمكن توضيح هذا الشرط بشكل أكبر. توجد عدة صيغ مكافئة لهذا الشرط؛ تُعرف جميعها بشروط ريمان.

كل منحنى جبري من النوع C${\displaystyle g\geq 1}$يرتبط بتنوع أبيلي J ذي بُعد g ، عن طريق خريطة تحليلية من C إلى J. وباعتباره طارة، يحمل J بنية زمرة تبديلية، وتُولد صورة C مجموعة J كزمرة. وبشكل أدق، فإن J مغطى بـ${\displaystyle C^{g}}$[ ^{1 ] أي} نقطة في J تأتي من مجموعة g من النقاط في C. يمكن اشتقاق دراسة الأشكال التفاضلية على C ، والتي تُنتج التكاملات الأبيلية التي بدأت بها النظرية، من نظرية التفاضلات الأبسط والثابتة تحت الإزاحة على J. يُطلق على التنوع الأبلي J اسم تنوع جاكوبي لـ C ، لأي منحنى غير شاذ C على الأعداد المركبة. من وجهة نظر الهندسة الثنائية النسبية ، فإن حقل دالته هو الحقل الثابت للمجموعة المتناظرة على g حرفًا يعمل على حقل دالة${\displaystyle C^{g}}$.

الدالة الأبيلية هي دالة ميرومورفية على تنوع أبيلي، ويمكن اعتبارها بالتالي دالة دورية لـ n متغيرًا عقديًا، ذات 2n دورة مستقلة؛ أو بعبارة أخرى، هي دالة في حقل الدوال لتنوع أبيلي. على سبيل المثال، في القرن التاسع عشر، كان هناك اهتمام كبير بالتكاملات فوق الإهليلجية التي يمكن التعبير عنها بدلالة التكاملات الإهليلجية. ويتلخص هذا في افتراض أن J هو حاصل ضرب منحنيات إهليلجية، حتى التماثل.

إحدى أهم نظريات البنية للأصناف الأبيلية هي نظرية ماتسوساكا . تنص هذه النظرية على أنه على حقل مغلق جبريًا، كل صنف أبيلي${\displaystyle A}$هو خارج قسمة جاكوبيان منحنى ما؛ أي أن هناك شمولًا ما للأصناف الأبيلية${\displaystyle J\to A}$أين${\displaystyle J}$هو مصفوفة جاكوبية. تبقى هذه النظرية صحيحة حتى لو كان الحقل الأساسي لانهائيًا. ^{[ 2 ]}

يُقرن لكل صنف أبيلي A على حقل k صنف أبيلي مزدوج${\displaystyle A^{\vee }}$(على نفس الحقل)، وهو حل لمسألة المعاملات التالية . تُعرَّف عائلة من حزم الخطوط من الدرجة 0، المُعَلمة بواسطة صنف T من الرتبة k، بأنها حزمة خطوط L على${\displaystyle A\times T}$بحيث

1. لكل t في T ، تقييد L إلى${\displaystyle A\times \{t\}}$هي حزمة خطوط من الدرجة صفر،
2. تقييد L إلى${\displaystyle \{0\}\times T}$هي حزمة خطية تافهة (هنا 0 هو عنصر الوحدة A ).

ثم هناك تنوع${\displaystyle A^{\vee }}$وعائلة من حزم الخطوط من الدرجة 0، P ، حزمة بوانكاريه، التي يتم تحديدها بواسطة${\displaystyle A^{\vee }}$بحيث ترتبط عائلة L على T بتشكل فريد${\displaystyle f\colon T\to A^{\vee }}$بحيث يكون L متماثلاً مع سحب P للخلف على طول التشكل${\displaystyle 1_{A}\times f\colon A\times T\to A\times A^{\vee }}$بتطبيق هذا على الحالة التي تكون فيها T نقطة، نرى أن نقاط${\displaystyle A^{\vee }}$تتوافق مع حزم الخطوط من الدرجة 0 على A ، لذلك توجد عملية زمرة طبيعية على${\displaystyle A^{\vee }}$يتم الحصول عليها من خلال حاصل ضرب الموتر لحزم الخطوط، مما يجعلها متنوعة أبيلية.

هذا الارتباط هو ازدواجية بمعنى أنه دالة متغايرة ، أي أنه يرتبط بجميع التشكلات.${\displaystyle f\colon A\to B}$التشكلات الثنائية${\displaystyle f^{\vee }\colon B^{\vee }\to A^{\vee }}$بطريقة متوافقة، وهناك تماثل طبيعي بين الثنائي المزدوج${\displaystyle (A^{\vee })^{\vee }}$و${\displaystyle A}$(مُعرَّفة عبر حزمة بوانكاريه). يكون الالتواء من الرتبة n لمتنوعة أبيلية والالتواء من الرتبة n لمتناظرها متناظرين عندما يكون n أوليًا نسبيًا مع خاصية الأساس. بشكل عام - لجميع قيم n - تكون مخططات زمرة الالتواء من الرتبة n للمتنوعات الأبيلية المتناظرة متناظرة كارتييه لبعضها البعض. هذا يُعمِّم اقتران ويل للمنحنيات الإهليلجية.

الاستقطاب في التنوع الأبلي هو تماثل من التنوع الأبلي إلى ثنائيته، وهو متماثل بالنسبة للازدواجية المزدوجة للتنوعات الأبلية، ويكون فيه سحب حزمة بوانكاريه على طول تشاكل الرسم البياني المرتبط بها وافيًا (أي أنه مماثل للشكل التربيعي الموجب المحدد ). تمتلك التنوعات الأبلية المستقطبة مجموعات تشاكل ذاتي منتهية . الاستقطاب الرئيسي هو استقطاب متماثل. تُجهز جاكوبيانات المنحنيات بشكل طبيعي باستقطاب رئيسي بمجرد اختيار نقطة أساس منطقية عشوائية على المنحنى، ويمكن إعادة بناء المنحنى من جاكوبيانه المستقطب عندما يكون الجنس${\displaystyle >1}$ليست كل الأصناف الأبيلية المستقطبة أساسًا هي جاكوبية للمنحنيات؛ انظر مسألة شوتكي . يُحدث الاستقطاب انعكاسًا روزاتي على حلقة التشكل الداخلي.${\displaystyle \mathrm {End} (A)\otimes \mathbb {Q} }$من أ .

في مجال الأعداد المركبة، يمكن تعريف التنوع الأبلي المستقطب على أنه تنوع أبيلي A مع اختيار شكل ريمان H. شكلان ريمان${\displaystyle H_{1}}$و${\displaystyle H_{2}}$تُسمى العمليات متكافئة إذا وُجد عددان صحيحان موجبان n و m بحيث${\displaystyle nH_{1}=mH_{2}}$يُطلق على اختيار فئة تكافؤ لأشكال ريمان على A اسم استقطاب A ؛ وعلى الأعداد المركبة ، يكون هذا مكافئًا لتعريف الاستقطاب المذكور أعلاه. ويُسمى تشاكل الأصناف الأبيلية المستقطبة تشاكلًا${\displaystyle A\to B}$من الأصناف الأبيلية بحيث يكون سحب شكل ريمان على B إلى A مكافئًا للشكل المعطى على A.

يترك${\displaystyle A,B\in \mathbb {Z} }$أن يكون على هذا النحو${\displaystyle x^{3}+Ax+B}$ليس لها جذور مركبة متكررة. إذن المميز${\displaystyle \Delta =-16(4A^{3}+27B^{2})}$غير صفري. ليكن${\displaystyle R=\mathbb {Z} [1/\Delta ]}$، لذا${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$هو مخطط فرعي مفتوح لـ${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$. ثم${\displaystyle \operatorname {Proj} R[x,y,z]/(y^{2}z-x^{3}-Axz^{2}-Bz^{3})}$هو مخطط أبيلي على${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$ويمكن توسيعه ليشمل نموذج نيرون .${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$، وهو مخطط مجموعة سلس على${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$لكن نموذج نيرون ليس نموذجًا صحيحًا، وبالتالي فهو ليس مخططًا تبديليًا على${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$.

أثبت كل من فيكتور أبرشكين ^{[ 3 ]} وجان مارك فونتين ^{[ 4 ]} بشكل مستقل أنه لا توجد أصناف أبيلية غير صفرية على${\displaystyle \mathbb {Q} }$مع اختزال جيد عند جميع الأعداد الأولية. وبالمثل، لا توجد مخططات أبيلية غير صفرية على${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$يتضمن البرهان إثبات أن إحداثيات${\displaystyle p^{n}}$تُنتج نقاط الالتواء حقولًا عددية ذات تفرعات قليلة جدًا، وبالتالي ذات مميز صغير، بينما توجد، من ناحية أخرى، حدود دنيا لمميزات الحقول العددية. ^{[ 5 ]}