نظرية ثيفينين

كما ورد في الأصل فيما يتعلق بدوائر المقاومة ذات التيار المستمر فقط، تنص نظرية ثيفينين على أنه " يمكن استبدال أي شبكة كهربائية خطية تحتوي فقط على مصادر جهد ومصادر تيار ومقاومات عند الطرفين A-B بمجموعة مكافئة من مصدر جهد V _th في اتصال متسلسل مع مقاومة R _th ".

• الجهد المكافئ Vth هو الجهد الذي يتم الحصول عليه عند الطرفين A-B للشبكة مع فتح الدائرة _عند الطرفين A-B .
• المقاومة المكافئة R _th هي المقاومة التي ستكون للدائرة بين الطرفين A و B إذا تم استبدال جميع مصادر الجهد المثالية في الدائرة بدائرة قصر وتم استبدال جميع مصادر التيار المثالية بدائرة مفتوحة (أي تم ضبط المصادر لتوفير جهد وتيار صفري).
• إذا تم توصيل الطرفين A و B ببعضهما البعض (قصر الدائرة)، فإن التيار المتدفق من A و B سيكون${\textstyle {\frac {V_{\mathrm {th} }}{R_{\mathrm {th} }}}}$وفقًا لدائرة ثيفينين المكافئة. هذا يعني أنه يمكن حساب R _{th بطريقة بديلة عن طريق قسمة} V _th على تيار القصر بين A و B عند توصيلهما معًا.

من حيث نظرية الدوائر ، تسمح النظرية باختزال أي شبكة ذات منفذ واحد إلى مصدر جهد واحد ومعاوقة واحدة.

تنطبق هذه النظرية أيضًا على دوائر التيار المتردد في مجال التردد التي تتكون من معاوقات تفاعلية (حثية وسعوية) ومقاومات . وهذا يعني أن النظرية تنطبق على التيار المتردد بنفس طريقة انطباقها على التيار المستمر، باستثناء تعميم المقاومات لتشمل المعاوقات.

تم استنباط النظرية بشكل مستقل في عام 1853 من قبل العالم الألماني هيرمان فون هيلمهولتز ، وفي عام 1883 من قبل ليون شارل ثيفينين (1857-1926 ) ، وهو مهندس كهربائي في مؤسسة البريد والتلغراف الفرنسية الوطنية للاتصالات. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

تُستخدم نظرية ثيفينين ونظيرتها، نظرية نورتون ، على نطاق واسع لتبسيط تحليل الدوائر الكهربائية ودراسة حالة الدائرة الابتدائية واستجابتها في الحالة المستقرة. ^{[ 8 ] [ 9 ]} يمكن استخدام نظرية ثيفينين لتحويل مصادر ومعاوقات أي دائرة إلى مكافئ ثيفينين ؛ وقد يكون استخدام هذه النظرية في بعض الحالات أكثر ملاءمة من استخدام قوانين كيرشوف للدوائر الكهربائية . ^{[ 7 ] [ 10 ]}

قُدِّمت براهين عديدة لنظرية ثيفينين. ولعل أبسطها البرهان الوارد في ورقة ثيفينين الأصلية. ^{[ 3 ]} وهناك إجماع ^{[ 4 ]} على أن برهان ثيفينين صحيح وعام في قابليته للتطبيق. ويتلخص البرهان فيما يلي:

لنفترض وجود شبكة فعّالة تحتوي على معاوقات، ومصادر جهد (ثابتة)، ومصادر تيار (ثابتة). يمكن أن يكون تكوين الشبكة أي شكل. يتم الوصول إلى الشبكة عبر زوج من الأطراف. لنرمز للجهد المقاس بين الطرفين بـ Vθ _، كما هو موضح في المربع على الجانب الأيسر من الشكل 2.

لنفترض أن مصادر الجهد داخل الصندوق استُبدلت بدوائر قصر، ومصادر التيار بدوائر مفتوحة. عندئذٍ، لن يظهر أي جهد عبر الأطراف، ويمكن قياس المعاوقة بين الأطراف. لنُسمِّ هذه المعاوقة Zθ _.

لنفترض الآن أننا قمنا بتوصيل شبكة خطية بأطراف الصندوق، ذات معاوقة Z_{_e} ، كما في الشكل 2أ. نريد إيجاد التيار I المار عبر Z_{_e} . الإجابة ليست واضحة، لأن جهد الطرف لن يكون V_{_θ} بعد توصيل Z _{_e.}

بدلاً من ذلك، نتخيل أننا نوصل، على التوالي مع المعاوقة Z _e ، مصدراً بقوة دافعة كهربائية E تساوي V _θ ولكنها موجهة لمعارضة V _θ ، كما هو موضح في الشكل 2ب. لن يمر أي تيار عبر Z _e لأن E توازن V _θ .

بعد ذلك، نُدخل مصدرًا آخر للقوة الدافعة الكهربائية ، E1 _، على التوالي مع Ze _، حيث يكون _لـ E1 نفس مقدار E ولكن في اتجاه معاكس (انظر الشكل 2ج). يمكن تحديد التيار، I1 ، كما يلي: هو التيار الناتج عن عمل _{E1 وحده، مع} ضبط جميع المصادر الأخرى (داخل الشبكة النشطة والشبكة الخارجية) على الصفر. وبالتالي، فإن هذا التيار _هو

$${\displaystyle I_{1}={\frac {E_{1}}{Z_{e}+Z_{\theta }}}={\frac {V_{\theta}}{Z_{e}+Z_{\theta }}}}$$

لأن Z _e هي المعاوقة الخارجية للصندوق و Z _θ عند النظر إلى داخل الصندوق عندما تكون مصادره صفرًا.

وأخيرًا، نلاحظ أنه يمكن إزالة E و E1 _معًا دون تغيير التيار، وعند إزالتهما، نعود إلى الشكل 2أ. لذلك، فإن I1 هو التيار I الذي نبحث _عنه ، أي

$${\displaystyle I={\frac {V_{\theta }}{Z_{e}+Z_{\theta }}}}$$

وبذلك يكتمل البرهان. يوضح الشكل 2د الدائرة المكافئة لثيفينين.

كما ذُكر، اكتشف العالم الألماني هيرمان فون هيلمهولتز نظرية ثيفينين ونشرها لأول مرة عام 1853، ^{[ 1 ]} أي قبل أربع سنوات من ولادة ثيفينين. ويُعدّ برهان ثيفينين عام 1883، الموصوف أعلاه، أقرب في جوهره إلى أساليب الهندسة الكهربائية الحديثة، وهذا ما قد يفسر سبب ارتباط اسمه بهذه النظرية بشكل أكثر شيوعًا. ^{[ 11 ]} أما صياغة هيلمهولتز السابقة للمسألة فتعكس منهجًا أكثر عمومية وأقرب إلى الفيزياء.

في بحثه المنشور عام ١٨٥٣، انصبّ اهتمام هيلمهولتز على الخصائص الكهرومغناطيسية لـ"الموصلات واسعة النطاق"، ولا سيما الأنسجة الحيوانية . وأشار إلى أن أعمالًا سابقة لعالم وظائف الأعضاء إميل دو بوا-ريموند قد أظهرت أن "كل جزء صغير من العضلة قابل للتحفيز قادر على توليد تيارات كهربائية". في ذلك الوقت، أُجريت تجارب بتوصيل جلفانومتر بنقطتين على عينة من الأنسجة الحيوانية وقياس تدفق التيار عبر الدائرة الخارجية. ولأن الهدف من هذا العمل كان فهم بعض الخصائص الداخلية للأنسجة، فقد سعى هيلمهولتز إلى إيجاد طريقة لربط تلك الخصائص الداخلية بالتيارات المقاسة خارجيًا.

كانت نقطة انطلاق هيلمهولتز نتيجة نشرها غوستاف كيرشوف عام 1848. ^{[ 12 ]} ومثل هيلمهولتز، انصب اهتمام كيرشوف على الأنظمة ثلاثية الأبعاد الموصلة للكهرباء. درس كيرشوف نظامًا يتكون من جزأين، أطلق عليهما اسمي الجزأين أ و ب. يتكون الجزء أ (الذي يمثل "الشبكة الفعالة" في الشكل 2 أعلاه) من مجموعة من الأجسام الموصلة المتصلة طرفًا بطرف، يتميز كل جسم بقوة دافعة كهربائية ومقاومة. وافترض أن الجزء ب متصل بنهايتي الجزء أ عبر سلكين. ثم بيّن كيرشوف أنه "دون تغيير التدفق عند أي نقطة في الجزء ب، يمكن استبدال الجزء أ بموصل توجد فيه قوة دافعة كهربائية تساوي مجموع فروق الجهد في الجزء أ، وله مقاومة تساوي مجموع مقاومات عناصر الجزء أ". ^{[ 13 ]}

في ورقته البحثية التي نشرها عام 1853، أقر هيلمهولتز بنتيجة كيرشوف، لكنه أشار إلى أنها صالحة فقط في حالة عدم وجود منحنيات تيار مغلقة في A، كما هو الحال في البطاريات الكهرومائية، بل إن جميع هذه المنحنيات تمر عبر B. ولذلك شرع في تعميم نتيجة كيرشوف على حالة التوزيع ثلاثي الأبعاد التعسفي للتيارات ومصادر الجهد داخل النظام A.

بدأ هيلمهولتز بتقديم صياغة أكثر عمومية لمبدأ التراكب مما تم نشره سابقًا ، والذي عبر عنه على النحو التالي: ^{[ 14 ]}

إذا احتوى أي نظام من الموصلات على قوى دافعة كهربائية في مواقع مختلفة، فإن الجهد الكهربائي عند كل نقطة في النظام الذي يمر عبره التيار يساوي المجموع الجبري للجهود التي تنتجها كل قوة دافعة كهربائية على حدة. وبالمثل، فإن مركبات شدة التيار الموازية لثلاثة محاور متعامدة تساوي مجموع المركبات المناظرة التي تنتمي إلى كل قوة على حدة.

باستخدام هذه النظرية، بالإضافة إلى قانون أوم ، أثبت هيلمهولتز النظريات الثلاث التالية حول العلاقة بين الفولتية والتيارات الداخلية للنظام "الفيزيائي" A، والتيار المتدفق عبر النظام "الخطي" B، والذي افترض أنه متصل بـ A عند نقطتين على سطحه:

ومن هذه النتائج، توصل هيلمهولتز إلى نتيجته النهائية ^{[ 15 ]} :

إذا تم توصيل موصل مادي ذي قوة دافعة كهربائية ثابتة عند نقطتين محددتين على سطحه بأي موصل خطي، فإنه يمكن استبداله دائمًا بموصل خطي ذي قوة دافعة كهربائية ومقاومة محددتين، بحيث يُثير هذا الموصل في جميع الموصلات الخطية المستخدمة نفس التيارات التي يُثيرها الموصل المادي.  ... وتكون مقاومة الموصل الخطي المراد استبداله مساوية لمقاومة الجسم عند مرور تيار كهربائي فيه من نقطتي دخول الموصل الخطي.

ثم أشار إلى أن النتيجة التي توصل إليها، والتي تم التوصل إليها من أجل " نظام فيزيائي " عام، تنطبق أيضًا على الدوائر "الخطية" (بالمعنى الهندسي) مثل تلك التي تناولها كيرشوف:

ينطبق ما ينطبق على أي موصل مادي على الحالة الخاصة لنظام التيار الخطي المتفرع. فحتى لو تم توصيل نقطتين محددتين من هذا النظام بأي موصلات خطية أخرى، فإنه يتصرف مقارنةً بها كموصل خطي ذي مقاومة معينة، يمكن تحديد مقدارها وفقًا للقواعد المعروفة للخطوط المتفرعة، وقوة دافعة كهربائية معينة، تُعطى بفرق الجهد بين النقطتين المشتقتين كما كان قبل إضافة الدائرة.

إن صياغة هذه النظرية هي نفسها أساسًا صياغة ثيفينين، التي نُشرت بعد 30 عامًا.

الدائرة المكافئة لثيفينين لدائرة كهربائية خطية هي مصدر جهد بجهد _Vth موصول _على التوالي مع مقاومة Rth .

الجهد المكافئ لثيفينين (Vth ₎ هو جهد الدائرة المفتوحة عند طرفي خرج الدائرة الأصلية. عند حساب الجهد المكافئ لثيفينين، يكون مبدأ مقسم الجهد مفيدًا في كثير من الأحيان، وذلك بتحديد أحد الطرفين كجهد _خرج (Vout ) والطرف الآخر كنقطة تأريض.

المقاومة المكافئة لثيفينين ( R _{_Th)} هي المقاومة المقاسة بين النقطتين A و B عند النظر إلى الدائرة من الداخل. تُقاس هذه المقاومة بعد استبدال جميع مصادر الجهد والتيار بمقاوماتها الداخلية. أي يُستبدل مصدر الجهد المثالي بدائرة قصر، ويُستبدل مصدر التيار المثالي بدائرة مفتوحة. يمكن بعد ذلك حساب المقاومة بين طرفي الدائرة باستخدام معادلات دوائر التوالي والتوازي . هذه الطريقة صالحة فقط للدوائر ذات المصادر المستقلة. أما في حال وجود مصادر تابعة في الدائرة، فيجب استخدام طريقة أخرى، مثل توصيل مصدر اختبار بين A و B وحساب الجهد أو التيار المار عبر مصدر الاختبار.

كطريقة تذكيرية، يمكن تذكر بدائل ثيفينين لمصادر الجهد والتيار من خلال ضبط قيم المصادر (أي جهدها أو تيارها) على الصفر. فمصدر الجهد ذو القيمة الصفرية يُحدث فرق جهد مقداره صفر فولت بين طرفيه، تمامًا كما تفعل دائرة قصر مثالية عند تلامس طرفيها؛ لذا يُستبدل المصدر بدائرة قصر. وبالمثل، يمرر كل من مصدر التيار ذي القيمة الصفرية والدائرة المفتوحة تيارًا صفريًا.

مثال

في المثال، حساب الجهد المكافئ:$${\displaystyle {\begin{align}V_{\mathrm {th}}&={R_{2}+R_{3} \over (R_{2}+R_{3})+R_{4}}\cdot V_{\mathrm {1} }\\&={1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega \over (1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega )+2\,\mathrm {k} \Omega }\cdot 15\,\mathrm {V} \\&={1 \over 2}\cdot 15\,\mathrm {V} =7.5\,\mathrm {V} \end{محاذاة}}}$$(لاحظ أن R ₁ لم يؤخذ في الاعتبار، حيث أن الحسابات المذكورة أعلاه تتم في حالة دائرة مفتوحة بين A و B ، وبالتالي لا يمر تيار عبر هذا الجزء، مما يعني عدم وجود تيار عبر R ₁ وبالتالي لا يوجد انخفاض في الجهد على طول هذا الجزء.)

حساب المقاومة المكافئة ( R _x || R _y هي المقاومة الكلية لمقاومتين متوازيتين ):$${\displaystyle {\begin{align}R_{\mathrm {th} }&=R_{1}+\left[\left(R_{2}+R_{3}\right)\|R_{4}\right]\\&=1\,\mathrm {k} \Omega +\left[\left(1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega \right)\|2\,\mathrm {k} \Omega \right]\\&=1\,\mathrm {k} \Omega +\left({1 \over (1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega )}+{1 \over (2\,\mathrm {k} \Omega )}\يمين)^{-1}=2\,\mathrm {k} \Omega .\end{aligned}}}$$

ترتبط دائرة نورتون المكافئة بدائرة ثيفينين المكافئة بالعلاقة التالية :$$$ }}{R_{\mathrm {th} }}}\!\end{محاذاة}}}$$

• العديد من الدوائر تكون خطية فقط ضمن نطاق معين من القيم، وبالتالي فإن مكافئ ثيفينين صالح فقط ضمن هذا النطاق الخطي.
• إن مكافئ ثيفينين له خصائص التيار-الجهد المكافئة للدائرة الأصلية فقط من وجهة نظر الحمل المتصل بالدائرة.
• لا يتطابق استهلاك الطاقة في مكافئ ثيفين بالضرورة مع استهلاك الطاقة في النظام الحقيقي. ومع ذلك، فإن الطاقة المبددة بواسطة مقاومة خارجية بين طرفي الإخراج تبقى ثابتة بغض النظر عن كيفية تنفيذ الدائرة الداخلية.

في عام 1933، نشر AT Starr تعميمًا لنظرية ثيفينين في مقال في مجلة معهد المهندسين الكهربائيين بعنوان "نظرية جديدة للشبكات النشطة " ^{[ 16 ]} والتي تنص على أنه يمكن استبدال أي شبكة خطية نشطة ثلاثية الأطراف بثلاثة مصادر جهد ذات معاوقات مقابلة، متصلة على شكل نجمة أو دلتا .

• نظرية العنصر الإضافي
• نظرية نقل الطاقة القصوى
• نظرية ميلمان
• تحويل المصدر

• وينر، فرانك (1926). "مبدأ يحكم توزيع التيار في أنظمة الموصلات الخطية". وقائع الجمعية الفيزيائية . 39 (1). واشنطن العاصمة: مكتب المعايير : 124-144 . Bibcode : 1926PPS....39..124W . doi : 10.1088/0959-5309/39/1/311 . hdl : 2027/mdp.39015086551663 . ورقة علمية S531.
• مرشحات الدرجة الأولى: اختصار عبر مصدر ثيفين المكافئ - يوضح في الصفحة  4 تبسيط نظرية ثيفين للدائرة المعقدة إلى مرشح تمرير منخفض من الدرجة الأولى ومقسم الجهد المرتبط به ، وثابت الوقت والكسب .

• الوسائط المتعلقة بنظرية ثيفينين على ويكيميديا ​​كومنز