نظرية المجال تودا

في الرياضيات والفيزياء ، وتحديداً في دراسة نظرية المجال والمعادلات التفاضلية الجزئية ، يتم تحديد نظرية مجال تودا ، التي سميت على اسم موريكازو تودا ، من خلال اختيار جبر لي ولاغرانجيان محدد . ^{[ 1 ]}

إصلاح جبر لي ليكون له رتبة${\displaystyle r}$أي أن الجبر الفرعي لكارتان من الجبر له بُعد${\displaystyle r}$، ويمكن كتابة لاغرانجيان

$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left\langle \partial _{\mu }\phi ,\partial ^{\mu }\phi \right\rangle -{\frac {m^{2}}{\beta ^{2}}}\sum _{i=1}^{r}n_{i}\exp(\beta \langle \alpha _{i},\phi \rangle ).}$$

الزمكان الخلفي هو فضاء مينكوفسكي ثنائي الأبعاد ، ذو إحداثيات شبيهة بالفضاء${\displaystyle x}$وإحداثيات زمنية${\displaystyle t}$تشير المؤشرات اليونانية إلى إحداثيات الزمكان.

لبعض الخيارات الأساسية الجذرية،${\displaystyle \alpha _{i}}$هو${\displaystyle i}$الجذر البسيط رقم n . يوفر هذا أساسًا للجبر الفرعي لكارتان، مما يسمح بتحديده مع${\displaystyle \mathbb {R} ^{r}}$.

ثم يصبح محتوى الحقل عبارة عن مجموعة من${\displaystyle r}$الحقول العددية${\displaystyle \phi _{i}}$، والتي تعتبر قياسية بمعنى أنها تتحول بشكل تافه تحت تحويلات لورنتز للزمكان الأساسي.

المنتج الداخلي${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$هو تقييد شكل كيلينج على الجبر الفرعي كارتان.

ال${\displaystyle n_{i}}$هي ثوابت عددية صحيحة، تُعرف باسم تسميات Kac أو تسميات Dynkin .

الثوابت الفيزيائية هي الكتلة${\displaystyle m}$وثابت الاقتران${\displaystyle \beta }$.

تُصنف نظريات المجال اليوم وفقًا لجبر لي المرتبط بها.

تشير نظريات حقل تودا عادةً إلى النظريات ذات جبر لي محدود. إذا كان جبر لي جبر لي أفيني ، تُسمى نظرية حقل تودا أفينية (بعد إزالة مُركِّبة φ التي تُفصل). أما إذا كان جبر لي زائديًا ، فتُسمى نظرية حقل تودا زائدية.

تُعد نظريات المجال اليوم نماذج قابلة للتكامل، وتصف حلولها السوليتونات .

ترتبط نظرية حقل ليوفيل بمصفوفة كارتان _A1 ، والتي تتوافق مع جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$في تصنيف جبر لي بواسطة مصفوفات كارتان. الجبر${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$له جذر بسيط واحد فقط.

نموذج سينه -غوردون هو نظرية مجال تودا الأفينية مع مصفوفة كارتان المعممة

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-2\\-2&2\end{pmatrix}}}$

وقيمة موجبة لـ β بعد أن نقوم بإسقاط مكون من φ الذي ينفصل.

نموذج ساين -غوردون هو النموذج الذي له نفس مصفوفة كارتان ولكن مع قيمة تخيلية β . تتوافق مصفوفة كارتان هذه مع جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$هذا له جذر بسيط واحد،${\displaystyle \alpha _{1}=1}$وعلامة كوكسيتر${\displaystyle n_{1}=1}$لكن لاغرانجيان يتم تعديله لنظرية الأفين: يوجد أيضًا جذر أفيني${\displaystyle \alpha _{0}=-1}$وعلامة كوكسيتر${\displaystyle n_{0}=1}$يمكن للمرء أن يتوسع${\displaystyle \phi }$مثل${\displaystyle \phi _{0}\alpha _{0}+\phi _{1}\alpha _{1}}$أما بالنسبة للجذر الأفيني${\displaystyle \langle \alpha _{0},\alpha _{0}\rangle =0}$لذلك${\displaystyle \phi _{0}}$فصل المكونات.

المجموع هو${\displaystyle \sum _{i=0}^{1}n_{i}\exp(\beta \alpha _{i}\phi )=\exp(\beta \phi )+\exp(-\beta \phi ).}$ثم إذا${\displaystyle \beta }$إنه خيال محض،${\displaystyle \beta =ib}$مع${\displaystyle b}$حقيقي، وبدون فقدان للعمومية، إيجابي، إذن هذا هو${\displaystyle 2\cos(b\phi )}$ثم يكون لاغرانجيان $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi +{\frac {2m^{2}}{b^{2}}}\cos(b\phi ),}$$ وهو لاغرانجيان غوردون الجيبي.

• موساردو، جوزيبي (2009)، نظرية الحقل الإحصائي: مقدمة للنماذج المحلولة بدقة في الفيزياء الإحصائية ، مطبعة جامعة أكسفورد، ISBN 978-0-199-54758-6